nummer 941, 10 decem­ber 2023

Op 5 decem­ber zijn de resulta­ten voor 2022 van het Program­­me for Interna­­tio­nal Student Assess­­ment (PISA) bekend gemaakt. In de publici­teit ging het vooral om de ontwik­ke­ling van de lees­vaardig­heid. Maar wiskun­de, beter: wiskun­di­ge gelet­terd­heid, was dit keer hoofdon­der­werp en ook daar zijn de scores sterk gedaald. PISA richt zich op leerlin­gen van 15 jaar oud. Bij wiskun­di­ge gelet­terd­heid gaat het om het gebruik van wiskun­de in min of meer prakti­sche situa­ties. Sinds 2018 wordt dat digi­taal getest, en de laatste keer ook adap­tief. Afhanke­lijk van het resul­taat van eerdere vragen kreeg de leer­ling moeilij­ker of juist makke­lij­ker vragen voorge­zet. Het onder­zoek wordt georga­ni­seerd door de Organi­­sa­tion for Econo­­mic Co-opera­ti­on and Develop­­ment (OECD), in Neder­­land ook wel aange­­duid als de OESO. Naast leden van de OECD doen ook landen en regio's mee. De scores zijn zo genor­meerd dat het gemid­del­de van alle deelne­mers tijdens het eerste onder­zoek (in 2003) precies 500 was, en de stan­daardaf­wij­king 100. In tegen­stel­ling tot eerdere metin­gen vond in Neder­land dit jaar het onder­zoek niet plaats in het voor­jaar, maar in de herfst. Daar­door omvatte de steek­proef dit keer vooral leerlin­gen uit het vierde leer­jaar (72%) en zelfs een behoor­lij­ke groep (11%) vijfde­klas­sers. Resulta­ten
Neder­land scoorde in het begin van deze eeuw hoog bij wiskun­di­ge gelet­terd­heid, maar zakt steeds verder weg naar de midden­moot: Sinds de vorige meting is de gemid­del­de score met 26 punten gedaald, dat is circa een kwart van de stan­daardaf­wij­king en net wat forser dan in de meeste andere landen. Ondanks dat behoort Neder­land nog steeds bij de beter preste­ren­de landen in Europa. Ten opzich­te van het gemid­del­de van de 14 landen van de 'oude' Europe­se Unie (Eu14) scoor­den de Neder­land­se leerlin­gen 14 punten (0,14 stan­daardaf­wij­king) hoger. Vier jaar geleden was dat nog 22 punten en 15 jaar daar­voor zelfs 36 punten (0,36 sd). Opmerke­lijk is dat de ver­schil­len tussen jongens en meisjes, die bij de vorige twee metin­gen prak­tisch verdwe­nen waren, weer groter zijn gewor­den. De meisjes scoor­den bij deze test circa 0,1 stan­daardaf­wij­king lager dan de jongens. Vmbo
Als we kijken naar de ver­schil­len­de oplei­din­gen zien we dat vooral op het vmbo de scores sterk zijn gedaald. Ze liggen zo'n halve stan­daardaf­wij­king lager dan bij de vorge meting. Een halve stan­daardaf­wij­king (50 punten) was ook ruwweg de afstand tussen de ver­schil­len­de oplei­din­gen. De scores op het vmbo zijn zo laag dat een groot deel van de leerlin­gen op het vmbo niet voldoet aan wat als het mini­maal vaardig­heidsni­veau gezien wordt om goed te functio­ne­ren in de maat­schap­pij. U zou dit 'ongecij­ferd' kunnen noemen, hoewel een derge­lijk woord ook misver­stan­den kan veroor­za­ken. Bij de leerlin­gen van de theore­ti­sche (en gemeng­de) leerweg gaat het om 28%, bij kader beroeps, om een ruime meerder­heid (65%) en bij vmbo-basis zelfs om de overgro­te meerder­heid, meer dan 85%. Domei­nen
PISA onder­scheidt bij wiskun­di­ge gelet­terd­heid vier 'inhouds­domei­nen':

• Hoeveel­he­den (rekenen)
• Verande­rin­gen en rela­ties (verban­den en verge­lijkin­gen)
• Ruimte en Vorm (meetkun­de)
• Onzeker­heid en gege­vens (statis­tiek)

Wanneer wiskun­di­ge gelet­terd­heid hoofdon­der­werp is kan er, door de hoeveel­heid gestel­de vragen, wat meer gezegd worden over de scores bij de diverse onderde­len. Hieron­der zijn de gege­vens van 2003, 2012 en 2022 in beeld ge­bracht. Wat opvalt is dat de scores op de ver­schil­len­de onderde­len naar elkaar toege­kro­pen zijn. In 2003 scoor­den de Neder­land­se jonge­ren erg goed op de onderde­len verban­den en statis­tiek, en duide­lijk minder bij rekenen en meetkun­de. Nu is dat beeld anders. Licht­punt­jes?
Dit alles neemt niet weg dat de leerlin­gen in Neder­land nog steeds beter scoren dan in de meeste andere Euopese landen. Alleen in Estland en Zwitser­land liggen de resulta­ten hoger. De scores van onder andere België, Denemar­ken, het Vere­nigd Konink­rijk, Polen en Oosten­rijk liggen onge­veer op gelijke hoogte, en die van onder andere Finland, Zweden, Hongari­je, Duits­land en Frank­rijk signifi­cant lager. Ook bij de houding van de leerlin­gen ten opzich­te van wiskun­de zijn wat positie­ve punten op te pikken. Neder­land­se leerlin­gen maken zich minder zorgen of ze wiskun­de wel aankun­nen dan in veel andere landen. Toch maakte 35% van de jongens en 56 % van de meisjes zich naar eigen zeggen zorgen over de moei­lijk­heid van de wiskun­deles­sen. 20% van de jongens en 32% van de meisjes gaf aan zich hulpe­loos te voelen bij het oplos­sen van wiskun­depro­ble­men. De score op 'wiskun­de­angst' is hier echter aanzien­lijk lager dan gemid­deld in de OECD landen. Alleen Finland scoort wat dit betreft nog beter. Daar staat tegen­over dat de indruk die de leerlin­gen hebben van hun eigen vaardig­he­den op het gebied van wiskun­de/rekenen vrij laag is, en nauwe­lijks hoger dan het OECD gemid­del­de. Jongens scoren duide­lijk hoger dan meisjes, vooral als er tech­niek bij komt kijken zoals bij het bereke­nen van het weke­lijks energie­ver­bruik van een elektro­nisch appa­raat. Bij het oplos­sen van eerste­graads verge­lij­king liggen de antwoor­den dichter bij elkaar. Bijna een kwart voelt zich niet zeker bij dit onder­werp. De meeste Neder­land­se leerlin­gen staan posi­tief tegen­over de wiskun­deles­sen. Voor bijna 30% is het een van de favorie­te vakken, bijna de helft vindt het vak makke­lijk en meer dan 80 % wil goed z'n best doen in de wiskun­de­les. Op het vwo is dat zelfs ruim 90% en op het vmbo wat minder. Wat wel weer opmerke­lijk is dat bij vmbo basis wiskun­de favorie­ter (en "makke­lij­ker") is dan bij vmbo kader. gk bronnen:
Resulta­ten PISA-2022 in vogel­vlucht,
PISA website

In het huidige wiskun­de B curricu­lum voor het vwo is Euclidi­sche meetkun­de vervan­gen door analyti­sche meetkun­de. Nieuwe studen­ten, vanaf 2018, hebben weinig of geen erva­ring met het bewij­zen van stellin­gen in de vlakke meetkun­de. Docen­ten van de Techni­sche Univer­si­teit Eindho­ven (TU/e) consta­teer­den dat wiskun­dig bewij­zen in zijn alge­meen­heid proble­ma­tisch is voor deze studen­ten. Niet alleen bleek het moei­lijk om deze vaardig­heid onder de knie te krijgen, maar ze vonden het niet zelden onzin­nig: ‘waarom moeten we dingen bewij­zen die overdui­de­lijk waar zijn?’ Daarom voerden Bert Zwane­veld en Hans Sterk aan de TU/e een onder­zoek^* uit met als hoofd­vraag: Is wiskun­dig bewij­zen een drempel­be­grip, zoals bijvoor­beeld limie­ten bij analyse? Het idee van drempel­begrip­pen (thres­hold con­cepts) komt uit een Engels onder­zoek naar karakte­ristie­ken van krachti­ge leer- en onder­wijsom­gevin­gen. Het richt zich op concep­ten die cen­traal staan bij het leren beheer­sen van onderde­len van een disci­pli­ne. Het onder­zoek bestond uit raadple­ging van litera­tuur en een enquête onder 132 studen­ten aan het eind van het eerste jaar over hun proble­men met bewij­zen, hun kijk op de rol van bewij­zen bij wiskun­de, hun niveau van bewijs­vaardig­he­den en hun beeld van drempel-karakte­ristie­ken van bewij­zen. De litera­tuur wees uit dat een bewijs kunnen verifië­ren niet bete­kent dat het bewijs ook is begre­pen. En een bewijs begrij­pen bete­kent nog niet dat een verwant bewijs gele­verd kan worden. Een veel voorko­men­de fout is dat studen­ten starten bij de conclu­sie in plaats van uitgaan van de gege­vens en aanna­mes. Daarbij komt dat formele defini­ties niet begre­pen worden en dus niet correct in een bewijs ge­bruikt kunnen worden. Het vergt tijd en herha­ling om hiermee verder te komen. Onder­zoeks­conclu­sies
Aan het eind van het eerste jaar vinden alle studen­ten bewij­zen belang­rijk. De meest gegeven toelich­ting is de absolu­te waar­heid en een beter begrip. Voor bijna alle­maal veran­dert bewij­zen hun kijk op het vak. Bewij­zen is vooral moei­lijk als een student niet zeker weet hoe te begin­nen. Ook is genoemd dat ze niet zeker weten wat in een bewijs wel en niet geoor­loofd is, dat ze onvol­doen­de kennis hebben over de regels van de logica en dat ze onvol­doen­de over­zicht hebben van bewijs­strate­gie­ën. Bewij­zen laat zien hoe wiskun­de werkt, het geeft een beter begrip van de gebruik­te wiskun­di­ge noties en maakt het moge­lijk rela­ties tussen concep­ten te zien. Hoe verder?
De hoofd­vraag is bevesti­gend beant­woord: bewij­zen is een drempel­vaardig­heid. En omdat de houding ook een rol speelt moge­lijk zelfs een drempel­compe­ten­tie. In het bijzon­der veran­dert de kijk van studen­ten op het belang van bewij­zen voor goed geduren­de het eerste studie­jaar, door kennis te maken met bewij­zen. De onder­zoe­kers advise­ren om bewij­zen weer een plaats te geven in het curricu­lum van in ieder geval het vwo: start eenvou­dig, bena­druk de struc­tuur, en ga geleide­lijk over op wat lasti­ger zaken. Per septem­ber jongst­le­den is het Applied Mathema­tics program­ma op de TU/e herzien, met ver­nieuw­de aan­dacht voor bewij­zen. jk ^* Voor meer informa­tie, raad­pleeg de diapre­senta­tie die binnen­kort op de NVvW-site beschik­baar is en de nog te ver­schij­nen bijdra­ge van Bert Zwane­veld, Hans Sterk en Jacob Perre­net: Mathema­ti­cal Proving as a Thres­hold in: Jason P. Davies et al., Thres­hold Con­cepts in the Moment. Brill 2023.

Recente­lijk, maar nog voor de publica­tie van de jongste PISA-cijfers, is opnieuw gerap­por­teerd over de ontwik­ke­ling van basis­vaardig­he­den in het voortge­zet onder­wijs, met name in de onder­bouw. De teneur is dat de dalende tendens aan blijft houden en er nog weinig herstel zicht­baar is. Hieron­der gaan we wat verder in op de ontwik­ke­ling bij rekenen/wiskun­de. Zoals eerder uiteen­ge­zet (zie bijvoor­beeld WiskundE-brief 898) gaat het in feite om de gege­vens uit het Cito Volgsys­teem Voortge­zet Onder­wijs (CVVO). Hoewel slechts een minder­heid van de scholen van dit systeem gebruik maakt, worden de resulta­ten rede­lijk repre­senta­tief geacht voor alle leerlin­gen in het voortge­zet onder­wijs. In de eerste klas lijkt er nog niet zoveel aan de hand. Hieron­der ziet u de scores van de toets die in het voor­jaar in de eerste klassen wordt afgeno­men. In 2020 werd, in verband met corona, de toets niet afgeno­men. De scores¹⁾ hebben (behalve op het vwo) welis­waar een dalende tendens, maar de meest recente scores en die van dit voor­jaar liggen niet veel lager dan die van 2019. De toets die aan het begin van de eerste klas (zo rond de herfst­vakan­tie) wordt afgeno­men geeft in grote lijnen het zelfde beeld. Leer­jaar 3
Bij de tweede en derde klas lijkt de situa­tie minder roos­kleu­rig. Hieron­der is de ontwik­ke­ling in klas 3 in beeld ge­bracht. Vooral op havo en vwo lijkt sprake van een behoor­lij­ke achter­uit­gang. Maar hoe ernstig is het eigen­lijk? Als we de uitkom­sten van 2023 verge­lij­ken met die van 2019 gaat het om een daling die vari­eert van circa 3 (vmbo basis en kader) tot bijna 6 (havo) punten. Als referen­tie zou u kunnen letten op de ver­schil­len tussen de gemid­del­den van de diverse stromen. De daling van 6 punten in 3 havo komt dus overeen met circa 30% van de afstand tussen de gemid­del­de havo­leer­ling en de gemid­del­de leer­ling op vmbo gt (gemeng­de en theore­ti­sche leerweg). Een andere veel gebruik­te verge­lij­king is met de stan­daardaf­wij­king van de scores. Die vari­eert zo tussen de 15 (vmbo b/k) en 20 (vwo). Als we de daling hiermee verge­lij­ken komen we uit op een effect­groot­te van onge­veer 0,3 (bij vmbo b/k: 0,2). Er zijn uiter­aard andere verge­lijkin­gen moge­lijk. Ver­schil­len
Jongens scoren vanaf klas 1 (en ook op de basis­school) van oudsher hoger bij rekenen/wiskun­de dan meisjes. Het lijkt erop dat dit ver­schil in de loop van klas 2 en 3 alleen maar toe­neemt. In veel geval­len gaat het om zo'n 10 punten, de helft van de afstand tussen bijvoor­beeld havo en vwo. Hieron­der de situa­tie tegen het einde van klas 3. gk 1) De scores zijn volgens een nieuw systeem, en wijken af van eerder gepubli­ceer­de scores. bronnen:

• Ontwik­ke­ling basis­vaardig­he­den in het voortge­zet onder­wijs
• Leerver­tra­ging door Corona in het voortge­zet onder­wijs

Bij alle schrif­telij­ke eindexa­mens wiskun­de van 2023 was sprake van tijd­nood. Daar­voor is via de N-term gecom­pen­seerd. Bij andere vakken kwam tijd­nood spora­disch voor. Bij een wiskun­de-examen is ook voor 'onvolko­menhe­den' gecom­pen­seerd, maar de achter­liggen­de systema­tiek roept vragen op. Begin decem­ber is het eerste gezamen­lij­ke examen­ver­slag van het College voor Toetsen en Examens (CvTE) en de Stich­ting Cito gepubli­ceerd. In een bijlage bij dit verslag wordt gede­tail­leerd verslag gedaan van de compen­sa­tie via de N-term voor fouten (of onvolko­menhe­den) in opgaven en voor tijd­nood. Bij alle schrif­telij­ke eindexa­mens wiskun­de blijkt tijd­nood gecon­sta­teerd te zijn. In verband daarmee is de N-term in bijna alle geval­len met 0,1 punt ver­hoogd. Bij het wiskun­de B examen vwo vond boven­dien compen­sa­tie plaats voor een onvolko­men­heid in vraag 13, daar bedroeg de totale compen­sa­tie 0,2 punt. Merk­waar­dig
Merk­waar­dig is wel dat de compen­sa­tie voor een onvolko­men vraag lager uitvalt naarma­te de vraag slech­ter is gemaakt. Een vraag die 4 van de 80 punten waard is, heeft een cijfer­waar­de van 0,5 punt. Wanneer die vraag ondanks onvolko­menhe­den goed gemaakt is (80% score) zou volgens de gehan­teer­de formule de compen­sa­tie 0,4 punt bedra­gen. Als de vraag belab­berd ge­scoord wordt (20%), slechts 0,1. In een publica­tie uit februa­ri van dit jaar ¹⁾ wordt dit gebil­lijkt door erop te wijzen dat een kandi­daat die 0 punten scoort op deze vraag, nu even­veel krijgt als de gemid­del­de leer­ling. Voor het tweede tijdvak geldt trou­wens een heel andere rege­ling, daar wordt juist gekeken naar de gemid­del­de score op de andere vragen. Nog merk­waardi­ger is mis­schien dat toepas­sing van de regel op de bewuste vraag 13 in het wiskun­de B examen een compen­sa­tie zou opleve­ren van 9*0,58*6/76 ≈ 0,4 punten ²⁾ , terwijl de totale compen­sa­tie (voor onvolko­men­heid en tijd­nood) 0,2 punten bedroeg. Dat zou beteke­nen dat de compen­sa­tie voor tijd­nood nega­tief zou zijn! Bij andere vakken werd tijdens het eerste tijdvak (bij de schrif­telij­ke examens) in het totaal negen keer gecom­pen­seerd wegens onvolko­menhe­den en slechts vier keer vanwege tijd­nood. gk 1) Rege­ling van het College voor toetsen en examens van 6 februa­ri 2023, nummer CvTE-23.00408
2) Het ging om een vraag die 6 punten waard was, met een p-waarde van 0,58. De maxima­le score voor het examen was 76 punten. Zie de Toets- en Item Analyse van dat examen.

Ik ben werk­zaam op het Montes­so­ri college in Arnhem en geef les in de boven­bouw havo, zowel wiskun­de A als B. Het aanko­mend school­jaar wil ik veel minder gaan toetsen. Daar­voor is een forse aanpas­sing van het PTA nodig. Wel­licht is er een collega die daarbij wil helpen. De opzet is alleen de ver­plich­te onderde­len te toetsen in het school­exa­men. Dat bete­kent bijvoor­beeld voor wiskun­de A dat alleen domein A (Vaardig­he­den), D (Verande­ring), en de subdo­mei­nen B3 (Telpro­ble­men) en E5 (Statis­tiek met ICT) worden ge­toetst. Ik werk op een rela­tief kleine school, en mis in dit verband een spar­ring­part­ner. Graag zou ik in contact komen met collega's die al veel minder zijn gaan toetsen en/of slechts alleen de domei­nen toetsen die ver­plicht zijn. Jurjen van Manen j.vanma­nen@montes­soriarn­hem.nl

Op dit moment werkt een vakver­nieu­wings­commis­sie (VVC) aan de actuali­sa­tie van het examen­program­ma wiskun­de voor havo/vwo. Ik organi­seer twee online klank­bordbij­eenkom­sten om een inbreng te kunnen geven vanuit het hbo-onder­wijs. Tijdens die klank­bordbij­eenkom­sten staan steeds tussen­produc­ten cen­traal. Het eerst­volgen­de tussen­pro­duct gaat verwach­ting over de uitein­delij­ke inde­ling van de domei­nen en moge­lijk over een verdere uitwer­king van de manier waarop de eindter­men worden opgezet. Ik ver­wacht dat dan ook zaken als digita­lise­ring en computa­tio­neel denken flink verder zijn uitge­werkt. Dit tussen­pro­duct wordt begin decem­ber aan ons opgele­verd. De beoogde verande­rin­gen in het wiskun­de-onder­wijs geven veel stof tot discus­sie, die zeer rele­vant is voor hbo-docen­ten en waarin zij ook een belang­rij­ke stem hebben. Om alle betrok­ke­nen te raadple­gen is een advies­kring inge­steld, waarin ik het hbo-onder­wijs in de natuur-, gezond­heid- en tech­niek­richtin­gen verte­genwoor­dig. Om die advies­rol goed te kunnen uitvoe­ren, organi­seer ik op donder­dag 11 januari en donder­dag 16 mei twee online klank­bordbij­eenkom­sten. Bent u docent in het hbo en wilt u aan deze bijeen­komst deelne­men, dan bent u van harte welkom. Kijk hier voor meer informa­tie. Meld u eenvou­dig bij mij aan, dan infor­meer ik u verder. Christi­aan Boudri (christi­aan.boudri@han.nl)

Tijd­stip	Evene­ment (Volg de link voor details)	Organi­sa­tie
13 decem­ber	Meet-up vakver­nieu­wing havo/vwo.	NvvW
18 decem­ber	Slui­ting aanmel­ding toetsen concept­kerndoe­len.	SLO
9 januari 2024	Meet-up vakver­nieu­wing havo/vwo.	NvvW
11 januari 2024	Klank­bordbij­een­komst hbo.	Christi­aan Boudri
13 januari 2024	KWG Winter­symposi­um.	Konink­lijk Wiskun­dig Genoot­schap
22 januari t/m 2 februa­ri 2024	Eerste ronde wiskun­deolym­pia­de.	Neder­land­se Wiskun­de Olympia­de
5 en 6 april 2024	Nationa­le Wiskun­de Dagen (NWD).	Freuden­thal Insti­tuut
16 mei 2024	Klank­bordbij­een­komst hbo.	Christi­aan Boudri

We zoeken een leraren­oplei­der gespeci­ali­seerd in Wiskun­de. Deze baan (32 - 40 uur per week) doet er toe want u gaat toekom­sti­ge leraren wiskun­de oplei­den! En dat doet u in een profes­sio­neel en super­leuk team! Interes­se? Kijk hier voor meer informa­tie. Sollici­te­ren kan tot en met 7 januari 2024.

Dinsdag 12 decem­ber hosten we het webinar: Active­ren­de werkvor­men. In deze master­class geven Sarah Brusell en Vera van Wester­laak tips om wiskun­deles­sen interac­tie­ver te maken. Meld u aan voor deze interac­tie­ve en prakti­sche sessie en ontvang na afloop een over­zicht met extra lesidee­ën. Bent u erbij? U kunt zich via deze pagina aanmel­den. Tip! Kijkt u liever wanneer het u goed uitkomt? Het comple­te webinar­over­zicht en on-demand webi­nars vindt u op Noord­hoff.nl/wiskun­dewebi­nars.

Kom woens­dag 17 januari naar Amster­dam en maak kennis met het team, de auteurs en gebrui­kers van KERN Wiskun­de. Het program­ma start om 16:00 uur. Hoor wat collega’s vinden van het werken met onze methode en vraag wat u wilt weten. Onder het genot van een hapje en een drankje kunt u al het materi­aal bekij­ken en ervarin­gen uitwis­se­len. Ga geïnspi­reerd en met een goed gevulde maag en dito goodie­bag naar huis. Heeft u interes­se? Stuur een mail aan: kernwis­kun­de@boom.nl. Komt de datum of locatie u niet goed uit? Woens­dag 7 februa­ri bent u ook welkom in Meppel.

Down­load gratis Texas Instru­ments compu­tersoft­wa­re Handig voor op school: de gratis multi-user soft­wareli­cen­tie voor 30 docen­ten die Texas Instru­ments beschik­baar stelt! Deze softwa­re is te gebrui­ken op laptops, tablets en digi­bord en maakt uw les interac­tie­ver. U toont uw rekenma­chi­ne op het digi­bord en leidt leerlin­gen door de opdrach­ten. Elke school kan voor elke techno­lo­gie maxi­maal 1 gratis licen­tie voor 30 docen­ten aanvra­gen. Vul daarom vandaag nog dit formu­lier in!

Een Num­Works grafi­sche rekenma­chi­ne onder de kerst­boom? De missie van Num­Works is om de beste grafi­sche rekenma­chi­ne voor het voortge­zet onder­wijs te maken. Dit doet Num­Works door alle benodig­de functio­nalitei­ten voor de havo/vwo program­ma's aan te bieden. Deze functio­nalitei­ten werken net zo vanzelf­spre­kend als de smart­phone of game-console waar leerlin­gen dage­lijks gebruik van maken. Wilt u de Num­Works onder de kerst­boom vinden? Vraag dan een gratis test­exem­plaar aan! Vragen? Stuur Martijn een bericht­je via contact@num­works.nl.

Einde­lijk werken met een grafi­sche rekenma­chi­ne die met z'n tijd is meege­gaan? Leerlin­gen minder willen laten betalen dan nu voor hun huidige machine? Dan is de HP Prime G2 voor u de juiste keus! Samen met HP biedt Eduwin­kel de moge­lijk­heid voor docen­ten om de HP Prime zonder kosten aan te vragen en te testen. Ga meteen naar de website en vraag uw gratis docen­tenexem­plaar aan. Wij sturen u er meteen eentje op en nemen op een later moment graag contact op over een mogelij­ke demon­stra­tie of work­shop.