nummer 932, 4 juni 2023

Een van de opmer­kin­gen bij de centra­le bespre­king van het havo wiskun­de A examen was dat het wel erg talig was. 'Toetsen we wiskun­de of begrij­pend lezen?', zo werd er ver­zucht. En dat is nog maar een van de proble­men bij dat examen, en niet alleen daar. In WiskundE-brief 931 zagen we dat de omvang van de inlei­den­de teksten bij het wiskun­de A examen op het vwo groter was dan ooit. Hetzelf­de blijkt het geval bij de havo, als we ons tenmin­ste beper­ken tot de eerste tijdvak­ken¹). Hieron­der is dat in beeld ge­bracht. Op het vwo zijn meer dan 2000 woorden in de inlei­den­de zinnen intus­sen al heel gewoon en ook op de havo is nu deze grens doorbro­ken. Proble­men
In WiskundE-brief 931 be­spreek ik enige bezwa­ren tegen grote hoeveel­he­den tekst in wiskun­de-eindexa­mens. In dit stukje wil ik twee andere aspec­ten van het talige karak­ter van de wiskun­de A examens onder de aan­dacht brengen. Eén heeft betrek­king op de inter­preta­tie van de examen­opga­ven door examen­kandida­ten, de andere op de inter­preta­tie van wat leerlin­gen hebben opge­schre­ven door hun docen­ten. Een van de proble­men is de woorden­schat van de leerlin­gen. Zo bleek het woord (huisart­sen)consult niet bij ieder­een bekend. Kandida­ten hebben het recht om onbeken­de woorden op te zoeken, maar moge­lijk ervaren zij een drempel om om een woorden­boek te vragen. Funda­mente­ler is het pro­bleem dat soms pas in het beoorde­lingsmo­del, onder­deel van het correc­tievoor­schrift, echt duide­lijk wordt wat de bedoe­ling van de vraag was. In dat geval krijgen leerlin­gen die het anders hadden begre­pen vaak steun van hun docen­ten en soms ook van het CvTE. Dit jaar werd vraag 7 van het havo examen wiskun­de-A na opmer­kin­gen van docen­ten terugge­trok­ken, omdat kenne­lijk iets anders werd ge­vraagd dan bedoeld. Er werd een vraag gesteld over de totale uitga­ven aan mobiele data in Finland en Neder­land, terwijl uit de uitwer­king bleek dat gedoeld werd op de gemid­del­den per sim­kaart. Om het nog wat pijnlij­ker te maken, het aantal simkaar­ten in Neder­land was met de gege­vens bij een eerdere vraag wel min of meer te bereke­nen, maar dat van Finland niet. Een ander voor­beeld van een onjuis­te vraag­stel­ling is vraag 16. Deze is niet terugge­trok­ken. Daar­voor was het mis­schien te subtiel²). Bij deze vraag werd als bijlage schets­ma­tig een grafiek gegeven waarin ogen­schijn­lijk te zien is hoe snel je een bocht met een bepaald type F-1 auto kunt nemen nemen als je de straal van de bocht weet. Ge­vraagd werd om het gebied aan te geven waar de coureur uit de bocht vliegt en dit toe te lichten. Het pro­bleem is echter dat op de vertica­le as niet de werke­lij­ke snel­heid van de auto is uitge­zet, maar - zoals tot twee keer uitdruk­ke­lijk vermeld - de maxima­le bochten­snel­heid. Dat is de snel­heid waarbij de auto net niet uit de bocht vliegt. Het is dus onmoge­lijk om met dit assen­stel­sel punten aan te wijzen waar de auto uit de bocht zou vliegen. Inter­preta­tie
Een ander veel opdui­kend pro­bleem is de inter­preta­tie van antwoor­den van leerlin­gen door hun examina­tor en de tweede correc­tor. De vraag­stel­ling bij wiskun­de A opgaven is vaak zodanig dat een ant­woord 'in gewoon Neder­lands' voor de hand ligt of zelfs wordt ver­wacht. Ik neem als voor­beeld vraag 2 van het genoem­de havo-examen. Een eenvou­di­ge vraag waarop heel goed ge­scoord zou moeten kunnen worden. De vraag luidt:

Bereken bij welke leeftij­den volgens formule 2 het aantal huis­artscon­sul­ten per persoon per jaar lager is dan 4,5.

Formule 2 ziet er zo uit: A = 1,75 + 0,05 l.
Hierin is l de leef­tijd van de persoon in jaren en A het aantal huis­artscon­sul­ten. Oplos­sen van de verge­lij­king geeft l = 55, maar in de vraag staat lager en dus is het juiste ant­woord: minder dan 55, want de functie is stij­gend. Omdat leef­tijd be­schouwd wordt als een discre­te variabe­le die elke verjaar­dag ver­springt en omdat bij de formule uitdruk­ke­lijk was vermeld dat deze betrek­king had op perso­nen van 5 jaar en ouder, zijn leeftij­den van 5 tot en met 54 jaar het gewens­te ant­woord. Dat van 5 jaar hoeft niet opge­schre­ven te worden en 55 jaar of jonger kost de kandi­daat één punt. Tot nu toe nog weinig aan de hand. Leerlin­gen, en niet alleen zij, gebrui­ken echter diverse manie­ren om een reeks (hele) getal­len aan te geven. Het pro­bleem is echter dat de precie­ze beteke­nis lang niet altijd vast­ligt en een bijko­mend pro­bleem is dat veel docen­ten daar geen oog voor hebben. Met of zonder grenzen?
In plaats van het ondub­belzin­ni­ge tot en met gebruik­ten sommige leerlin­gen tot. Op het eerste gezicht lijkt dit duide­lijk, want 'tot' is zonder boven­grens. Dus tot 55 jaar is goed, maar tot 54 niet. In de prak­tijk wordt echter het woordje 'tot' niet zelden ge­bruikt in de zin van 'tot en met'. Als u zich ergens voor kunt opgeven 'tot 15 juni', zullen veel mensen teleur­ge­steld zijn als hun in­schrij­ving op 15 juni wordt gewei­gerd. Nog waziger wordt het bij het gebruik van het woord 'tussen'. Als het gaat om een continu­üm, zoals bij een bezoek­uur tussen een en drie uur, maakt het in de prak­tijk weinig uit of de grenzen wel of niet meetel­len. Als het echter gaat om een reeks hele getal­len is 'tussen' behoor­lijk dubbel­zin­nig. Is tussen 5 en 10 hetzelf­de als 6 tot en met 9 of hetzelf­de als 5 tot en met 10? Of is het nog iets anders? Zoals ook blijkt uit het verslag van de centra­le bespre­king gaan veel wiskun­dedocen­ten ervan uit dat 'tussen' bete­kent dat de grenzen niet meetel­len en dat leerlin­gen waarbij duide­lijk is dat ze inclu­sief de grenzen bedoe­len ge­straft moeten worden met aftrek van een punt. Wat wordt beoor­deeld?
In de prak­tijk wordt 'tussen' op ver­schil­len­de manie­ren ge­bruikt en blijkt vaak uit de context of de grenzen wel of niet meetel­len. In onder­staand geval, afkom­stig uit een over­zicht van de opeen­volgen­de genera­ties, worden de grenzen duide­lijk meegere­kend:

"Babyboo­mers (geboren tussen 1941 en 1955) Genera­tie X (geboren tussen 1956 en 1970) Pragma­ti­sche genera­tie (geboren tussen 1971 en 1985) Genera­tie Y (geboren tussen 1986 en 2000) Genera­tie Z (geboren tussen 2001 en 2015) Genera­tie Alpha (geboren na 2015)"

Tussen wordt dus op ver­schil­len­de manie­ren ge­bruikt en voor zover ik weet is er geen officië­le instan­tie die voor­schrijft wat het juiste gebruik is. Daar­naast kun je je afvra­gen welk vak je nu aan het beoorde­len bent door ander dan gewenst taalge­bruik af te straf­fen bij wiskun­de-examens. gk
--------------------
1) Het tweede tijdvak van 2018 had nog wat langere teksten.
2) Achter­af werd via de Examen­lijn wel toegege­ven dat het 'strikt genomen' beter had gekund.

Het lijkt een aardig idee: techni­sche contex­ten in een wiskun­de B examen. Tenslot­te is wiskun­de B ver­plicht voor het profiel Natuur en Tech­niek. Bij nadere beschou­wing blijkt soms dat de context op een zeer dubieu­ze manier ge­bruikt is door de examen­ma­kers. In het vwo wiskun­de B examen van dit jaar zijn twee pagina’s (en drie vragen) gewijd aan het (vrij)buigen van metalen platen. De teke­ning hier­naast geeft de essen­tie van dit proces weer. Met wat natuur­kundi­ge kennis (en inzicht) is af te leiden dat voor de (maxi­maal) benodig­de buig­kracht de volgen­de formule geldt:

formule 1

Met:
R de trek­sterk­te van het te buigen materi­aal (in N/mm²)
d de dikte van de te buigen plaat (in mm)
L de lengte van de buig­lijn
V de breedte van de V-vormige opening
c een factor die gelijk is aan 1+4d/V Van belang is dat er door­gaans een vaste verhou­ding bestaat tussen de breedte van de opening en de dikte van de plaat. In de prak­tijk geldt vaak dat de breedte van de opening 8 tot 12 maal de dikte van de plaat is. Als we uitgaan van de factor 8 is c gelijk aan 1,5 en kunnen we formule 1 herlei­den tot:

formule 1a

Het lijkt erop dat de examen­ma­kers dit wat te eenvou­dig vonden. Zij gebrui­ken de formule:

formule 2

Wat opvalt is dat de L(engte) ont­breekt. In feite gaat het hier om de kracht per lengte-eenheid. Dat wordt niet uitdruk­ke­lijk verteld. Wel wordt vermeld dat de eenheid kN/m (kiloNew­ton per meter) is. Dat is de eerste mogelij­ke bron van verwar­ring. Verder wordt R 'een constan­te' genoemd, afhanke­lijk van het soort materi­aal. Wat niet duide­lijk wordt gemaakt is dat het gaat om de trek­sterk­te. Net zoals de druk is de trek­sterk­te in feite kracht per opper­vlak­te-eenheid, dus niet zomaar een getal. Absurd verband
In plaats van aan te sluiten bij wat in de prak­tijk gebrui­ke­lijk is, wordt in het examen vervol­gens een absurd verband tussen V en d gepo­neerd: V = d^1,75. Het doel van deze kunst­greep is om de kandida­ten exact(!) te laten bereke­nen bij welke plaat­dik­te de benodig­de kracht mini­maal is. Ieder­een met enige prakti­sche/techni­sche kennis snapt dat dit een uiterst dunne 'plaat' moet zijn, denk aan alumini­umfo­lie. Maar dit inzicht wordt niet op prijs gesteld. De leer­ling die braaf en fout­loos met diffe­rentië­ren het minimum bepaalt van

formule 3

komt uit op (exact!) 16 mm en heeft - evenals de examen­ma­kers – geen notie van de krach­ten en de benodig­de appara­tuur die voor het buigen van een 16 mm dikke metaal­plaat nodig zijn. De leer­ling die dit ant­woord als absurd ver­werpt en/of kiest voor d = 0 toont inzicht, maar ver­liest de punten. Ik ben wiskun­dedo­cent, maar mijn oor­spronke­lij­ke vakge­bied is werk­tuig­bouwkun­de. Ik zie zeker moge­lijkhe­den om beide vakge­bie­den te combine­ren, maar wat er bij deze opgave gebeurt is tenen­krom­mend. Hier wordt een techni­sche context mis­bruikt om leerlin­gen via diffe­rentië­ren een minimum van een functie te laten bepalen. Daarbij worden leerlin­gen met een goed natuur­kun­dig inzicht, en in het alge­meen leerlin­gen die een beetje naden­ken over hun antwoor­den, bena­deeld. Paul van de Veen

Voor vele wiskun­dedocen­ten is het gebrui­ke­lijk om na de eerste correc­tie even te wachten op het verslag van de NVvW, overleg met collega’s en eventu­eel een aanvul­ling op het correc­tievoor­schrift. Vervol­gens nemen ze met deze informa­tie alle uitwer­kin­gen nog een keer door. Voldaan, want het levert vaak wat extra punten voor de leerlin­gen op, sturen zij het werk naar de tweede correc­tor. Zoals ieder jaar, organi­seert de NVvW de examen­bespre­kin­gen en brengt daarvan versla­gen uit. Een groep van 14 mensen buigt zich over het werk van de leerlin­gen en het correc­tievoor­schrift. De groep bestaat uit een verte­genwoor­di­ging van het CvTE en examen­docen­ten met mini­maal 5 jaar erva­ring die ieder het werk van tenmin­ste vijf leerlin­gen heeft nageke­ken. Kort na het examen was de groep al vol. Het correc­tievoor­schrift is in alle geval­len leidend, maar soms komt het ant­woord van de leer­ling niet terug in het correc­tievoor­schrift. De examen­bespre­king stelt dan een punten­verde­ling voor. De versla­gen staan inmid­dels online en collega's kunnen hiermee hun voor­deel doen. De versla­gen zijn echter bijzon­der summier. Daar­naast heeft de NVvW een examen­fo­rum. Hierin kunnen alle examen­docen­ten die lid van de NVvW zijn vragen stellen en beant­woor­den over de wijze waarop zij het examen nakij­ken. De discus­sie is per examen­vraag georga­ni­seerd en gaat concre­ter in op de vraag­stel­ling, het correc­tievoor­schrift en het werk van leerlin­gen. Verge­lij­king en nut
De examen­versla­gen zijn geba­seerd op de inbreng van een heel kleine groep docen­ten die bereid zijn naar Utrecht af te reizen, waar­door het de vraag is hoe repre­senta­tief het resul­taat is. Ik citeer een van onze trouwe lezers: 'Opmer­kin­gen in het verslag zijn overbo­di­ge inkop­per­tjes en examen­vra­gen worden ten onrech­te niet eens bedis­cussi­eerd.' Deze docent ziet een afglij­den­de schaal in de kwali­teit en de meer­waar­de van de versla­gen. Hij meent dat het verslag door de werkwij­ze onvol­doen­de rich­tingge­vend is. Op het forum is de inbreng van een grotere groep docen­ten zicht­baar en is erva­ring geen criteri­um, waar­door begin­nen­de examen­docen­ten vragen kunnen stellen en meer ervaren docen­ten kunnen antwoor­den. Voor deelna­me aan het forum moet een docent wel lid zijn van de NVvW. Twee dagen na het examen is de inhoude­lij­ke behande­ling van de examen­vra­gen op dit forum veel inten­sie­ver en inhoude­lijk van een hoger niveau dan wat uit de examen­versla­gen blijkt. Door de con­creet­heid biedt het forum docen­ten meer houvast dan de examen­versla­gen. Is het niet nutti­ger om de input op het forum te gebrui­ken als basis voor een verslag waarin de discus­sie uit het forum tot een conclu­sie wordt ge­bracht? Dit zou kunnen in een online-bijeen­komst met een grotere groep ervaren docen­ten. Doel lijkt mij om alle examen­docen­ten rich­ting te geven bij het vinden van een even­wicht tussen punten sprokke­len en al te streng nakij­ken, waar het correc­tievoor­schrift geen uit­komst biedt. jk

Ik geef examen­trainin­gen aan leerlin­gen van ver­schil­len­de scholen en vanzelf­spre­kend komen daar leerlin­gen met nogal uiteen­lopen­de vaardig­he­den. Eén zo'n vaardig­heid wil ik eruit lichten, name­lijk het gebruik van de grafi­sche rekenma­chi­ne (GR) en dan in het bijzon­der de rol van de docent hierbij. Wat mij vooral opviel in de trainin­gen voor wiskun­de A is dat sommige leerlin­gen zodra zij een frequen­tieta­bel zien, hun GR pakken om die in te voeren, terwijl anderen geen idee hebben hoe ze dat zouden moeten doen. Voorop­ge­steld: persoon­lijk ben ik geen voor­stan­der van de grafi­sche rekenma­chi­ne zoals hij nu wordt ge­bruikt. Ik ben van mening dat wiskun­dig inzicht beter en goedko­per te berei­ken is met bijvoor­beeld Geoge­bra in plaats van met een appa­raat dat na de school­tijd niet meer wordt ge­bruikt. Verder zouden leerlin­gen mijns inziens op hun examen moeten tonen dat zij die inzich­ten inmid­dels hebben verwor­ven en over de nodige vaardig­he­den beschik­ken. Niette­min mogen leerlin­gen het appa­raat gebrui­ken bij hun examens en dan kunnen ze daarop maar beter zijn voorbe­reid. Als een leer­ling bij een bepaal­de opgave het werk moet weerge­ven alsof hij de rekenma­chi­ne niet heeft ge­bruikt, kan het wel handig zijn om met de GR het pro­bleem te verken­nen of het werk te contro­le­ren. Ver­schil­len
De appara­ten zijn ver­schil­lend, waar­door de kansen voor leerlin­gen met ver­schil­len­de appara­ten ook ver­schil­lend zijn. Gepro­beerd wordt dit via regelge­ving te beper­ken. Er is ook een ver­schil in het karak­ter van leerlin­gen. Sommige leerlin­gen vinden het leuk alle moge­lijkhe­den van hun appa­raat te verken­nen, terwijl anderen alleen gebrui­ken wat zij van de moge­lijkhe­den hebben meege­kre­gen. Dat zijn kansen die leerlin­gen wel of niet benut­ten. Docen­ten
Er is ook nog het ver­schil tussen hoe docen­ten hiermee omgaan. Sommige docen­ten verken­nen alle moge­lijkhe­den van ver­schil­len­de GR's en dragen dit aan hun leerlin­gen over. Soms is dit ingege­ven door prik­kels van de school­lei­ding om onder druk van de inspec­tie het aantal geslaag­den te verho­gen. Zij kunnen zover gaan dat zij de GR met de meeste opties aan de leerlin­gen aanbeve­len. Enkele docen­ten zoeken daarbij de randjes op en laten zoveel moge­lijk door de GR doen, inclu­sief het gebruik van regres­sie waar dat niet de bedoe­ling lijkt (zie WiskundE-brief 892 en WiskundE-brief 893). Andere docen­ten zijn van mening dat leerlin­gen vooral het werk zelf moeten kunnen doen en dat de rekenma­chi­ne slechts een beperkt hulpmid­del zou moeten zijn. Na enkele basis­vaardig­he­den gedo­ceerd te hebben, kunnen leerlin­gen zelf aan de slag om andere opties te verken­nen. En enkele docen­ten gaan zo ver dat zij probe­ren de GR zo weinig moge­lijk te laten gebrui­ken. Tussen deze uiter­sten zit uiter­aard een heel spec­trum. Voor­deel
De manier waarop docen­ten hun leerlin­gen voorbe­rei­den op het gebruik van de GR leidt tot nogal uiteen­lopen­de uit­gangspo­si­ties voor leerlin­gen. Een deel van de leerlin­gen ge­bruikt zoveel moge­lijk opties en heeft slechts beperkt inzicht en anderen kennen weinig opties en hebben goed inzicht in de materie. De eerste groep is in het voor­deel omdat ze bijvoor­beeld tijd­winst boeken doordat ze niet alles zelf hoeven doen en in het nadeel als zij iets met argumen­ten moeten onder­bou­wen, omdat het inzicht ont­breekt. Bij de tweede groep is dat juist anders­om. Zeker als docen­ten bij één van de uiter­sten zitten is dat sterk van invloed op de kansen die een leer­ling heeft, in het bijzon­der als de eerste en tweede correc­tor tegen­over elkaar staan. Instruc­tie
De rol van docen­ten is al enige tijd bekend en toen de GR nieuw was, volgde goede instruc­tie met enige vertra­ging. Nadat docen­ten en leerlin­gen een beetje doorkre­gen wat er kon, gingen de examen­sco­res in rap tempo omhoog, waarna de N-term werd ge­bruikt om de cijfers te drukken. De instruc­tie in de boeken is echter nog steeds summier en wordt aange­vuld met bijla­gen die niet alle leerlin­gen onder ogen krijgen. Dat is overi­gens wel te begrij­pen, gezien het aantal GR's dat bij examens is toege­staan en het tempo waarin vernieu­win­gen in de appara­ten worden doorge­voerd. Dit leidt ertoe dat leerlin­gen in sterke­re mate van docen­ten afhanke­lijk zijn voor het leren van GR-vaardig­he­den dan voor het leren van de wiskun­de zelf. Een deel van de ver­schil­len zal samen­han­gen met de affini­teit van docen­ten met een onder­werp. Wel­licht gaat een docent met een voor­lief­de voor sinusoïden hierop uitge­brei­der in dan een docent die hieraan een hekel heeft. Echter, een docent laat het in het alge­meen uit zijn hoofd om de sinusoïde niet te behande­len als hij weet dat dat in de meeste examens wel aan bod komt. Toch lijkt dat voor de GR anders... jk

In WiskundE-brief 923 heb ik al verslag gedaan van een klein experi­ment om wat examen­vra­gen met veel context voor te leggen aan de roem­ruch­te AI-bot ChatGPT. Als vervolg daarop leek het me wel aardig om een heel examen - in dit geval havo wiskun­de A te laten maken en eens te kijken hoe goed dit program­ma daarop scoort. Bij het laten maken van een eindexa­men moet ChatGPT nog behoor­lijk worden gehol­pen. Het examen via een pdf of een link voorleg­gen werkt (nog) niet. Plaat­jes, zoals grafie­ken kunnen niet worden gelezen en formu­les moeten opnieuw worden inge­typt. Verder leek het me verstan­dig om steeds één vraag, uiter­aard met de bijbeho­ren­de inlei­ding, tege­lijk voor te leggen. De antwoor­den die gegeven worden wijken qua opbouw, bereke­ning en redene­ring vaak nogal af van wat in de ant­woordmo­del­len staat. Maar als je die wat soepel inter­pre­teert wordt er zo'n 55 à 60 % van de punten ge­scoord. Je zou dus kunnen zeggen dat ChatGPT slaagt voor dit examen. Veel punten worden gemist door vrij elemen­tai­re reken­fou­ten. Dat pro­bleem zal op korte termijn wel worden opge­lost, vermoed ik. Er bestaat nu al een plugin van Wolfram voor ChatGPT, die ik overi­gens nog niet getest heb. Interes­san­ter is te signale­ren waar ChatGPT echt volle­dig de mist in gaat. Een mooi voor­beeld daarvan is vraag 9:

In figuur 1 zie je bij de vier Europe­se landen dat het mobiele dataver­bruik toene­mend stijgt. In Zuid-Korea en Japan, die niet zijn opgeno­men in figuur 1, is de sterke groei al wat afgeno­men. In de tabel staan de gege­vens van deze landen van de jaren 2014 en 2015. tabel mobiel dataver­bruik per sim­kaart per maand 2014 2015 Zuid-Korea 1,711 GB 2,198 GB Japan 1,631 GB 1,945 GB Neem aan dat de toename van het mobiele dataver­bruik per sim­kaart per maand in beide landen vanaf 2014 lineair is. Dan zal men in Zuid-Korea eerder gemid­deld 10 GB per sim­kaart per maand verbrui­ken dan in Japan. Bereken hoeveel jaar eerder dit zal gebeu­ren. Geef je ant­woord in hele jaren.

Getal­len met 3 cijfers achter de komma kunnen interna­tio­naal gezien verwar­ring geven, omdat met name in de VS de komma ge­bruikt wordt als schei­dingte­kens bij duizend­tal­len. Dat gaat hier ook mis:

"Om te bepalen hoeveel jaar eerder Zuid-Korea gemid­deld 10 GB per sim­kaart per maand zal verbrui­ken in verge­lij­king met Japan, moeten we eerst de toename per jaar bereke­nen voor beide landen. Voor Zuid-Korea: Toename per jaar = (2,198 GB - 1,711 GB) / (2015 - 2014) = 487 GB Voor Japan: Toename per jaar = (1,945 GB - 1,631 GB) / (2015 - 2014) = 314 GB ....."

Om de zaak niet te veel te laten vertroe­be­len door dit misver­stand heb ik de tekst ook inge­voerd met een decima­le punt. Dit leverde het volgen­de op:

"Om te bepalen hoeveel jaar eerder Zuid-Korea gemid­deld 10 GB per sim­kaart per maand zal verbrui­ken ten opzich­te van Japan, moeten we de toename van het dataver­bruik per jaar bereke­nen voor beide landen. Voor Zuid-Korea: De toename van het dataver­bruik per sim­kaart per maand is 2.198 GB - 1.711 GB = 0.487 GB per maand. Voor Japan: De toename van het dataver­bruik per sim­kaart per maand is 1.945 GB - 1.631 GB = 0.314 GB per maand. ...."

Op het eerste gezicht is het nu beter, maar.. er wordt nu ineens gespro­ken over de toename per maand. Het is ook wat verwar­rend: de jaar­lijk­se toename van het ver­bruik per sim­kaart per maand. Laten we toch maar kijken hoe het verder gaat:

"Om te bepalen hoeveel maanden het duurt voordat Zuid-Korea gemid­deld 10 GB per sim­kaart per maand ver­bruikt, kunnen we de volgen­de verge­lij­king oplos­sen: 1.711 GB + 0.487 GB * x = 10 GB Hierbij is x het aantal maanden dat het duurt voordat het dataver­bruik in Zuid-Korea 10 GB per sim­kaart per maand bereikt. Oplos­sen voor x: 0.487x = 10 - 1.711 0.487x = 8.289 x = 8.289 / 0.487 x ≈ 17 Het duurt dus onge­veer 17 maanden voordat het dataver­bruik per sim­kaart per maand in Zuid-Korea 10 GB bereikt."

Op de zelfde manier wordt bere­kend dat het onge­veer 27 maanden duurt voor Japan. De conclu­sie is

"Dus, Zuid-Korea zal gemid­deld 10 GB per sim­kaart per maand eerder verbrui­ken dan Japan, name­lijk 10 maanden eerder."

Als van 'maanden' jaar gemaakt wordt, lijkt deze oplos­sing rede­lijk. Volgens het ant­woordmo­del moet het 9 jaar zijn. Dat heeft te maken met een dis­creet model dat blijk­baar wordt gehan­teerd. Via een aanvul­ling op het Correc­tievoor­schrift werd duide­lijk dat 10 jaar ook goed gere­kend wordt. Opmerke­lijk, maar ook wel te verkla­ren, is dat de aanpak van een vraag die meerde­re keren wordt voorge­legd niet altijd het zelfde is. Ik heb een stuk of vijf ver­schil­len­de aanpak­ken, met ook ver­schil­len­de antwoor­den gezien. De volgen­de aanpak lijkt mis­schien kort en krach­tig^*).

"To deter­mine how many years earlier South Korea will reach an average of 10 GB per sim card per month com­pared to Japan, we need to calcu­late the average increa­se in data usage per year for both coun­tries. For South Korea, the average increa­se in data usage per year is: (2.198 GB - 1.711 GB) / (2015 - 2014) = 0.487 GB per year For Japan, the average increa­se in data usage per year is: (1.945 GB - 1.631 GB) / (2015 - 2014) = 0.314 GB per year Now, let's calcu­late the number of years earlier: Number of years earlier = (10 GB - 1.711 GB) / (0.487 GB per year - 0.314 GB per year) = 8.289 GB / 0.173 GB per year ≈ 47.88 years"

Het ver­schil in jaar­lijk­se toename kan, samen met het oor­spronke­lij­ke ver­schil tussen beide landen, natuur­lijk goed ge­bruikt worden om uit te rekenen wanneer er sprake is van gelijk­heid. De oplos­sing van de verge­lij­king a t + b = c t + d is immers t = (d−b)/(a−c), maar hier wordt de plank totaal misge­sla­gen. Het meest interes­sant is vaak de 'discus­sie' met de Chatbot over fouten in de antwoor­den. Die lijkt soms op een leergie­ri­ge, maar vaak ook op een koppige leer­ling.. Mis­schien aardig om zelf eens te probe­ren. gk
-----------------
*) Waarom het ant­woord ineens in het Engels wordt gegeven en er nu weer wel over jaren wordt gespro­ken is mij ook niet duide­lijk.

In 2022 organi­seer­de Onder­wijsnet­werk Zuid-Holland een bijeen­komst waarin docen­ten van het hbo vertel­den over hun wiskun­deonder­wijs en hun ervarin­gen met aan­sluit­proble­men. Op 22 juni 2023 willen we opnieuw aan­dacht vragen voor deze proble­ma­tiek. Docen­ten van ver­schil­len­de vakken in het hbo geven korte presen­ta­ties aan de hand van een tweetal vragen, waarna een korte gedach­tewisse­ling plaats zal vinden. De twee vragen gaan over welke wiskun­de in hun oplei­ding ge­bruikt wordt en over welke verwach­tin­gen docen­ten hebben van de wiskun­di­ge kennis, vaardig­he­den en inzich­ten van de binnen­komen­de studen­ten. Moge­lijk komt eruit naar voren welke aspec­ten in het huidige onder­wijs op de havo extra aan­dacht zouden verdie­nen. De bijeen­komst is inclu­sief een maal­tijd. Ook dan is er natuur­lijk ruim de gelegen­heid om ervarin­gen uit te wisse­len. Prakti­sche zaken
De bijeen­komst is op 22 juni van 16 tot 20 uur (inclu­sief maal­tijd). De locatie is InHol­land Delft. De toegang is gratis. Aanmel­den kan via deze link. Peter Kop (KopPMGM@iclon.leidenu­niv.nl)

Maandag­avond 12 juni kunt u deelne­men aan een webinar over computa­tio­neel denken in de wiskun­de­les. Het webinar wordt georga­ni­seerd door de NVvW in samen­wer­king met Wiskun­de voor Morgen, NVORWO en ELWIeR. Spre­kers zijn Jos Tolboom (SLO) en Paul Drij­vers (UU). Ze zullen onder andere kijken naar de ervarin­gen van het NRO-project Computa­tio­nal thin­king and mathema­ti­cal thin­king: digital litera­cy in mathema­tics curricu­la. Via deze pagina kunt u wat achter­grondin­forma­tie raadple­gen. De online bijeen­komst begint om 19.30 uur en duurt tot 21.00 uur. U kunt zich opgeven via de wesite van de NVvW.

Ars et Mathe­sis bestaat 40 jaar! Zoals iedere 5 jaar organi­se­ren we ook nu weer een lustrum­prijs­vraag. Maak een korte video over wiskun­de en kunst en doe mee. Korte video
Op aller­lei (sociale) media zien we tegen­woor­dig korte film­pjes of clipjes. Denk aan Insta­gram Reels, Youtube Shorts en TikTok. De op­dracht is om een korte video te maken van maxi­maal 90 secon­den. De enige eis is dat er een verband is met zowel wiskun­de als met kunst (schoon­heid). De video mag zowel horizon­taal als verti­caal gefilmd zijn. Enkele be­stuurs­le­den van Ars et Mathe­sis zullen de inzen­din­gen beoorde­len. De beste inzen­din­gen worden genomi­neerd voor de prijzen. Voor­waar­de is dat de jury het niveau en de kwali­teit van de inzen­din­gen goed genoeg vindt. Wed­strijd
De jury beoor­deelt de inzen­din­gen op:

• Hoe de video met wiskun­de te maken heeft
• Hoe de video met kunst of schoon­heid te maken heeft
• Hoe tussen die twee een verband wordt gelegd
• De kwali­teit van de uitvoe­ring
• De origina­li­teit

Er worden drie prijzen toege­kend. De eerste prijs is € 250. Daar­naast zijn er prijzen van € 100 en € 50. Alle genomi­neer­den worden uitgeno­digd voor de Ars et Mathe­sis jaardag op 18 novem­ber. Meedoen
U kunt indivi­du­eel deelne­men maar ook als groep, bijvoor­beeld met een school­klas. Als de video klaar is, kunt u die uploa­den op Youtube met zicht­baar­heid 'verbor­gen'. Daarna stuurt u een mail aan info@arsetma­the­sis.nl met in de titel 'Deelna­me Lustrum­prijs­vraag' en in de tekst de video­link en uw contact­gege­vens. Als u dat wilt kunt u in uw e-mail een toelich­ting op de video geven. Inzen­den kan tot uiter­lijk 15 oktober 2023. Door uw deelna­me gaat u akkoord met de spelre­gels. Voor meer details kunt u dit docu­ment raadple­gen. Ars et Mathe­sis is een stich­ting van liefheb­bers van kunst die zich laten inspire­ren door wiskun­de. Ieder jaar organi­se­ren we een A&M-dag op de derde zater­dag van novem­ber, dit jaar dus op 18 novem­ber. Deze dag heeft de vorm van een infor­meel symposi­um met een kleine exposi­tie van leden of andere belang­stellen­den die werk laten zien. Meer informa­tie is te vinden op onze website. Vragen
Heeft u vragen over de prijs­vraag, dan kunt u die stellen via info@arsetma­the­sis.nl.

Ook dit jaar kunnen wiskun­dedocen­ten in het voortge­zet onder­wijs een oorkon­de aanvra­gen voor hun leer­ling(en) met een 10 op het eindexa­men. Leerlin­gen met een fout­loos gemaakt cen­traal eindexa­men (vmbo, havo of vwo) maken daar­naast kans op een leuke prijs. Heeft u een excel­len­te leer­ling met een 10 voor wiskun­de op de eind­lijst? Dan kunt u deze leer­ling aanmel­den voor een oorkon­de van Plat­form Wiskun­de Neder­land. U kunt deze oorkon­de bij de diploma-uitrei­king overhan­di­gen. Helaas kan door omstan­dighe­den alleen een digita­le versie worden opge­stuurd, die u zelf kunt printen. De oorkon­de kan worden aange­vraagd tot uiter­lijk 8 juli 2023. Lees meer op de site van Plat­form Wiskun­de Neder­land.

Op dinsdag 10 oktober 2023 zal de wiskun­dedia­loog, een studie­dag voor wiskun­dedocen­ten, weer plaats­vin­den op de Radboud Univer­si­teit te Nijme­gen. De studie­dag richt zich op eerste- en tweede­graads docen­ten wiskun­de. Zij worden bijge­praat over de nieuw­ste ontwik­kelin­gen binnen het voortge­zet onder­wijs. Ieder jaar nodigen we interes­san­te spre­kers uit die hun experti­se en bevin­din­gen willen delen met collega’s. Tussen de opening en de slotle­zing kunnen de deelne­mers in drie rondes kiezen uit een groot aanbod aan work­­shops met thema's uit het tweede- en eerste­graads­ge­bied. Afslui­tend kunnen de deelne­mers tijdens een borrel gezel­lig bijpra­ten. Spreker?
Heeft u interes­sant materi­aal ontwik­keld of wilt u tijdens deze studie­dag uw kennis delen? Neem dan contact op met Tim van Lier (tim.vanlier@ru.nl) voor het verzor­gen van een work­shop. Wanneer uw work­­shop wordt geselec­teerd, krijgt u gratis toegang tot de wiskun­dedia­loog. Voorin­schrij­ving
Het duurt nog even, maar het is nu al moge­lijk om u in te schrij­ven voor de wiskun­dedia­loog. Volg deze link voor informa­tie, het globale program­ma en om u in te schrij­ven. Tim van Lier (tim.vanlier@ru.nl)
Coördi­na­tor Vak­steun­punt Wiskun­de Pre-univer­si­ty college of science, RU

Tijd­stip	Evene­ment (Volg de link voor details)	Organi­sa­tie
7 juni 2023	Online bijeen­komst nieuwe examen­program­ma`s havo/vwo.	NVvW
8 juni 2023	Wiskun­de D-middag in Delft.	TU-Delft
12 juni 2023	Webinar computa­tio­neel denken.	NVvW e.a.
15 juni 2023	Werken aan basis­vaardig­he­den rekenen-wiskun­de in alle vakken.	NVvW e.a.
19 juni 2023	Bijeen­komst nieuwe examen­program­ma`s havo/vwo in Utrecht.	NVvW
19 juni t/m 24 juli	Imagina­ry in Maas­tricht.	Plat­form Wiskun­de Neder­land
22 juni 2023	Bijeen­komst aanslui­ting vo-hbo.	Onder­­wijs­net­­werk Zuid-Holland
8 juli 2023	Dead­line aanvra­gen certifi­caat voor 10.	Plat­­form Wiskun­­de Neder­­land
31 juli t/m 4 aug.	Wiskun­de­kamp C.	Vier­kant voor Wiskun­de
7 t/m 11 augus­tus	Wiskun­de­kamp B.	Vier­kant voor Wiskun­de
14 t/m 18 augus­tus	Wiskun­de­kamp A.	Vier­kant voor Wiskun­de
25 en 26 aug.	Vakan­tiecur­sus Antwer­pen.	Plat­form Wiskun­de Neder­land
1 en 2 sep.	Vakan­tiecur­sus Amster­dam.	Plat­form Wiskun­de Neder­land
23 septem­ber	Een Bonte Verzame­ling.	Werk­groep Geschie­de­nis NVvW
29 septem­ber	Onder­wijs meets Onder­zoek.	NVvW e.a.
10 oktober	De wiskun­­dedia­­loog.	Radboud Univer­­si­­teit Nijme­­gen.
15 oktober	Dead­line inzen­ding Lustrum­prijs­vraag.	Ars et Mathe­sis

Wilt u niet alleen de talen­ten van de leerlin­gen ontwik­ke­len, maar ook die van uzelf? Bekijk dan deze uitda­gen­de vacatu­re op onze school in ontwik­ke­ling! Vanaf het nieuwe school­jaar hebben wij leuke uitda­gen­de vacatu­res in de onder- en de boven­bouw bij ons op het CLV. We bieden een fijne school waarin veel moge­lijkhe­den zijn om de talen­ten van leerlin­gen aan te spreken maar ook de talen­ten van collega’s! vacatu­re onder­bouw vacatu­re boven­bouw

Start u komend school­jaar met KERN Wiskun­de en heeft u nog vragen of behoef­te aan informa­tie? Neem contact op met ons team: kernwis­kun­de@boom.nl. Wij helpen u graag goed op weg met KERN Wiskun­de op alle niveaus.

Herman Zechiel deelt zijn erva­ring met Num­Works als wiskun­dedo­cent aan het Melanch­thon in Rotter­dam: Ik vind het een geweldi­ge GR. Heel natuur­lijk en zeer leer­ling­vriende­lijk. Ook de prijs is vergele­ken met de ander GR's op de markt een grote PLUS. De app gratis kunnen downloa­den op een mobiel is handig als leerlin­gen voor de zoveel­ste keer hun GR thuis verge­ten. Zelf een mening vormen? Stuur Martijn gerust een mailtje.

Top 10 voorde­len van de grafi­sche rekenma­chi­ne. Wat zijn de voorde­len van een grafi­sche rekenma­chi­ne in de klas? Wij vroegen het docen­ten en leerlin­gen en hebben de top 10 voorde­len op een rij gezet. Duide­lijk is dat de grafi­sche rekenma­chi­nes van Texas Instru­ments de werking van wiskun­de zicht­baar maken en ervoor zorgen dat leerlin­gen ontwik­ke­len in hun leerpro­ces. Een krach­tig middel voor in de les dus! Lees het nieuw­ste blog met de top 10!