Over de juiste wijze van afronden bij het maken van examenopgaven,
met name bij wiskunde A/C is de laatste jaren veel gepubliceerd. Daar
was ook alle aanleiding toe want het goed beoordelen van uitwerkingen
waarin sprake is of lijkt van afrondingsfouten kost veel energie en
is soms aanleiding tot hooglopende discussies.
Als ik kijk naar de recente bijdragen op het examenforum van de
Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren (NVvW), dan krijg ik niet
de indruk dat het er tegenwoordig voor examinatoren eenvoudiger op
is geworden. Zo is er veel discussie ontstaan over opgave 7 van
het
havo examen wiskunde A 2022, eerste tijdvak.
Vakspecifieke regels
Sinds een jaar of vijf staan er voor wiskunde A en C drie nieuwe
vakspecifieke regels in het correctievoorschrift:
"4a Als bij een vraag doorgerekend wordt met tussenantwoorden
die afgerond zijn en dit leidt tot een ander eindantwoord dan wanneer
doorgerekend is met niet afgeronde tussenantwoorden, wordt bij de
betreffende vraag één scorepunt in mindering gebracht.
Tussenantwoorden mogen wel afgerond genoteerd worden.
4b Uitzondering zijn die gevallen waarin door de context wordt
bepaald dat tussenantwoorden moeten worden afgerond.
4c De aftrek voor fouten zoals bedoeld onder 4a en/of fouten
bij het afronden van het eindantwoord bedraagt voor het hele examen
maximaal 2 scorepunten." |
Aan deze nieuwe regels is uitgebreid aandacht besteed in Euclides
92-3. Het aldaar gepubliceerde artikel "Nieuwe vakspecifieke regel
over afronden voor wiskunde A, B en C havo en vwo" is ook opgenomen in
de
syllabi voor wiskunde A, B en C. In
WiskundE-brief 761 heb ik aandacht aan dit
artikel besteed en geconstateerd dat sommige voorbeelden in het artikel
ook opgevat kunnen worden als aanvullende regels. Dat leek en lijkt me
niet wenselijk. Er was en is nog steeds meer duidelijkheid nodig.
Discussie loopt al jaren
In mei 2017 publiceerde het College voor Toetsen en Examens (CvTE)
een reactie op de vraag of er binnen één opgave twee keer een punt
aftrek mogelijk was. Zie ook
WiskundE-brief 776. Dat bleek toen wel degelijk het
geval te zijn.
De discussies over afronden hebben niet zelden als aanleiding of er
binnen een gegeven context (voor het eerst) een bepaalde grens wordt
gepasseerd. In veel gevallen gaat het dan over exponentiële groei.
Het verschil tussen discrete en continue processen is dan wezenlijk.
In
WiskundE-brief 781 heb ik hierover al eens iets geschreven aan de hand van
een examenopgave uit 2017.
Op
examenblad.nl
staat een antwoord van het CvTE op een recent gestelde vraag die
met deze kwestie verband houdt:
"Vraag
Mag bij wiskunde A en C een verkeerd jaartal als antwoord beoordeeld
worden als een afrondfout?
Antwoord
Het omzetten van een gevonden waarde in een jaartal heeft te maken
met het interpreteren van de waarde in de context en moet dus gezien
worden als interpretatiefout of leesfout en niet als een afrondfout." |
De status van dit bericht is mij niet helemaal duidelijk. Bovendien
vraag ik me af of dit antwoord problemen oplost of juist schept.
Terug naar opgave 7
Dan nu de discussie over opgave 7 van
het
havo examen wiskunde A 2022, eerste tijdvak:
| "De CO2-concentratie blijft toenemen. In 2000 was het
jaargemiddelde 369,5 ppm, in 2015 was dit opgelopen tot 400,8 ppm.
Tibbe vermoedt op basis van figuur 1 dat het jaargemiddelde in de
periode 2000–2015 groeide volgens een exponentieel verband en dat de
groei zich in de jaren daarna voortzet volgens hetzelfde exponentiële
verband. Je kunt dan, uitgaande van bovenstaande gegevens, berekenen
in welk jaar het jaargemiddelde voor het eerst hoger dan 500 ppm zal
zijn.
Bereken op deze manier in welk jaar het jaargemiddelde voor het eerst
hoger dan 500 ppm zal zijn." |
Er wordt in de context gesproken over
jaargemiddelden. We hebben dus
ontegenzeggelijk te maken met waarden die van jaar tot jaar verspringen.
Het berekenen van de benodigde groeifactor behoort als het goed is tot
de standaard vaardigheden van de kandidaat. Deze berekent
g = (400,8/369,5)1/15 en dat levert een functievoorschrift
op als
A = 369,5*g j, waarbij
g
de zojuist berekende groeifactor is en
j het nummer is van het
jaar, met
j = 0 voor het jaar 2000.
De groeifactor is bij benadering gelijk aan
1,005435506; het
gaat dus om een groei met ruim een half procent per jaar. Wanneer een
leerling werkt met het wat ruwer afgeronde grondtal van
1,0054
dan leidt dat niet tot een ander antwoord. Maar als de kandidaat het grondtal
echter afrondt tot
1,005 dan gaat het mis en komt hij of zij
op een ander jaartal uit.
Omdat het in dit vraagstuk gaat om een discreet proces, lijkt mij een tabel
de beste aanpak. In de tabel staan dan namelijk alleen waarden voor gehele waarden
van
j en dat is goed want het gaat om jaargemiddelden en
j moet dus
discreet worden geïnterpreteerd. Met het gebruik van een tabel heeft de kandidaat
niets te maken met afronden; hij of zij kijkt gewoon naar de eerste waarde die hoger
is dan 500.
Het beoordelingsmodel kiest voor een andere aanpak, namelijk het oplossen van
de vergelijking
369,5 · g t = 500. Bij deze aanpak
moet de kandidaat dan uiteraard wel beseffen dat
t eigenlijk geen
continue variabele is en een uitkomst van '55 en het kleinste beetje' dus al
naar 56 moet worden afgerond.
Is er als de kandidaat afrondt naar 55 nu sprake van een afrondingsfout?
Het eerder geciteerde antwoord van het CvTE op de vraag
"Mag bij wiskunde
A en C een verkeerd jaartal als antwoord beoordeeld worden als een afrondfout?"
geeft daar een negatief antwoord op. Het correctievoorschrift suggereert echter van wel
want in de tweede opmerking staat:
| "Als zowel in deze als in de volgende vraag het jaartal wordt bepaald
door naar beneden af te ronden, hiervoor alleen bij deze vraag
1 scorepunt in mindering brengen." |
Het laatste woord over deze kwestie lijkt me nog niet gesproken.
gk
