nummer 815, 17 juni 2018

Op mijn school wordt al jaren de TI-84 Plus van Texas Instru­ments als grafi­sche rekenma­chine ge­bruikt. In de ver­plichte examen­stand functio­neert die machine erg 'kaal' omdat bijvoor­beeld alle applica­ties (apps) zijn uitge­scha­keld. Onlangs ontving ik ter evalua­tie de HP Prime grafi­sche rekenma­chine van Hewlett Packard. Ik heb om het appa­raat een beetje te leren kennen eens een paar opdrach­ten uit het havo-examen wiskun­de B van dit jaar met die machine gemaakt. Wat mij onmid­dellijk opviel, was hoe snel en gebrui­kers­vriende­lijk de HP Prime ten opzich­te van de TI-84 Plus is. Zaken waar een examen­kandi­daat met een TI-84 Plus alleen maar van kan dromen, kan een geoefen­de HP Prime gebrui­ker super­snel en in een handom­draai uitvoe­ren, ook wanneer het appa­raat op de voorge­schre­ven wijze in examen­stand is gezet. Drie­hoeksop­losser
Wat mij tijdens het maken van het examen verbaas­de, was dat de app met de naam 'Drie­hoeksop­losser' in examen­stand klaar­blijke­lijk niet wordt geblok­keerd. In een mail aan de redac­tie wees collega Stef Kleis­sen mij hier reeds op. Het viel hem tijdens zijn tweede correc­tie op dat kandida­ten deze app gebruik­ten. Om me ervan te overtui­gen dat ik mij niet vergis­te, heb ik de aller­laatste firm­ware gedown­load en geïn­stal­leerd en heb ik nauwge­zet de door HP voorge­schre­ven procedu­re gevolgd om de HP Prime in de juiste examen­stand te zetten. De app bleef echter onver­kort beschik­baar. Het havo-examen wiskun­de B van dit jaar biedt examen­kandida­ten met een HP Prime door die 'Drie­hoeksop­losser' een groot en getuige het correc­tievoor­schrift onbe­doeld voor­deel. De opdrach­ten 15 en 16 van dat examen hebben tot doel, de kandida­ten in goniome­trische zin wat aan de tand te voelen. Met de HP Prime kun je dankzij de 'Drie­hoeksop­losser' deze opdrach­ten echter zonder enige goniome­trische kennis tot een goed einde brengen. Ont­snapt aan de goniome­trie
In op­dracht 15 moet de kandi­daat aanto­nen dat de lengte van een zeker lijn­stuk onge­veer 139 cm is. Met een maxima­le inzet van de moge­lijkhe­den van de HP Prime kan de kandi­daat op de volgen­de manier aan de goniome­trie ontsnap­pen:

Ik gebruik de APP 'Drie­hoeksop­losser'. Voor zijde a vul ik 250 in. Voor hoek A vul ik 90 graden in. Voor hoek C vul ik 50 graden in. De functie 'Oplos­sen' geeft zijde b=160.696... De afstand AD is dus 300−160.696≈139 cm.

De drie punten van deze vraag worden zo heel gemakke­lijk ge­scoord en moeten vanwege lid 3.3 van de de 'Algeme­ne Regels' uit het correc­tievoor­schrift ook onvoor­waarde­lijk worden toege­kend. Net zo gemakke­lijk gaat vraag 16, die vier punten waard is, de geoefen­de HP Prime-gebrui­ker af. De gevraag­de toename van een hoek kan op deze manier worden gevon­den:

AC=√(2922+1392)=323,396... Ik gebruik de APP 'Drie­hoeksop­losser'. Voor de zijden a, b en c vul ik 300, 323.4 en 250 in. De functie 'Oplos­sen' geeft hoek B=71,372... De hoek was 50° en is dus met 21° toegeno­men.

Onge­lijk­heid
De HP Prime is in verge­lijking tot de TI-84 Plus een stuk sneller en biedt, ook in examen­stand, veel meer moge­lijkhe­den. Vooral de 'Drie­hoeksop­losser' geeft een kandi­daat met een HP Prime een groot voor­deel ten opzich­te van een kandi­daat met een TI-84 Plus. Het is uiter­aard de vraag of die onge­lijk­heid wel eerlijk is. En of het College voor Toetsen en Examens (CvTE) wel precies in de gaten heeft wat de HP Prime, die door dat college is goedge­keurd voor gebruik tijdens het Cen­traal Examen, alle­maal voor moge­lijkhe­den in zich bergt. Vooral bij de vragen 15 en 16 van het laatste havo-examen wiskun­de B is het evident dat een geoefen­de kandi­daat met een HP Prime gemakke­lijk kan ontsnap­pen aan toet­sing van essenti­ële wiskun­dige vaardig­heden. Ton Groene­veld Onder­tussen is vanuit HP beves­tigd dat de examen­stand eventu­eel zo kan worden aange­past dat de 'Drie­hoeksop­losser' van gebruik wordt uitge­sloten. Het CvTE heeft onder­tussen min of meer beves­tigd dat de 'Drie­hoeksop­losser' in examen­stand niet zou mogen kunnen worden ge­bruikt. Zie ook de reactie van het CvTE hieron­der.

Gebrui­kers van de HP Prime hebben bij het examen wiskun­de B havo 2018 bij vraag 15 en 16 ondanks de examen­stand gebruik kunnen maken van de applica­tie 'Drie­hoeksop­losser'. Zie het artikel hierbo­ven. Voor deze speci­fieke groep was de vraag daar­door moge­lijk iets gemakke­lijker dan voor leerlin­gen die een ander type grafi­sche rekenma­chine gebrui­ken. Het effect hiervan op de norme­ring blijkt na onder­zoek echter zeer klein te zijn. Aange­zien gemakke­lijke vragen leiden tot een lagere N-term en moeilij­ke vragen leiden tot een hogere N-term, zou dit onbe­doelde voor­deel van deze groep een nega­tief effect gehad kunnen hebben op de N-term. Op basis van informa­tie over het aantal gebrui­kers en de score­verde­ling op de vragen 15 en 16 hebben wij vastge­steld dat het effect van de 'Drie­hoeksop­losser' zo klein is dat de N-term hier­door niet beïn­vloed is. Elke rekenma­chine heeft overi­gens zijn eigen speci­fieke voor- en nadelen. Het is echter nooit de bedoe­ling dat een hulpmid­del vaardig­heden overbo­dig maakt waar­over een leer­ling volgens de sylla­bus wel moet beschik­ken. Wij zullen de ver­schil­lende toege­stane rekenma­chines hierop nog­maals nalopen om derge­lijke situa­ties in de toe­komst te voorko­men. Jacque­line Wooning, CvTE

In de WiskundE-brief is herhaal­delijk aan­dacht besteed aan het Leraren­regis­ter en de Onder­wijscoö­peratie. Vanwege het gebrek aan draag­vlak heeft minis­ter Slob beslo­ten om de stekker uit beide organi­saties te trekken. Uit een op maandag­ochtend 11 juni 2018 vrijge­geven brief van de minis­ter wordt het volgen­de duide­lijk:

• Het huidige leraren­regis­ter gaat dicht.
• De Onder­wijscoö­peratie wordt opgehe­ven en de bekosti­ging wordt per 1 januari 2019 beëin­digd.
• Het Leraren­parle­ment, dat gekop­peld was aan het leraren­regis­ter en de Onder­wijscoö­peratie, gaat zelf­standig verder.
• Leraren die dat willen, kunnen via DUO het onder­houd van hun via het leraren­regis­ter opge­bouwde portfo­lio voort­zetten.
• School­bestu­ren krijgen een grotere rol bij het 'bekwaam­heidson­derhoud'.
• Rinnooy Kan, van origine wiskun­dige maar vooral bekend vanwege aller­lei be­stuurs­func­ties, gaat advies uitbren­gen over de vraag hoe de zeer diverse beroeps­groep van leraren op een "gezag­hebben­de, samen­binden­de wijze" verte­genwoor­digd kan worden.

Overna­me taken
De publiek­rechte­lijke taken van de Onder­wijscoö­peratie, zoals het Leraren Ontwik­kel Fonds (LOF) en de bevoegd­heden­commis­sie, zullen op nog nader te bepalen wijze moeten worden overge­nomen door andere organi­saties. Voor andere activi­teiten, zoals het Leraren­congres, de Leraar van het jaar verkie­zing en Le­raar24, geldt dat zij worden ge­staakt als overna­me door andere organi­saties niet lukt. Hoe dan ook, het ministe­rie houdt voort­aan de hand op de knip. gk

Het bestuur van de Neder­landse Vereni­ging van Wiskun­delera­ren (NVvW) heeft gerea­geerd op het tweede 'tussen­product' van het ontwik­kelteam Rekenen en Wiskun­de van curricu­lum.nu. Op 18 juni 2018, aan­staande maandag dus, is er een bijeen­komst in Utrecht over zowel het product van curricu­lum.nu als de reactie van de NVvW hierop. Begin juni 2018 heeft het ontwik­kelteam Rekenen en Wiskun­de van curricu­lum.nu een tweede 'tussen­product' gepubli­ceerd dat geheel gewijd is aan 'Grote Opdrach­ten' ofwel "de essen­tie van wat leerlin­gen vanuit het perspec­tief van het leerge­bied nodig hebben om de wereld te kunnen begrij­pen (kennis) en om in die wereld ade­quaat te kunnen hande­len (vaardig­heden)". Zie ook WiskundE-brief 814. Het bestuur van de NVvW heeft op donder­dag 14 juni 2018 een concept­reactie op dit 'tussen­product' gepubli­ceerd. Geen pro­bleem­analyse
Net als bij het eerste 'tussen­product' is het belang­rijkste kritiek­punt van de NVvW ook hier weer het ontbre­ken van een analyse van de proble­matiek:

"We missen een pro­bleem­analyse: waar/waarom schiet het nu te kort en is extra aan­dacht nodig (hoe en ten koste van wat)? Oftewel: wat willen we anders doen dan we nu doen? En waarom willen we dat?"

Verder vindt het bestuur van de NVvW dat er bij de 'bekwaam­heden' selec­tief door het ontwik­kelteam is gewin­keld. Erkende vaardig­heden als 'ordenen en structu­reren', 'formu­les manipu­leren' en 'abstra­heren zijn weggela­ten terwijl 'kri­tisch denken', 'communi­ceren' en 'crea­tief denken' zijn toege­voegd. Volgens het proces­verslag van het ontwik­kelteam is men uitge­gaan van een bestaan­de lijst van vaardig­heden en heeft men daar wijzi­gingen in aange­bracht. In de concept­reactie van de NVvW wordt hier­over opge­merkt:

"Juist die verande­ringen vinden we interes­sant. We verwach­ten dat die verande­ringen in dit 'tussen­product' expli­ciet worden gemaakt en onder­bouwd worden. Waarom is er gebruik gemaakt van een bestaan­de lijst? Er wordt daarmee impli­ciet beslo­ten dat alle onder­werpen die niet op die lijst staan onbe­lang­rijk zijn voor een toekom­stig curricu­lum?"

Het bestuur van de NVvW vraagt zich ook af of de 'bekwaam­heden' moeten worden gezien als de uitein­delijke doelen van het wiskun­deonder­wijs. En wat is, zo vraagt men zich af, dan de plaats van de inhouds­domei­nen? Wiskun­de en rekenen op school
Bij de 'Grote Opdrach­ten' gaat het in het tweede 'tussen­product' om de plaats van wiskun­de en rekenen in de wereld. De plaats van wiskun­de op school en de relatie met bijvoor­beeld 'Mens en Natuur' komen niet aan bod. Het ontwik­kelteam heeft volgens het bestuur van de NVvW een wat naiëf beeld van de relatie tussen hun ideeën en het onder­wijs. De concept­reactie van de NVvW zegt hier­over:

"In een bijeen­komst met mensen van het ontwik­kelteam leek men te willen zeggen dat de bouwste­nen ver­werkt kunnen worden in lesboe­ken. Dit kan echt niet. Het moet voor ieder­een in het ontwik­kelteam duide­lijk worden dat bouwste­nen nog geen curricu­lum vormen, daar­voor is nog veel meer werk nodig. Als de bouwste­nen gereed zijn, dan is het noodza­kelijk dat er een vervolg komt, waarin gekeken gaat worden hoe de noodza­kelijke bekwaam­heden aange­leerd kunnen worden."

De boven­staande citaten zijn te lezen in het onder­deel "Algeme­ne opmer­kingen" van de concept­reactie van de NVvW. Verder­op in die concept­reactie gaat het bestuur van de NVvW nog wat verder in op de onder­werpen 'Getalbe­grip' en 'Meten' en pro­beert men een eerste aanzet te geven tot de beant­woor­ding van de door curricu­lum.nu in het 'tussen­product' gestel­de vragen. Bijeen­komst
Aan­staande maandag, 18 juni 2018, vindt er in Utrecht een informa­tiebij­een­komst plaats. Er zal dan ook iemand van curricu­lum.nu aanwe­zig zijn. Tijdens die bijeen­komst kunt u vragen stellen over het 'tussen­product' van het ontwik­kelteam en ook over de concept­reactie van het bestuur. De bijeen­komst begint om 18:00 uur en vindt plaats in de Oplei­dings­ruimte-Utrecht aan de Maria­plaats 3 te Utrecht. Volg deze link om u voor de informa­tiebij­een­komst aan te melden. U hoeft voor het bijwo­nen van deze bijeen­komst geen lid van de NVvW te zijn.

Door wiskun­dedocen­ten is massaal gehoor gegeven aan de oproep van Frans Droog om een voor­spel­ling te doen van de N-termen voor het Cen­traal Examen. We besteed­den in WiskundE-brief 813 en WiskundE-brief 814 aan­dacht aan zijn 'wisdom of crowds'-experi­ment. Nu de N-termen door het CvTE zijn gepubli­ceerd, kunnen we nagaan of de massa van wiskun­dedocen­ten in staat is geweest om de N-termen nauwkeu­rig te voor­spellen. In de onder­staande tabel worden de voor­spellin­gen vergele­ken met de gepubli­ceerde eindter­men.

oplei­ding	vak	geschat­te N-term	gepubli­ceerde N-term
vmbo	wiskun­de	0,9	1,0
havo	wiskun­de A	1,1−1,2	1,2
havo	wiskun­de B	1,0−1,1	1,2
vwo	wiskun­de A	0,8	0,6
vwo	wiskun­de B	0,9	0,9
vwo	wiskun­de C	0,9−1,0	0,6

Afge­zien van vwo wiskun­de A/C waren de voor­spellin­gen behoor­lijk goed. Een interes­sant experi­ment!

Het team dat Neder­land deze zomer zal verte­genwoor­digen bij de Interna­tionale Wiskun­de Olympia­de in Roeme­nië is dit weekend geselec­teerd. Om zich te plaat­sen, moesten de zes veelbe­lovende middel­bare scholie­ren in een zware selec­tie ruim 10.000 anderen achter zich laten. De teamle­den nemen het in juli 2018 op tegen wiskun­detalen­ten uit meer dan honderd andere landen. Tijdens het door de Rabo­bank en Land­goed De Rosep moge­lijk gemaak­te trai­nings­kamp streden dertien win­naars van de Neder­landse Wiskun­de Olympia­de de afgelo­pen week voor een plaats in het Neder­landse team. Deze zes leerlin­gen plaats­ten zich uitein­delijk:

	Het Neder­landse team

• Nils van de Berg (18 jaar, Ooster­hout (NB), 6 vwo, Sint-Oelbert­gymnasi­um Ooster­hout NB)
• Szabi Buzoga­ny (18 jaar, Amers­foort, 5 vwo, Corderi­us College Amers­foort)
• Thomas Chen (16 jaar, Den Haag, 6 vwo, Gymnasi­um Haganum Den Haag)
• Jovan Gerb­scheid (15 jaar, Amster­dam, 4 vwo, St. Ignati­usgymna­sium Amster­dam)
• Jippe Hooge­veen (15 jaar, Odijk, 4 vwo, Open­baar Lyceum Zeist)
• Mat­thijs van der Poel (17 jaar, IJssel­stein, 5 vwo, Christe­lijk Gymnasi­um Utrecht)

Naast deze zes leerlin­gen gaat nog een zevende leer­ling mee naar Roeme­nië. Het is de winnaar van de aanmoe­digings­prijs, een prijs die is bestemd voor jong aanstor­mend talent en beschik­baar wordt gesteld door het Freuden­thal Insti­tuut van de Univer­siteit Utrecht. Die leer­ling is:

• Richard Wols (15 jaar, Ruinen, 5 vwo, CSG Dingste­de Meppel)

Presti­gieus
De Interna­tionale Wiskun­de Olympia­de is de meest presti­gieuze wiskun­dewed­strijd ter wereld. Leerlin­gen worden voor opgaven gesteld die zelfs profes­sionele wiskun­digen nog behoor­lijk lastig vinden. Het Neder­landse team vliegt op 29 juni 2018 naar Roeme­nië en zal daar in een trai­nings­kamp nog nader worden voorbe­reid. Van 7 tot 14 juli 2018 vindt dan vervol­gens de Olympia­de plaats. Het Neder­landse team wordt bege­leid door Birgit van Dalen (Univer­siteit Leiden, ISW Hooge­land Naald­wijk), Quin­tijn Puite (Techni­sche Univer­siteit Eindho­ven, Hoge­school Utrecht) en Jetze Zoet­hout (Univer­siteit Utrecht).

Op zater­dag 3 novem­ber 2018 zal de jaar­lijkse studie­dag van de Neder­landse Vereni­ging voor Wiskun­dedocen­ten (NVvW) plaats­vinden. De studie­dag zal gewoon­tege­trouw in het Ichthus College te Veenen­daal worden gehou­den. Het thema van de studie­dag is dit keer: Natuur(lijk(e)) wiskun­de. "Het boek van de natuur is geschre­ven in de taal van de wiskun­de". Aldus sprak Galilei. Zonne­bloemen en konij­nen worden door wiskun­digen al snel in verband ge­bracht met Fibonac­ci. Laat wat vossen los en je kunt experi­mente­ren met een prooi­roof­dier model. Tenzij het prooi­dier, zoals sommige cicaden, zich alleen tijdens vreemde priemcy­cli laten zien. De natuur zit vol wiskun­dige structu­ren en patro­nen. Wiskun­de helpt om die te door­zien, te verkla­ren en te benut­ten. Hoeveel part­ners moet je laten schie­ten om je aan de beste keuze te verbin­den? Natuur(lijk(e)) wiskun­de
De vele haakjes in het thema van de studie­dag staan daar niet voor niets. Wat is een natuur­lijke manier om wiskun­de te leren? Is de geschie­denis van de wiskun­de een lei­draad voor het leerpro­ces van leerlin­gen? Is het de wiskun­dige struc­tuur zelf of moeten we zoeken naar leerwe­gen die voor de leer­ling beteke­nisvol zijn? Wel­licht is het ant­woord afhanke­lijk van de leef­tijd, het niveau en de belang­stel­ling van de leer­ling. Verzorg een werk­groep
Tijdens de studie­dag staan natuur en wiskun­de, de natuur­lijke weg naar wiskun­de en het hoe en waarom van 'natuur­lijk wiskun­de' cen­traal. Heeft u erva­ring met een didacti­sche benade­ring waarmee leerlin­gen op een natuur­lijke manier een wiskun­dig begrip of wiskun­dige vaardig­heid leren? Meld u zich dan aan voor het verzor­gen van een werk­groep tijdens de studie­dag en geef uw idee voor een bijdra­ge door via hoofdbu­reau@nvvw.nl.

Auteurs:	Drs. P en Marjo­lein Kool
Uitgeve­rij:	Nijgh en Van Ditmar
Aantal pagina's:	216
ISBN:	978 90 388 0515 3
Prijs:	€ 15,00

Exacte vakken en poëzie zijn wel dege­lijk met elkaar te vereni­gen. Het boekje "Wis- en natuur­lyriek" levert hier­voor het bewijs. De buis van Torri­celli en de stel­ling van Pythago­ras, verpakt in vrolij­ke verzen, zullen alfa's en bèta's verruk­ken en nader tot elkaar brengen. Zo zal de kloof die eeuwen­lang tussen beiden bestond, einde­lijk gedicht worden. In deze uitge­breide herdruk staan 23 nieuwe versen van Marjo­lein Kool. Heinz Polzer (drs. P) over­leed in juni 2015 op 95 jarige leef­tijd.

Stad & Esch te Meppel zoekt met ingang van school­jaar 2018−2019 een eerste­graads bevoegd docent wiskun­de voor 0,8−1,0 fte. Heeft u belang­stel­ling voor het werken bij Stad & Esch? Kijk dan op www.staden­esch.nl. Ook op Meester­baan.nl presen­teren we onze school en kunt u direct sollici­teren.

Collega's gezocht VMBO Wiskun­de Jaar 3

Bent u nog steeds niet op de HP Prime overge­stapt? Waarom niet? Het ligt niet aan de snel­heid of aan het ge­bruiks­gemak. Het kan ook niet aan de prijs liggen; die is gelijk aan uw TI/Casio. Aan de onder­steu­ning bij de lesme­thoden ligt het ook niet want die is volop beschik­baar. Wat is het dan wel? Nodig ons eens vrij­blij­vend uit om u te laten zien hoeveel interes­santer het gebruik van de grafi­sche rekenma­chine kan worden. U ont­vangt van ons een eigen rekenma­chine en al uw leerlin­gen krijgen een gratis Prime-app. Neem contact op met info@hp-prime.nl en we plannen snel een af­spraak in.

Getal & Ruimte is 50 jaar en dat vieren we. Doe mee met onze wed­strijd en win een uitje met uw klas naar het NEMO Science Museum. Volg deze link voor meer informa­tie of om u aan te melden.