nummer 877, 22 novem­ber 2020

In 2020 werden vanwege COVID-19 behalve de eindexa­mens ook de eind­toetsen in groep 8 ge­schrapt. Deze maatre­gel lag voor de hand maar was wel­licht niet zonder gevol­gen. In hoever­re zijn kwetsba­re groepen van deze maatre­gel de dupe gewor­den? Sinds 2015 gaat de advise­ring aan het eind van de basis­school als volgt:

1. In het begin van het kalen­derjaar, vaak in februa­ri, wordt door de basis­school een voorlo­pig advies uitge­bracht.
2. In april maken de leerlin­gen een centra­le eind­toets.
3. Als de uitslag van die eind­toets wijst op een hoger niveau dan is geadvi­seerd, dan moet het advies van de basis­school herover­wogen worden.

Dat de eind­toets in 30% tot 40% van de geval­len op een hoger en in 25% tot 30% van de geval­len op een lager niveau wijst, is niet vreemd als je bedenkt dat er negen niveaus zijn en het meestal om betrek­kelijk kleine ver­schil­len gaat, zoals het ver­schil tussen een mavo/havo-advies en een havo-advies. Na de ver­plichte herover­weging wordt het advies in onge­veer een kwart van de geval­len bijge­steld. Die bijstel­ling is altijd naar boven; een bijstel­ling naar beneden is niet toege­staan. Milieu en eind­toets
Van ver­schil­lende kanten wordt er gesteld dat vooral leerlin­gen uit wat armere milieus gebaat zijn bij het maken van een centra­le eind­toets in groep 8. Het een en ander zou dan moeten blijken uit een diagram als hieron­der, waaruit een duide­lijke correla­tie valt af te lezen tussen de inko­mens­klasse ener­zijds en de positie­ve afwij­king tussen voorlo­pige advise­ring en eind­toets ander­zijds. De conclu­sie dat leerlin­gen uit gezin­nen met lagere inko­mens door de leer­krach­ten vaker worden onder­schat, lijkt voor de hand te liggen. Maar los van de vraag of de eind­toets altijd als norm kan worden genomen, kunnen er bij deze kwestie statis­tische valkui­len opdoe­men. De meest beruch­te valkuil is, in aller­lei varian­ten, de paradox van Simpson. In decem­ber 2018 besteed­de ik in WiskundE-brief 831 aan­dacht aan de cijfers van 2017. Ik liet in mijn artikel zien dat het effect van de veron­derstel­de onder­schat­ting leek te verdwij­nen wanneer de vwo-advie­zen buiten beschou­wing werden gelaten. Op het eerste gezicht lijkt dat vreemd omdat juist een vwo-advies niet naar boven kan worden bijge­steld. Maar als je er even over nadenkt, dan valt dit ver­schijn­sel echter goed te verkla­ren. Het is de paradox van Simpson die de argelo­ze beschou­wer op een dwaal­spoor brengt. Paradox van Simpson
Hoe wreekt deze paradox zich? Wel, in 2017 kreeg 36% van de leerlin­gen uit de hoogste inko­mens­groep (de hoogste 20%) een vwo-advies terwijl dat bij de laagste inko­mens­groep (de laagste 40%) slechts 12% was. Een logisch gevolg hiervan is dat die laatste groep een grotere kans had op een hoger eind­toetsad­vies. Dit ver­schil in kans veroor­zaakt het vermeen­de maar niet bestaan­de ver­schil. Per advies­niveau waren er in 2017 weinig ver­schil­len tussen de inko­mens­groepen te zien en in de combina­tie van alle niet-vwo-advie­zen was het ver­schil tussen de hoogste inko­mens­groep ener­zijds en de laagste twee inko­mens­groepen ander­zijds vol­strekt te verwaar­lozen. 2017 was een uitzon­dering
In decem­ber 2018 ging ik er bij het schrij­ven van mijn artikel vanuit dat de situa­tie in 2017 niet of nauwe­lijks zou afwij­ken van die in andere jaren. Achter­af blijkt dat een onjuis­te aanname van mij te zijn geweest. 2017 was een uitzon­dering! Vanaf 2015, toen het nieuwe systeem van de voorlo­pige advise­ring werd inge­voerd, zijn er voor de andere jaren wél duide­lijke ver­schil­len te zien tussen de inko­mens­groepen, ook als je de vwo-advie­zen buiten beschou­wing laat. In 2019, het laatste jaar dat de eind­toetsen werden afgeno­men, waren die ver­schil­len het grootst. Bij de laagste twee inko­mens­groepen pakte in 2019 het eind­toetsad­vies in 54% van de geval­len hoger uit dat het voorlo­pig school­advies. In de hoogste inko­mens­groep ging het om 45% van de geval­len. Beide percen­tages zijn bijzon­der hoog en op het waarom van deze hoge percen­tages ga ik nu even niet in. Maar een ver­schil van bijna 9 procent­punten geeft wel te denken. Hieron­der heb ik deze ver­schil­len voor de jaren 2015-2019 in beeld ge­bracht. Hoewel de ver­schil­len niet ontzet­tend groot zijn, lijkt het mij toch duide­lijk dat leerlin­gen uit gezin­nen waar men het wat minder breed heeft een wat grotere kans lopen om ten opzich­te van de eind­toets te laag te worden inge­schat dan leerlin­gen uit gezin­nen waar men wat ruimer in de slappe was zit. En dat beeld is duide­lijk anders dan ik op basis van de cijfers van 2017 schets­te. Migra­tieach­ter­grond
Wel­licht zou je verwach­ten dat er met betrek­king tot de migra­tieach­ter­grond van leerlin­gen een soortge­lijk beeld ont­staat. Dat blijkt echter niet zo te zijn. Over alle advie­zen scoren leerlin­gen met een migra­tieach­ter­grond in 41,5% van de geval­len hoger op de eind­toets terwijl dat percen­tage voor leerlin­gen zonder migra­tieach­ter­grond op 40% ligt. Corri­geer je echter voor de paradox van Simpson en laat je de vwo-advie­zen buiten beschou­wing, dan krijg je met 49,3% tegen 50% juist de omge­draaide situa­tie. De cijfers laten voor leerlin­gen met een migra­tieach­ter­grond dus geen systema­tische onder­schat­ting zien. Kwetsba­re groepen de dupe?
In hoever­re zijn kwetsba­re groepen nu de dupe gewor­den van het schrap­pen van de eind­toets in 2020? De cijfers tonen aan dat het gevaar dreigt dat leerlin­gen uit armere gezin­nen dit school­jaar door het ontbre­ken van de eind­toets wat minder 'hoog' zijn inge­stroomd in het voortge­zet onder­wijs. Geluk­kig werd er in het voor­jaar van 2020 al voor dit effect gewaar­schuwd. Wel­licht is men op de basis­scholen dit jaar wat ruimhar­tiger omge­gaan met de advise­ring. Binnen­kort weten we meer. gk

Over ruim twee weken zal er opnieuw een interna­tionale verge­lijking van het rekenon­derwijs op de basis­school ver­schij­nen. Er is reden om die publica­tie met enige span­ning tege­moet te zien want de resulta­ten van dit vier­jaar­lijkse TIMSS-onder­zoek hebben voor Neder­land tot nu toe een vrij sterk dalende trend laten zien. Op de uitkom­sten moeten we nog even wachten maar er is al wel een over­zicht beschik­baar gekomen waarin ver­schil­len en overeen­komsten bij het rekenon­derwijs op de basis­school worden geïnven­tari­seerd. TIMSS is de afkor­ting van Trends in Interna­tional Mathema­tics and Science Study. De organi­satie doet elke vier jaar een groot interna­tionaal onder­zoek, onder andere naar het rekenon­derwijs op de basis­school. Daarbij staan de groepen 6 en 8 (grade 4 en 6) cen­traal. Neder­land doet alleen mee met het onder­zoek in groep 6. De resulta­ten van het onder­zoek van 2019 zullen op 8 decem­ber 2020 worden gepubli­ceerd. Curricu­lum, onder­wijs­tijd en toet­sing
Behalve testsco­res bevat­ten de publica­ties vaak ook aller­lei wetens­waardig­heden over het onder­wijs in de diverse landen. Die wetens­waardig­heden blijven soms wat onderbe­licht. Het is daarom goed dat TIMSS nu al een encyclo­pedie heeft gepubli­ceerd waarin aan­dacht is voor zaken als curricu­lum, onder­wijs­tijd en toet­sing. Een van zaken die worden belicht, is het aantal onder­werpen dat aan het eind van groep 6 aan de orde is gekomen. Daarbij wordt er onder­scheid gemaakt tussen onder­werpen die met alle leerlin­gen behan­deld zijn en onder­werpen die alleen binnen een selecte groep aan bod zijn gekomen. Bij rekenen en wiskun­de in groep 6 gaat het om 7 onder­werpen over getal­len, 7 onder­werpen over meten en meetkun­de en 3 onder­werpen over gege­vensver­werking. In sommige landen, zoals in België (Vlaande­ren), Denemar­ken en de VS, komen al deze onder­werpen voor alle leerlin­gen aan de orde. In andere landen, zoals in Duits­land, Frank­rijk en Zweden, is dat wat minder. Gemid­deld worden 14 van de in totaal 17 onder­werpen als basis­stof behan­deld. Neder­land is uitzon­derlijk
De situa­tie in Neder­land is uitzon­derlijk te noemen. Bij ons worden slechts 8 van 17 onder­werpen met alle leerlin­gen behan­deld en 3 onder­werpen binnen een selecte groep behan­deld. Bij de onder­werpen over getal­len komen 4 van de 7 onder­werpen totaal niet aan de orde. Bij de onder­werpen over meten en meetkun­de komen slechts 2 van de 7 onder­werpen aan de orde. Alleen bij gege­vensver­werking is het beeld in Neder­land iets gunsti­ger. Alle onder­werpen komen daar aan de orde, zij het dat twee van de drie onder­werpen alleen voor de meer getalen­teerden aan de orde komen. Het gaat bij het TIMSS-onder­zoek om de situa­tie aan het einde van groep 6. De vermel­de achter­standen hoeven in dat stadium nog niet zo veel te beteke­nen. Er kunnen redenen zijn om te kiezen voor een heel geleide­lijke opbouw. Dat zouden we dan terug moeten zien bij de oudere leerlin­gen. Helaas kunnen we de Neder­landse resulta­ten aan het einde van groep 8 niet langs deze interna­tionale meetlat leggen omdat Neder­land alleen met groep 6 aan TIMSS meedoet. Meer of minder?
In hoever­re is de Neder­landse beper­king van de hoeveel­heid leer­stof tot en met groep 6 welover­wogen en verstan­dig? Er komen mij regelma­tig voor­stellen onder ogen waarin wat betreft rekenen en wiskun­de wordt gepleit voor een nog grotere beper­king en een nog rusti­ger opbouw. Maar wordt het niet eens tijd om in interna­tionaal perspec­tief serieus te overwe­gen om juist eens wat meer te doen? Gerard Kool­stra

4TU.AMI, een samen­wer­kings­verband van de univer­sitei­ten van Delft, Eindho­ven, Twente en Wagenin­gen, organi­seert ook dit jaar in de decem­berda­gen voor kerst weer een wiskun­dewed­strijd voor scholie­ren in het voortge­zet onder­wijs. De vier techni­sche univer­sitei­ten werken hierbij samen met het Duitse wiskun­de-insti­tuut Matheon in Berlijn. De wed­strijd wordt in de vorm van een digita­le advents­kalen­der, de zoge­naamde Matheka­lender, ge­speeld van 1 tot en met 24 decem­ber 2020. In die periode wordt elke dag op de officie­le wed­strijd­site www.matheka­lender.de een vakje van de digita­le kalen­der "geopend" waarach­ter zich een wiskun­dige opgave bevindt met tien mogelij­ke antwoor­den. Omdat het meerkeu­zevraag­stukken zijn, worden er geen toelich­tingen of bewij­zen ge­vraagd. Pittige uitda­gingen met leuke prijzen
De opgaven zijn uitda­gend en soms zelfs van het niveau van de finale van de Neder­landse Wiskun­de Olympia­de. De oplos­singen vergen in princi­pe echter geen geavan­ceerde wiskun­de. Er zijn fraaie prijzen beschik­baar, waaron­der een laptop voor de best scoren­de Neder­landse scho­lier. In­schrij­ven
Aanmel­ding is vanaf 1 novem­ber 2020 moge­lijk op de Duitse website www.matheka­lender.de. Op de Neder­landse website van de wed­strijd is meer informa­tie te vinden, waaron­der ook wat oefenop­gaven.

Op donder­dagmid­dag 3 decem­ber 2020 organi­seert het vak­steun­punt wiskun­de van Bèta­part­ners Amster­dam een online sessie met Mar­griet van der Heijden over haar nieuwe boek De wiskun­detrom­pet. Tijdens deze bijeen­komst vertelt zij over de inhoud en de tot­standko­ming van het boek waarna er met enkele van de vraag­stukken uit het boek interac­tief met u wordt gepuz­zeld. Vanaf 15:45 uur staat de Zoom-verbin­ding open. De presen­tatie van Mar­griet van der Heijden zal van 16:00 uur tot 16:30 uur plaats­vinden. Na het interac­tieve puzze­len zal de sessie om 16:50 uur worden afgeslo­ten. Gratis
Aan deelna­me zijn geen kosten verbon­den. Er geldt echter wel een maximum van 25 deelne­mers. Reageer dus snel. U kunt zich aanmel­den door een e-mail naar kees.temme@uva.nl te sturen.

Er werd vorige maand fana­tiek geboden op het aanbod van de oktober­veiling van het Wereld­wiskun­de Fonds. De ruim 2900 bieding­en resul­teerden in 563 verkoch­te boeken en een record­op­brengst van € 3361,02. De extra 100+1-veiling, georga­niseerd als compen­satie voor het niet door­gaan van de boeken­kraam op de NVvW-studie­dag, leverde nog eens € 1142,= op. Dit alles neemt niet weg dat er nog heel veel prachti­ge boeken over zijn, waaron­der buiten­landse studie­boeken, Neder­landse school­boekjes en leuke opgaven­boekjes. Het is daarom weer tijd voor de traditi­onele Winter­verkoop waarin alle boeken voor een vaste lage prijs worden ver­kocht. Op de veiling­site staan ruim 400 boeken en jaargan­gen Pythago­ras klaar voor de Winter­verkoop. Tot 21 april 2021 kunnen deze prachti­ge wiskun­dewer­ken voor een prikkie worden gekocht. De op­brengst wordt, u weet dat onder­tussen, volle­dig besteed aan projec­ten voor wiskun­deonder­wijs in de derde wereld. Jos Remijn (wereld­wiskun­deboe­ken@nvvw.nl)
veiling­meester WwF

De geschie­denis van de wiskun­de laat goed zien hoe de mens­heid gewor­steld heeft met de ontwik­keling van wiskun­dige concep­ten en metho­den. In de tweede bijeen­komst van het scholen­netwerk Zuid Holland be­spreekt Roel van Asselt "evergreens" uit de geschie­denis van de wiskun­de, onder­werpen die goed in de klas zijn te gebrui­ken, zoals de kwadra­tuur van de cirkel, de laatste stel­ling van Fermat, het begrip onein­dig (groot, veel, klein), de verknoping van filoso­fie en wiskun­de, de mysti­cus Pythago­ras, de wiskun­dige Plato, de charla­tan Cardano, de onvoor­stelba­re Euler etc. Daar­naast komen korte vraagstukjes aan bod die zich ook lenen om in de klas te behande­len. De bijeen­komst is online. Datum: 3 decem­ber van 16:00 tot 18:30 uur.
Aanmel­den kan via deze link. Voor part­ners van het Onder­wijsnet­werk Zuid-Holland zijn er geen kosten verbon­den aan deelna­me. Aan docen­ten van van andere scholen worden, na een eerste gratis kennis­makings­bijeen­komst, wel kosten in reke­ning ge­bracht. Jeroen Spandaw, Wim Caspers, Peter Kop

Auteur:	Mar­griet van der Heijden en Iris Rijsman
Uitgeve­rij:	Nieuwer­zijds
Aantal pagina's:	131
ISBN:	978-90-571-2537-9
Prijs:	€ 16,95

Voor een taart staan honderd mensen in de rij. De eerste krijgt één honderd­ste stukje taart. De tweede krijgt twee honderd­ste van de rest van de taart. De derde krijgt daarna drie honderd­ste van de rest van de taart en zo door. Op welke plek in de rij krijg je het groot­ste stuk taart? De wiskun­detrom­pet laat zien hoeveel muziek er in wiskun­de zit en wat een trompet met een taart te maken heeft. Het boek staat vol gekke logi­sche puzzels en vrolij­ke wiskun­de. Welke getal­len gedra­gen zich als hagel­stenen? Hoe zeg je wiskun­dig: 'Ik hou van jou?' Wat is het geheim van de dennen­appel? Wat is de overeen­komst tussen het getal­lenpaar 4 en 10, het paar 6 en 21 en het paar 10 en 55? Wie De wiskun­detrom­pet heeft gelezen, kijkt een beetje anders naar trompet­ten, dennen­appels en taart. En naar de wiskun­de zelf.

Auteur:	Rik Vooys
Uitgeve­rij:	Epsilon Uitga­ven
Aantal pagina's:	68
ISBN:	978-90-5041-185-1
Prijs:	€ 10,=

Gaat er een wiskun­dige grond­slag schuil achter de Prenten­tentoon­stel­ling van M.C. Escher? En wat zit er achter de mysteri­euze blanco plek in het midden van deze litho? De plek waar de afbeel­ding in lijkt te verdwij­nen? Wiskun­digen van de Univer­siteit Leiden hebben deze vraag al eens bestu­deerd met behulp van ellipti­sche krommen. In dit Zebra­boekje wordt gebruik gemaakt van meer toegan­kelijke technie­ken uit de com­plexe analyse, te weten de com­plexe getal­len en de exponen­tiële functie. Rik Vooys combi­neert dit met het schuin oprol­len van papier om de Prenten­tentoon­stel­ling com­pleet te maken.

Wiskun­dedocen­ten kunnen nog dit najaar, op een tijd­stip naar keuze, een aantal webcur­sussen via af­stands­onder­wijs volgen. In de webcur­sus "Tools voor digi­taal lesge­ven in de wiskun­de" ontdekt u de ge­bruiks­moge­lijkhe­den van gratis interac­tieve webap­plica­ties voor af­stands­leren. In de geheel opnieuw bewerk­te webcur­sus "GeoGe­bra 6 van A tot Z" worden de didacti­sche toepas­singen van GeoGe­bra uitvoe­rig bespro­ken. Met een handlei­ding van ruim 250 pagina's is deze cursus een onmis­baar naslag­werk voor elke wiskun­dedo­cent. De webcur­sus "Statis­tiek, data en onzeker­heid" bestaat uit een collec­tie van leerpa­den voor be­schrij­vende statis­tiek. Ga voor meer informa­tie of om u in te schrij­ven naar www.mathelo.net.

Het havo/vwo lesmate­riaal van Math4­all wordt in 2020 volle­dig herzien. Dat is voor een groot deel inmid­dels gebeurd. Vanuit dit ver­nieuwde materi­aal kunt u een eigen selec­tie maken waarmee u pdf-readers kunt samen­stellen. Zo kunt u als het ware uw "eigen" lesme­thode samen­stellen. Wilt u hier­over meer weten? Bekijk dan de kaart op de startpa­gina van www.math4­all of mail naar f.spij­kers@math4­all.nl.

Onlangs ver­scheen de bundel Meetkun­de, ontwik­keld door de Samen­wer­kings­groep Leraren­oplei­dingen Wiskun­de tweede­graads (SLW). De bundel vormt een prak­tijk­boek voor wiskun­delera­ren met een rijke bron aan lesidee­ën, bijvoor­beeld wat betreft het inzet­ten van materia­len, het bieden van gediffe­renti­eerde opdrach­ten en het toepas­sen van wiskun­dige denkac­tivitei­ten. De onderde­len in het hoofd­stuk "Hoe geef ik les over ..." geven voor alle meetkun­deonder­werpen uit het curricu­lum vmbo en onder­bouw havo/vwo voor­beelden en didacti­sche aanwij­zingen. Daar­naast bevat de bundel over­zichten van de leerlij­nen, didacti­sche model­len en leer­theo­rieën die passen bij het meetkun­deonder­wijs. Volg deze link om de bundel Meetkun­de te bestel­len.

Steeds meer scholen weten de weg naar Smart­Wiskun­de te vinden. Mede daarom zoeken wij verster­king in de vorm van een extra hoofdau­teur. Bent u toe aan een nieuwe uitda­ging of zoekt u een aanvul­ling op uw huidige baan? Wij bieden een unieke kans om, met passie voor tech­niek en didac­tiek, mee te werken aan de dooront­wikke­ling van de enige echte blended wiskun­de methode: Smart­Wiskun­de. Bekijk hier onze vacatu­re voor hoofdau­teur, stuur ons daarna uw cv en een korte motiva­tie en we gaan graag het gesprek met u aan.

In een vakover­stij­gend project van vier weken werkten de leerlin­gen uit havo 5 van het Marti­nuscol­lege in Groote­broek aan duurza­me manie­ren om vuilnis te verwer­ken. Ze bedach­ten zelf creatie­ve oplos­singen met TI-Nspire CX techno­logie en program­meren in Python. In het project zijn delen van het curricu­lum gecombi­neerd, waaron­der tech­nisch ontwer­pen, techni­sche automa­tise­ring, natuur­kunde, klimaat en beroe­peno­riënta­tie. Lees hier een blog over het project en bekijk de video.