nummer 858, 24 novem­ber 2019

Uit de resulta­ten van een enquête die de Algeme­ne Onder­wijs­bond (Aob) onder haar leden heeft gehou­den, blijkt dat de leden weinig kennis dragen van de plannen van curricu­lum.nu. Ook is er onder de leden maar weinig steun voor die plannen te vinden. Dat geldt zeer zeker ook voor de plannen voor rekenen en wiskun­de. Vlak na de publica­tie van het eindad­vies van curricu­lum.nu beant­woorden ruim 600 docen­ten die vanuit hun vakge­bied te maken hebben met rekenen en wiskun­de de Aob-vragen­lijst. Meer dan de helft van de onder­vraag­den bleek het eind­voor­stel slecht of niet te kennen. Slecht een kleine minder­heid kende het eind­voor­stel goed (6%) of rede­lijk (12%): Het is dus niet verwon­derlijk dat een groot deel van de respon­denten de vragen­lijst niet heeft afge­maakt. Visie
Bijna 200 leraren hebben hun oordeel gegeven over de door curricu­lum.nu geformu­leerde visie op rekenen en wiskun­de. Bijna de helft hiervan gaf te kennen, zich niet te kunnen vinden in het eind­voor­stel. Ruim de helft zag in het eind­voor­stel geen verbete­ring ten opzich­te van de huidige situa­tie: Van de bijna 200 docen­ten was onge­veer een derde deel werk­zaam binnen het voortge­zet onder­wijs. De overige onder­vraag­den waren voorna­melijk werkzam binnen het primair onder­wijs. Docen­ten van havo/vwo zijn het meest nega­tief in hun oordeel. Binnen het vmbo was er wat meer even­wicht binnen de menin­gen te vinden. Bouwste­nen
Slechts 134 respon­denten waren in staat om commen­taar te leveren op de bouwste­nen. Binnen het primair onder­wijs en de theore­tische en gemeng­de leerwe­gen van het vmbo oordeel­de men over die bouwste­nen overwe­gend posi­tief. Bij de overige de docen­ten was het oordeel juist overwe­gend nega­tief. Opval­lend was dat docen­ten vmbo GT de bouwste­nen in meerder­heid een verbete­ring ten opzich­te van de huidige situa­tie vonden. Binnen de andere secto­ren lag dat duide­lijk anders. Samenge­vat ziet de situa­tie er zo uit: Andere leerge­bieden
Uiter­aard moeten de gepre­senteer­de uitkom­sten, mede gezien de vrij kleine aantal­len, met enige marge worden geïnter­pre­teerd. Toch tekent zich een duide­lijk beeld af, zeker ook omdat voor de meeste andere leerge­bieden een overeen­komsti­ge tendens in de beoorde­ling door docen­ten valt waar te nemen. Positie­ve gelui­den waren te horen binnen de leerge­bieden Bewegen en Sport, Kunst en Cultuur en Digita­le gelet­terd­heid. Collega's binnen het leerge­bied Mens en Natuur waren echter nog veel kriti­scher gestemd dan de collega's binnen het leerge­bied rekenen en wiskun­de. Discus­sie
De Neder­landse Vereni­ging van Wiskun­delera­ren (NVvW) is zowel direct als indi­rect via de Federa­tie van Onder­wijsvak­organi­saties (FvOV) bij curricu­lum.nu betrok­ken. Op het forum van de NVvW, dat alleen voor leden toegan­kelijk is, heeft Wim van de Hulst een discus­sie gestart over het stand­punt van NVvW/FvOV met betrek­king tot het eind­voor­stel van curricu­lum.nu. gk bronnen:

• Rapport Algeme­ne Onder­wijs­bond Enquête Curricu­lum.nu.
• Oorde­len over de 9 leerge­bieden.

Hoewel in de prak­tijk de keuze van de grafi­sche rekenma­chine door­gaans door de school wordt gemaakt, heeft elke leer­ling in Neder­land het recht om zelf een door het College voor Toetsen en Examens (CvTE) goedge­keurde grafi­sche rekenma­chine te gebrui­ken. Je kunt je afvra­gen of er hier­door nog wel sprake is van gelijke kansen tijdens het eindexa­men. Er bestaan name­lijk behoor­lijke ver­schil­len tussen de diverse merken en types grafi­sche rekenma­chines. Vanuit het door mij in 2004 opge­richte bijles­insti­tuut Math­Mind geef ik leerlin­gen regelma­tig voor­lich­ting met betrek­king tot de te kiezen grafi­sche rekenma­chine. Het is mij tijdens die voor­lich­ting opgeval­len dat er onder­tussen met name een groot ver­schil is ont­staan tussen de Casio ener­zijds en de overige toege­stane machi­nes ander­zijds. Exact of niet exact?
Het meest in het oog sprin­gende ver­schil vind ik de moge­lijk­heid van de Casio om verge­lijkin­gen exact, althans met exacte antwoor­den, op te lossen. Ik geef u twee voor­beelden:

• Via de optie Polyno­mial geeft de Casio als oplos­singen van de verge­lijking −3x² + 2x + 6 = 0 de exacte oplos­singen (1 − √19)/3 en (1 + √19)/3.
• Bij het oplos­sen van een goniome­trische verge­lijking als 2cos(2x − π/3) = 1 presen­teert de Casio een hele reeks doorbla­derbare exacte oplos­singen: −2π, −⁵/₃π, −π, −²/₃π, 0, ¹/₃π, ...

Ik weet uiter­aard dat bij de om­schrij­ving van exact oplos­sen van verge­lijkin­gen in de lijst examen­werk­woorden uitdruk­kelijk het gebruik van speci­fieke opties van de grafi­sche rekenma­chines wordt uitge­sloten. Dat neemt echter niet weg dat leerlin­gen met de exacte antwoor­den op het scherm vrij eenvou­dig en met een trefze­ker gevoel naar het ant­woord kunnen toewer­ken. En dat is voor­waar een voor­deel! Examen­opgave
Ter illu­stratie heb ik vraag 7 van het Cen­traal Examen vwo wiskun­de B 2017, eerste tijdvak, eens met een Casio grafi­sche rekenma­chine opge­lost. Bij deze vraag moet de examen­kandi­daat exact bepalen voor welke waarde tussen 0 en ²/₃π de afstand tussen twee sinusoï­den maxi­maal is. Zie de afbeel­ding rechts. Voor de oplos­sing heb ik de twee func­ties uit de opgave in de Casio inge­voerd. Als derde functie heb ik vervol­gens de numerie­ke afgelei­de van de ver­schil­functie inge­voerd en daarvan de nulpun­ten bepaald. Let op: ik heb de afgelei­de dus niet bere­kend maar door de grafi­sche rekenma­chine nume­riek laten benade­ren. De Casio geeft mij dan tot mijn verras­sing een reeks exacte antwoor­den waaruit eenvou­dig het juiste ant­woord kan worden gekozen. Voor­deel
Hierbo­ven heb ik slechts een paar voor­beelden opge­noemd waarbij leerlin­gen met een Casio grafi­sche rekenma­chine tijdens het eindexa­men duide­lijk in het voor­deel zijn ten opzich­te van leerlin­gen met bijvoor­beeld een Texas Instru­ments grafi­sche rekenma­chine. Dat ver­schil vind ik onwense­lijk en moet naar mijn mening snel teniet worden gedaan. Dat zou het CvTE bijvoor­beeld kunnen bewerk­stelli­gen door slechts één grafi­sche rekenma­chine toe te staan of door fabri­kanten voor te schrij­ven om de grafi­sche rekenma­chines van dezelf­de functio­nalitei­ten te voor­zien. Ir. Sjuup Rekko

Begin novem­ber 2019 werden de resulta­ten gepubli­ceerd van een onder­zoek naar de vraag in hoever­re er in lesboe­ken stereo­typen over bepaal­de groepen, zoals vrouwen en mensen met een niet-wester­se achter­grond, worden beves­tigd en welke bood­schap­pen er door die lesboe­ken op die manier impli­ciet aan leerlin­gen worden doorge­geven. In Neder­land worden er 17 boeken voor Neder­lands en 16 boeken voor wiskun­de in de brug­klas ge­bruikt. Al deze boeken werden onder­zocht. In de onder­zochte boeken figure­ren in de contex­ten gemid­deld ruim 300 persona­ges per boek maar in een kwart van de boeken ligt dit gemid­delde met 50 tot 100 perso­nen bedui­dend lager. Er blijkt dat er met betrek­king tot oplei­dings­soort en vak geen signifi­cante ver­schil­len in de boeken zijn te ontdek­ken. Ge­slacht en afkomst
Opval­lend is dat vrouwen, zowel in tekst als in afbeel­ding, minder voorko­men dan mannen. Het aandeel vrouwe­lijke persona­ges vari­eert van 32% tot 50% en is gemid­deld 41,4%. Qua etnici­teit ligt de zaak wat genuan­ceerder, want hoe inter­preteer je wat dat betreft namen en afbeel­dingen? Bij een 'ruime' inter­preta­tie blijkt dat gemid­deld 9% van de persona­ges in de wiskun­deboe­ken van niet-wester­se oor­sprong is. In de Neder­landse bevol­king is dit aandeel ruim 13%. Er is hier dus sprake van een lichte onder­verte­genwoor­diging, die het sterkst blijkt te zijn voor de Ara­bisch/Turkse sub­groep. Tussen de boeken bestaan er op het gebied van de niet-wester­se verte­genwoor­diging aanzien­lijke ver­schil­len. Het niet-wester­se aandeel vari­eert in de boeken name­lijk van 2% tot 18%. Beroep en status
Slechts een op de vijf persona­ges heeft in de lesboe­ken een beroep. Van de groep van persona­ges met een beroep is 72% man. daar ligt de verhou­ding dus opmerke­lijk scheef. De groep van manne­lijke persona­ges ver­toont daarbij ook nog eens een veel grotere ver­schei­denheid aan beroe­pen. Wel moet worden opge­merkt dat vrouwe­lijke persona­ges over het alge­meen een beroep met een iets hogere status hebben. Weten­schap­pers, topspor­ters, beroemd­heden en persona­ges die techni­sche activi­teiten uitvoe­ren zijn in de lesboe­ken vaker man dan vrouw. Het aandeel vrouwen bij de topspor­ters is 34%, bij de techni­sche beroe­pen 28% en bij de beroemd­heden slechts 25%. Persona­ges met een ouder­rol zijn voor 52% vrouw en persona­ges die huishou­delijke taken uitvoe­ren, zijn voor 57% vrouw. De maat­schappe­lijke status van de beroe­pen die worden uitge­voerd door Ara­bisch/Turkse en Aziati­sche persona­ges ligt gemid­deld bedui­dend lager dan van die van de andere persona­ges. Zij zijn ook duide­lijk onder­verte­genwoor­digd binnen de groep van beroem­de persona­ges. Daar staat tegen­over dat er sprake is van juist een duide­lijke overver­tegen­woordi­ging van 'zwarte' topspor­ters. Nood­zaak en moge­lijk­heid
Het moderne wiskun­deonder­wijs wordt, vooral in de onder­bouw, al jaren geken­merkt door de zoge­naamde 'voor­stelba­re contex­ten'. Leerlin­gen worden tot begrip ge­bracht door de wiskun­de op een voor­stelba­re en zinvol­le wijze toe te passen. Auteurs geven dat onder andere vorm door veel persona­ges in de leerboe­ken, vooral in de leerboe­ken van de onder­bouw, te laten optre­den. Het onder­zoek, dat zich slechts heeft beperkt tot ge­slacht en afkomst, laat zien dat het ondanks de onge­twij­feld goede bedoe­lingen lastig is om alle groepen van de Neder­landse bevol­king binnen die 'voor­stelba­re context' evenre­dig aan bod te laten komen. Dat zal nog veel lasti­ger worden wanneer ook zaken als sexuele geaard­heid, leef­tijd en levens­overtui­ging hierin moeten worden meegeno­men. Ik vraag me af of het wense­lijk of zelfs über­haupt moge­lijk is om binnen een wiskun­demetho­de te streven naar een evenre­dige verte­genwoor­diging van de Neder­landse bevol­king op alle voor­stelba­re vlakken. Het kan niet anders dan dat een derge­lijk streven op een gegeven moment een gefor­ceerd karak­ter gaat krijgen. Neutra­le persona­ges
Het blijkt dat in onge­veer een kwart van de wiskun­deboe­ken gewoon veel minder persona­ges worden genoemd. Dat werkt dus ook. Het onder­zoeks­verslag ver­meldt verder dat in de lesboe­ken Neder­lands, met name bij invuloe­fenin­gen, sprake is van neutra­le persona­ges als je broer, je moeder of je buurman. Je kunt hierbij natuur­lijk ook weer opmer­ken dat niet ieder­een een broer of buurman heeft maar om über­haupt contex­ten te kunnen maken, moet er uiter­aard ergens een grens aan het evenre­dig­heids­streven worden gesteld. Het is naar mijn overtui­ging echt niet nodig om bij elk wiskun­dig pro­bleem drie of vier persona­ges met minuti­eus afgewo­gen kenmer­ken op te voeren. Hou de persona­ges in het wiskun­deboek beperkt en neu­traal en laat het herken­baar maken van leer­stof over aan de docent. Op die manier kunnen gefor­ceerde contex­ten en aller­lei proble­men met betrek­king tot stereo­type­ring van bevol­kings­groepen in lesboe­ken worden voorko­men Gerard Kool­stra Het genoem­de onder­zoek is uitge­voerd onder leiding van Judi Mesman, Tessa van de Rozen­berg, Daudi van Veen, Lucie Zicha en Marleen Groene­veld. Er zijn twee rappor­ten versche­nen, één rapport over de repre­senta­tie en stereo­type­ring van vrouwen en mannen en één rapport over etnici­teit, repre­senta­tie en stereo­type­ring.

	Michiel Dul­laert

Op de afgelo­pen studie­dag van de Neder­landse Vereni­ging van Wiskun­delera­ren (NVvW) werd de slotle­zing ver­zorgd door Michiel Dul­laert. In zijn inspire­rend betoog liet hij zien hoe je ervoor kunt zorgen dat een grafiek ook echt de bood­schap over­brengt. Voor ieder­een die zijn lezing niet heeft bijge­woond of het een en ander nog eens rustig wil doorle­zen, is er de website deper­fecte­grafiek.nl. Op deze website is onder andere het volgen­de te vinden:

• Een filmpje over het belang van datavi­sualisa­tie.
• Een poster, gratis als pdf te downloa­den, waarop stap voor stap het ontwer­pen van goede grafie­ken wordt bege­leid.
• Een Engels­talige uitleg over de keuze van de juiste grafiek.
• Do's en don'ts bij het ontwer­pen van grafie­ken.

gk

Wisk4­all is een reeks speci­aal voor aanko­mende docen­ten ontwik­kelde colle­ges. De colle­ges worden gegeven door docen­ten statis­tiek, getal­theorie, geschie­denis van de wiskun­de en meetkun­de. De colle­ges zijn ook interes­sant voor niet-wiskun­digen. Het onder­werp van deze tweede bijeen­komst van Wisk4­all is 'meetkun­de'. Bas Edixho­ven en Jeroen Spandaw laten u op woens­dag 11 decem­ber 2019 de schoon­heid van de meetkun­de met de volgen­de onder­werpen ervaren:

• Het vlak en paren reële getal­len, een wonder­lijk verband tussen vlakke meetkun­de en de opera­ties 'optel­len' en 'verme­nigvul­digen'.
• Nieuwe symme­trieën die de meetkun­de mooier en gemakke­lijker maken. De combina­tie hiervan met Archime­des' specta­culaire kwadra­tuur van de para­bool.

Het college wordt op woens­dag 11 decem­ber van 16:00 uur tot 20:00 uur in Leiden gegeven. De locatie ligt op loopaf­stand van het station Leiden CS. De toegang be­draagt € 300,= doch is gratis voor leden van het Bèta­steun­punt Zuid-Holland en het Regio­naal Steun­punt Leiden. Volg deze link voor nadere informa­tie of om u aan te melden.

Op zater­dag 11 januari 2020 is het weer tijd voor het jaar­lijkse winter­symposi­um van het Konink­lijk Wiskun­dig Genoot­schap (KWG). Dit jaar is het thema 'De toepas­singen van wiskun­de in weer, klimaat en milieu'. Geduren­de het symposi­um worden onder andere de volgen­de vier interes­sante voor­drach­ten gehou­den:

• Puntpro­cesmo­dellen voor aardbe­vingen, toege­past op data uit Gronin­gen en Kashmir (Marie-Colette van Lies­hout, Centrum voor Wiskun­de & Informa­tica).
• Kantel­punten in het klimaat: is twee graden te veel? (Robbin Basti­aansen, Univer­siteit Leiden/Univer­siteit Utrecht).
• Onzeker­heid in klimaat­beleid: kosten, kool­stof en keuzes (Kaj-Ivar van der Wijst, Planbu­reau voor de Leefom­geving)
• A nonpara­metric estima­tor of the extre­mal index with an applica­tion on estima­ting a heat­wave's dura­tion (Juan-Juan Cai, TU Delft)

Het symposi­um is in de eerste plaats bestemd voor docen­ten wiskun­de. Geïnte­resseer­de leerlin­gen en collega's uit andere vakge­bieden zijn echter ook bijzon­der welkom. Het symposi­um wordt op zater­dag 11 januari 2020 van 10:30 uur tot 16:00 uur gehou­den in het Acade­miege­bouw van de Univer­siteit Utrecht. Het volledi­ge program­ma is via deze link te vinden. Kosten voor deelna­me bedra­gen voor KWG-leden € 35,=, voor niet-leden € 40,= en voor leerlin­gen, studen­ten en stand­houders € 20,=. Voor een lunch en consump­ties wordt gezorgd. Bij beta­ling na 31 decem­ber 2019 worden de kosten met € 5,= ver­hoogd. Theo van den Bogaart (theo.vanden­bogaart@hu.nl)

De oktober­veiling 2019 van het Wereld­wiskun­de Fonds (WwF) heeft dit jaar het record­bedrag van € 2997,60 opgele­verd. En dan was er op 2 novem­ber 2019 ook nog de prachti­ge op­brengst van € 538,50 bij de boeken­verkoop op de NVvW-jaarver­gade­ring in Veenen­daal. Ik bedank alle bieders hier harte­lijk voor. De volledi­ge op­brengst zal, u weet dat inmid­dels, weer volle­dig worden besteed aan projec­ten voor wiskun­deonder­wijs in de derde wereld. Maar niet alles is ver­kocht. Er zijn nog heel veel boeken over, waaron­der school­boekjes, jaargan­gen van Pythago­ras en veel Neder­landse en buiten­landse studie­boeken. Alles is voor slechts 2 euro te koop, behalve de Pythago­ras-jaargan­gen, die u maar één enkele euro kosten. U merkt het: het is de hoogste tijd voor de WwF winter­verkoop 2019. Die start dan ook rond 1 decem­ber. Op de website van het WwF staan zo'n 300 boeken en tijd­schrif­ten voor u gereed. De WwF winter­verkoop loopt tot 25 april 2020. Jos Remijn (wereld­wiskun­deboe­ken@nvvw.nl)
Veiling­meester WwF

Auteur:	Ionica Smeets
Uitgeve­rij:	Nieuwe­zijds
Aantal pagina's:	208
ISBN:	978 90 5712 520 1
Prijs:	€ 18,95

In ons dage­lijks leven regent het getal­len – en niet alleen als er 10 procent kans is op regen. Wat zit er achter die getal­len? Wat is de logica achter een BH-maat als 70F en hoe kun je een miljoe­nennota van 284.500.000.000 euro begrij­pen? Hoe zie je of een kor­tingsac­tie bij de super­markt voorde­lig is en waarom sta je altijd in de verkeer­de rij? Al tien jaar lang schrijft Ionica Smeets met glashel­dere logica en veel humor over getal­len voor de Volks­krant. Superlo­gisch bundelt haar beste columns en geeft prakti­sche tips om de wereld beter te begrij­pen – met getal­len. Na het lezen van dit boek zul je op een andere manier naar getal­len kijken en regelma­tig in jezelf mompe­len: 'Ah, zo zit dat... Superlo­gisch!'

Auteur:	Craig Barton
Uitgeve­rij:	Phrone­se
ISBN:	978 94 9012 034 4
Prijs:	€ 17,50

In deel 1 van 'Volgens Barton' stond wiskun­dele­raar Craig Barton uitge­breid stil bij het uitleg­gen van wiskun­de. Zie ook WiskundE-brief 843. In Volgens Barton deel 2 be­spreekt de auteur, wederom aan de hand van weten­schappe­lijk onder­zoek, het werken met oefenop­drach­ten. Hoe kun je met ontwerp, volgor­de en nabe­spre­king van opdrach­ten het begrip bij de leer­ling verho­gen? En hoe kun je ervoor zorgen dat de stof bij de leer­ling be­klijft? Craig Barton laat de lezer zien hoe je de weten­schap kunt inzet­ten om leerlin­gen zelf­standi­ger te laten opere­ren zodat zij opdrach­ten die meer inzicht verei­sen beter kunnen uitvoe­ren. Hij staat uitge­breid stil bij het forma­tief toetsen. Naar welke informa­tie ben je tijdens het toetsen eigen­lijk op zoek? Hoe organi­seer je de toets­prak­tijk zo dat leerlin­gen er het meeste van opste­ken? Hoe voorkom je dat je als docent uren met het corrige­ren van toetsen bezig bent? Craig Barton is sinds 2004 wiskun­dele­raar. Hij is de ontwik­kelaar van twee populai­re wiskun­deweb­sites, te weten www.mrbar­ton­maths.com en www.diagnos­ticques­tions.com. Hij ver­zorgt ook een goed beluis­terde podcast waarin hij met tal van experts spreekt over de didac­tiek van de wiskun­de.

Tijdens de laag­drempe­lige webcur­sus "GeoGe­bra van A tot Z" kunnen wiskun­dedocen­ten, maar ook hun leerlin­gen, uitge­breid kennis maken met de vakdi­dac­tische moge­lijkhe­den van de vijf ver­schil­lende apps van GeoGe­bra. Onze jaren­lange erva­ring in het gebruik van GeoGe­bra hebben we gebun­deld in een uitge­breide sylla­bus met onmid­dellijk bruik­baar lesmate­riaal en bijho­rende interac­tieve applets. Deelne­mers kunnen deze bijscho­lingen op eigen tempo, indivi­dueel of in een team, via het inter­net op een tijd­stip naar keuze volgen. Ga voor meer informa­tie of om u in te schrij­ven naar het leer­plat­form voor wiskun­de op www.mathelo.net.

Onze methode bestaat uit lessen­series over ver­schil­lende onder­werpen die in de brug­klas van het havo/vwo aan de orde komen. Iedere lessen­serie bestaat uit paragra­fen met elk een speci­fiek leer­doel, opgaven en een diagnos­tische toets waarmee goed kan worden beoor­deeld of de beoogde doelen behaald zijn. Bekijk alle lessen­series op MyPro­wise. Geeft hiertoe op de site in de zoek­balk rechts­boven de tekst "Leer­lijn wiskun­de" in. De lessen­series kunnen direct in Presen­ter worden geopend en zijn op elk digi­bord en device te gebrui­ken. Mail voor meer informa­tie naar prowis­kunde@prowise.com.

Als u grafi­sche rekenma­chines of andere produc­ten van Texas Instru­ments voor uw school bestelt, kunt u gebruik maken van het volume-aankoop­program­ma. Met dit program­ma kunt u bij de aan­schaf van tien of meer produc­ten gratis extra appara­tuur voor uw school aanvra­gen. Dat is ideaal om bijvoor­beeld eens de TI-Innova­tor Rover robotau­to in te zetten tijdens een project­week of voor uw STEM-activi­teiten. Bekijk het volume-aankoop­program­ma en bestel uw gratis produc­ten via deze link.