nummer 833, 20 januari 2019

Minis­ter Arie Slob noemt In zijn brief van 21 decem­ber 2018 het rekendo­mein 'meten & meetkun­de' als voor­beeld om aan te geven dat het havo/vwo curricu­lum voor wiskun­de A het reken­curricu­lum van referen­tieni­veau 3F onvol­doende dekt. Dit voert hij aan als een belang­rijke reden om op curricu­lum.nu te wachten. Wat de minis­ter voor het gemak even vergeet, is dat de gehele leer­stof 2F/3F reeds in de kerndoe­len van de wiskun­de in de onder­bouw van het havo/vwo volle­dig aan bod komt, inclu­sief het rekendo­mein 'meten & meetkun­de'. Wat dit betreft is het dus hele­maal niet nodig om op curricu­lum.nu te wachten. Nieuw Perspec­tief
De Neder­landse Vereni­ging van Wiskun­delera­ren (NVvW) heeft in samen­werking met het ministe­rie van Onder­wijs, Cultuur en Weten­schap (OCW) op 18 februa­ri 2018 het rapport "Nieuw Perspec­tief" uitge­bracht. Dit rapport is een voor­stel voor een alterna­tief voor de reken­toets. Het rapport is samenge­steld door OCW en de NVvW naar aanlei­ding van een op 8 decem­ber 2016 door de Tweede Kamer aangeno­men motie van Jasper van Dijk, Michel Rog en Paul van Meenen waarin de rege­ring werd ver­zocht om een eerder inge­diend, beknopt geformu­leerd alterna­tief van de NVvW met spoed uit te werken. Heel in het kort stelt "Nieuw Perspec­tief" het volgen­de voor:

• Schaf de reken­toets voor vwo-leerlin­gen en havo­leerlin­gen met wiskun­de hele­maal af. In de onder­bouw dient bij wiskun­de de gehele leer­stof 2F/3F systema­tisch te worden behan­deld en ge­toetst. In de boven­bouw kan binnen het vak wiskun­de het rekenen worden onder­houden en op niveau 3F worden ge­toetst.
• Voer alleen een school­examen rekenen in voor die 5% havo­leerlin­gen die geen wiskun­de kiezen.
• Voer op het vmbo twee vakken wiskun­de in. Het basis­vak is ver­plicht, brengt leerlin­gen naar het vereis­te referen­tieni­veau rekenen, wordt op het Cen­traal Examen ge­toetst en is een kernvak.
• Laat zolang die herzie­ning op het vmbo nog niet is inge­voerd, voor het vmbo dezelf­de aanpak gelden als voor het havo/vwo. Het eind­punt ligt dan uiter­aard op niveau 2F.

De minis­ter trai­neert
Met de genoem­de brief van 21 decem­ber 2018 trai­neert de minis­ter op basis van wankele argumen­ten de invoe­ring van een goed door­dacht advies waaraan zijn eigen ambtena­ren nota bene hebben meege­werkt. Hij wil wachten op curricu­lum.nu en geeft daarmee geen gehoor aan onder andere de door de Tweede Kamer aangeno­men "Motie Van Meenen" van 20 april 2017, een motie die aan­dringt op grote haast voor het vmbo. Ook slaat hij hiermee de door de NVvW op 8 decem­ber 2018 in een brief aan de Tweede Kamer inge­voerde argumen­ten tegen het wachten op curricu­lum.nu in de wind. Verder wil hij op belang­rijke onderde­len afwij­ken van "Nieuw Perspec­tief". Zo persis­teert de minis­ter bijvoor­beeld in een reken­examen voor alle leerlin­gen. CDA en D66 zijn het zat
De NVvW is niet blij met de brief van minis­ter Arie Slob van 21 decem­ber 2018 en is voorne­mens om dit maandag 21 januari 2019 in een brief aan de Kamer kenbaar te maken. Ook de rege­rings­partij­en CDA en D66 hebben er een keer genoeg van. Zij zullen daarom op woens­dag 23 januari 2019 gaan eisen dat hij zijn voor­stel subiet aanpast conform "Nieuw Perspec­tief". De kans is groot dat zij hier­voor een kamer­meerder­heid weten te vinden. Jan Jimkes & Ton Groene­veld

In WiskundE-brief 824 infor­meerden wij u over het derde 'tussen­product' van het ontwik­kelteam Rekenen & Wiskun­de van curricu­lum.nu. Onder­tussen heeft het ontwik­kelteam Rekenen & Wiskun­de in decem­ber 2018 alweer het vierde tussen­product opge­steld. Het vierde tussen­product van curricu­lum.nu bestaat voorna­melijk uit een over­zicht van de bijge­stelde 'grote opdrach­ten' en een eerste formule­ring van de uit die grote opdrach­ten volgen­de bouwste­nen. Deze bouwste­nen zijn nog niet uitge­werkt; dat gaat name­lijk in de komende weken en in de in februa­ri 2019 geplan­de ontwik­kelses­sie gebeu­ren. De zoge­naamde 'bouwste­nen' be­schrij­ven de kennis en vaardig­heden die voor de grote opdrach­ten nodig zijn. Deze bouwste­nen vormen uitein­delijk, samen met de visie en de grote opdrach­ten, de basis voor de herzie­ning van de kerndoe­len en eindter­men voor de vakken wiskun­de en rekenen. Kantte­kenin­gen bij het vierde tussen­product
De bouwste­nen in het vierde tussen­product geven voor het eerst een wat concre­ter beeld van hoe de vakken wiskun­de en rekenen in de toe­komst zullen gaan worden inge­richt. Natuur­lijk is de con­struc­tie nog in volle gang maar toch zijn er al wat kantte­kenin­gen te maken:

• Het is in het tussen­product vaak niet goed duide­lijk welke onderde­len of onder­werpen wel of niet van toepas­sing zijn. Ook is het vaak onduide­lijk in hoever­re het daarbij gaat om een bewuste keuze van het Ontwik­kelteam. Een analyse van welke zaken er moge­lijk ontbre­ken, is op basis van dit tussen­product dus erg lastig te maken.
• Wat betreft de algebra­ïsche en reken­kundige vaardig­heden lijkt het princi­pe "door­schui­ven naar later" in dit tussen­product over­heer­send te zijn. Zo worden er wat betreft het rekenen met breuken geen spij­kers met koppen gesla­gen, wordt het rekenen met wortels hele­maal niet genoemd en wordt de behande­ling van tweede­graads­verge­lijkin­gen en andere niet-lineai­re verge­lijkin­gen nog even uitge­steld. Dat blijkt onder andere uit deze drie citaten:

  "Van het onder­werp breuken wil het Ontwik­kelteam in het primair onder­wijs alleen nog begrips­vorming en reken­taal aanbie­den. In het voortge­zet onder­wijs wordt aan de leerlin­gen voor wie dit rele­vant is formeel rekenen met breuken aangebo­den."

  "Het Ontwik­kelteam meent dat de onder­bouw van havo en vwo te veel algebra bevat en daarmee te veel voorbe­reidt op wiskun­de B en te weinig op wiskun­de A. Dit heeft geleid tot de gedach­te om in de onder­bouw havo en vwo niet-lineai­re verge­lijkin­gen alleen nog met behulp van ICT te laten oplos­sen. In de boven­bouw worden oplos­sings­procedu­res in de boven­bouw aangebo­den aan de leerlin­gen voor wie dat rele­vant is."

  "In de boven­bouw van havo en vwo is Meetkun­de op dit moment onder­deel van wiskun­de B, wiskun­de C en wiskun­de D. Er zijn ver­schil­lende invul­lingen van meetkun­de moge­lijk: Euclidi­sche meetkun­de (rekenen en/of bewij­zen), analyti­sche meetkun­de en/of vector­meetkun­de. Dit kan in twee en drie dimen­sies. Het Ontwik­kelteam denkt nog na over de meest wense­lijke invul­ling."

• Het inter­prete­ren van statis­tische data krijgt in het vierde tussen­product wel erg veel aan­dacht:

  "Informa­tie en statis­tiek is in de boven­bouw rele­vant voor alle leerlin­gen en alle wiskun­devak­ken. Binnen de leerwe­gen zullen de contex­ten en daarbij gebruik­te waarden ver­schil­len qua com­plexi­teit. De nadruk komt meer te liggen op het ontwik­kelen van een kriti­sche blik ten aanzien van statis­tische weerga­ven en uitspra­ken en op fact­check­ing."

Laat uw stem horen
Het is duide­lijk, het Ontwik­kelteam Rekenen & Wiskun­de is met dit vierde tussen­product nog lang niet klaar. Ook is het belang­rijker dan ooit dat wiskun­dedocen­ten hun stem nu uitdruk­kelijk laten horen. Volg deze link om als wiskun­dedo­cent uw reactie op het vierde tussen­product te geven. Dat is tot zondag 27 januari 2019 moge­lijk. tvdb

In WiskundE-brief 831 besteed­de ik aan­dacht aan de advise­ring aan het eind van de basis­school en aan de ontwik­keling hiervan in de afgelo­pen jaren. Ik liet onder meer zien dat er sprake was van een ver­schui­ving naar havo/vwo die in 2018 tot stil­stand lijkt te zijn gekomen. Een interes­sante vraag is nu of die ver­schui­ving in de derde klas van het voortge­zet onder­wijs nog steeds in de leerlin­genaan­tallen is te zien. Op het eerste gezicht is er een rede­lijk verband te zien tussen de advie­zen aan het eind van de basis­school en de leerlin­genaan­tallen in de derde klas, ruim twee jaar later: Na aanvan­kelijk een gestage stij­ging van het aantal havo/vwo leerlin­gen in het derde leer­jaar zagen we in de periode 2011-2015 een stabili­sering en zelfs een lichte achter­uitgang. In 2011 was het aandeel 45,5%. In 2015, het jaar waarmee het staafdi­agram begint, lag het aandeel met 44,5% zelfs nog een vol procent­punt lager. Vanaf 2015 is er in het derde leer­jaar echter weer een duide­lijke opmars te consta­teren. Een opmars die enigs­zins wordt voor­speld door de basis­school­advie­zen van twee jaar eerder. Het aandeel vwo in het derde leer­jaar steeg van 2013 tot 2016 met ruim een procent­punt tot 21,9%. Het percen­tage havo­leerlin­gen en havo/vwo-leerlin­gen in de derde klas nam in diezelf­de tijd ook met ruim een procent­punt toe. Het totaal aandeel havo/vwo-leerlin­gen in het derde leer­jaar nam van 2013 tot 2016 dus met dik 2 procent­punten toe tot 46,6%. Advies en resul­taat
De opmars na 2015 van het aandeel leerlin­gen op havo/vwo in leer­jaar 3 wordt enigs­zins voor­speld door de basis­school­advie­zen van twee jaar eerder. Steeds ligt het basis­school­advies onge­veer 2 procent­punten boven het feite­lijke aandeel. Een uitzon­dering hierop vormt het jaar 2017. Die uitzon­dering laat zich wel­licht verkla­ren dat 2015 het eerste jaar was waarin het advies van de basis­school leidend werd. Dat resul­teerde wel­licht tot een voor­zichti­ge advise­ring van de basis­scholen waar­door het ver­schil tussen het advies 2015 en het aandeel 2017 even wat kleiner werd. Ontwik­kelin­gen op het vmbo
Het aandeel leerlin­gen op vmbo basis en kader in het derde leer­jaar krimpt al geruime tijd. In 2010 volgde nog ruim 26% van de derde­klas­sers zo'n oplei­ding en in 2018 was dat nog maar 23,5%. Het aandeel leerlin­gen op vmbo theore­tisch en gemengd ligt de laatste jaren con­stant op ruim 27%. In de grafiek hierbo­ven heb ik het een en ander in beeld ge­bracht. Ik heb vmbo basis en kader in die grafiek gecombi­neerd met het prak­tijkon­derwijs, dat een aandeel van een kleine 3% heeft. gk

In 2018 werden op het vwo voor het eerst wiskun­de-examens afgeno­men volgens het nieuwe program­ma. De vrees dat het havo-effect van één jaar eerder ook op het vwo zou optre­den, bleek onge­grond. Het effect van het nieuwe program­ma op de gemid­delden was niet specta­culair. Moge­lijk zijn we echter toch getuige van een geleide­lijke verande­ring. DUO (Dienst Uitvoe­ring Onder­wijs) publi­ceerde in decem­ber 2018 de school­examen­cijfers per school. Daarom is het nu moge­lijk om voor het vwo een beeld te schet­sen van de ontwik­keling van de wiskun­decij­fers op het school­examen en het Cen­traal Examen. Ik beperk mij in dit beeld tot de 'grote' vakken wiskun­de A en wiskun­de B. Is er een daling ingezet?
Het beeld dat de cijfers voor het Cen­traal Examen, vooral voor wiskun­de B, ruim boven de school­examen­cijfers liggen, is langza­merhand wel ver­trouwd. De cijfers voor het Cen­traal Examen doen mis­schien vermoe­den dat er een lichte daling is ingezet. Gezien de grilli­ge cijfer­ontwik­keling in het recente verle­den is deze daling echter niet signifi­cant. De school­examen­cijfers verto­nen als vanouds een heel geleide­lijke ontwik­keling en met de jongste cijfers in beeld kan daar toch wel worden gecon­sta­teerd dat er voor wiskun­de A en wiskun­de B de laatste paar jaar weer een daling lijkt te zijn ingezet. Als jaar na jaar het school­examen­cijfer onder het cijfer voor het Cen­traal Examen ligt, dan zou dat een reden kunnen zijn om te consta­teren dat de school­examens te zwaar zijn. Op een aantal scholen is men daarom daadwer­kelijk overge­gaan tot het verlich­ten van de school­examens. Toch blijft het gat tussen school­examen en Cen­traal Examen bestaan. Een mogelij­ke verkla­ring hier­voor kan wel­licht op twee gebie­den worden gevon­den:

• De ver­schui­ving van de leerlin­gen­stroom rich­ting het vwo.
  Er is ontegen­zegge­lijk een ver­schui­ving in de rich­ting van het vwo aan de gang. Zo is in de periode 2014-2016 in klas 5 het aandeel vwo-leerlin­gen bijvoor­beeld toegeno­men van 39,4% naar 40,3%.
• De ver­schui­ving van de leerlin­gen­stroom rich­ting wiskun­de B.
  Er is zonne­klaar ook een ver­schui­ving in de rich­ting van wiskun­de B aan de gang. In 2014 deed 45,3% van de vwo-leerlin­gen examen met wiskun­de B. In 2017 was dat percen­tage met 50,4% behoor­lijk hoger. In 2018 lag het percen­tage met 50,1% weer wat lager. Wiskun­de A had in 2014 een aandeel van 49,7%. Dat aandeel daalde in 2017 tot 46,7% en is in 2018 weer iets hoger.

In hoever­re deze ver­schui­vingen een rol spelen in de dalende trend, blijft een beetje giswerk. gk

Op donder­dag 14 februa­ri 2019, op Valen­tijns­dag dus, vindt van 12:00 uur tot 17:15 uur het tweede FLOS wiskun­desympo­sium plaats. Fontys leraren­oplei­ding Sittard (FLOS) nodigt wiskun­dedocen­ten van harte uit om op deze heuge­lijke dag de liefde voor het vak wiskun­de met de oplei­ding te komen vieren. Het FLOS wiskun­desympo­sium richt zich primair op starten­de wiskun­dedocen­ten, ervaren wiskun­dedocen­ten en wiskun­dedocen­ten in oplei­ding, zowel bache­lor- als master­studen­ten. Docen­ten van verwan­te vakge­bieden zijn ook zeer welkom. Het doel van het symposi­um is om deelne­mers inhoude­lijke en vakdi­dac­tische verrij­king en bijscho­ling te bieden. De plenai­re lezin­gen worden ver­zorgd door:

• dr. K.P. Hart (univer­sitair hoofddo­cent TU Delft)
  De beteke­nis van 'onein­dig' in de wiskun­de.
• R. van Asselt (oud-lector Saxion Hoge­scholen)
  Kennis­deling in de geschie­denis van de wiskun­de.

Volg deze link voor meer informa­tie of om u in te schrij­ven. Doe dat uiter­lijk op vrijdag 8 februa­ri 2019. Aan het symposi­um zijn geen kosten verbon­den.

Het natio­naal experti­secen­trum leer­planont­wikke­ling (SLO) organi­seert in het voor­jaar van 2019 in samen­werking met de werk­groep vmbo van de Neder­landse Vereni­ging van Wiskun­delera­ren (NVvW) een drietal regiona­le bijeen­komsten voor docen­ten wiskun­de uit het vmbo, het havo en het mbo. De bijeen­komsten zijn ook bedoeld voor docen­ten van beroeps­gerich­te profiel­vakken in het vmbo. Aanlei­ding voor deze bijeen­komsten is een onder­zoek dat door SLO werd uitge­voerd. Het betreft een onder­zoek naar de aanslui­ting tussen vmbo en de vervolg­oplei­dingen wat betreft wiskun­de ener­zijds en de aanslui­ting binnen het vmbo tussen wiskun­de en de beroeps­gerich­te profiel­vakken ander­zijds. De bijeen­komsten zullen daarbij ook gaan over de tussen­resulta­ten van het project curricu­lum.nu. Volg deze link voor de resulta­ten van dit onder­zoek en volg deze link voor de tussen­resulta­ten uit het project curricu­lum.nu. Tijdens de bijeen­komsten worden sugges­ties verza­meld om de genoem­de wiskun­dige aanslui­ting te verbete­ren. Ook wordt tijdens de bijeen­komsten de stel­lingna­me van de NVvW-werk­groep vmbo ten aanzien van curricu­lum.nu tegen het licht gehou­den. Program­ma

tijd	program­maonder­deel
15:30−16:00 uur	Ont­vangst.
16:00−17:00 uur	Bespre­king aanslui­tings­proble­matiek.
17:00−17:15 uur	Pauze.
17:15−18:00 uur	Keuze­program­ma: we gaan in gesprek over curricu­lum.nu of we praten nog wat door over de aanslui­tings­proble­matiek.
18:00−19:00 uur	Infor­meel samen­zijn met brood­maal­tijd. Gelegen­heid om lesmate­rialen en leserva­ringen uit te wisse­len.

De bijeen­komsten vinden plaats op 21 februa­ri 2019 in Eindho­ven, op 7 maart 2019 in Den Haag en medio april 2019 op een nog nader te bepalen plaats in Noord Neder­land.

Op het voortge­zet onder­wijs heeft de wiskun­deoplei­ding bijna altijd een concen­trisch karak­ter. Onder­werpen worden meerde­re keren behan­deld waarbij de behande­ling steeds wat verder wordt uitge­breid. Het is een beproef­de manier om leerlin­gen 'breed' tot aan het eindexa­men te begelei­den. Tegen­over de concen­trische behande­ling staat de modulai­re behande­ling; een behande­ling waarbij onderde­len in modules worden aangebo­den en afge­rond. Het ver­schil is niet zwart-wit; een modulai­re behande­ling sluit een zekere concen­trische inrich­ting bijvoor­beeld niet uit. Heeft u erva­ring?
Samen met een collega­school is onze wiskun­desec­tie bezig om te bestude­ren of het haal­baar is om ons onder­wijs in de toe­komst modu­lair in te richten. Graag zouden wij in contact komen met scholen die al erva­ring hebben in het modu­lair aanbie­den van met name het wiskun­decurri­culum. Wij weten name­lijk zeker dat wij veel kunnen leren van de ervarin­gen van die scholen. Wij zien uw reactie met belang­stel­ling tege­moet. Roland de Valk (r.d.valk@roden­borch.nl)

Wanneer de grafi­sche rekenma­chine wordt ge­bruikt om wiskun­de te ontdek­ken dan moet die machine natuur­lijk wel krach­tig en intuï­tief genoeg zijn voor uw leerlin­gen. Probeer er met uw rekenma­chine eens achter te komen hoe de grafiek van uit de grafiek van ont­staat en klik daarna op deze link om te zien hoe dit werkt op een rekenma­chine die wél uitno­digt tot geleid heront­dekken. Meer informa­tie? Mail naar info@hp-prime.nl.