nummer 828, 25 novem­ber 2018

	Mieke van Groene­stijn

Ik vind het heel begrij­pelijk dat er wiskun­dedocen­ten zijn die juichen dat 'de reken­toets' wordt afge­schaft. Dat neemt niet weg dat de reken­vaardig­heid van leerlin­gen binnen het voortge­zet onder­wijs en middel­baar beroeps­onder­wijs toch ge­toetst moet worden. Ik begrijp dat het verhaal 'Lange neus voor de reken­toets' van Ton Groene­veld in WiskundE-brief 827 'prikke­lend' bedoeld is. De 'oplos­singen' die hij be­schrijft voor zijn boven­bouw­leerlin­gen havo/vwo laten echter zien dat hij niet be­grijpt waar het bij het vak rekenen om gaat. De manier waarop Ton Groene­veld in zijn bijdra­ge het rekenen, de reken­toetsen en met name de contex­ten naar de prullen­bak ver­wijst, vind ik onbe­grijpe­lijk voor een wiskun­dedo­cent. Ook voor de boven­bouw van het havo/vwo moet je toch snappen dat een goede reken­vaardig­heid niet alleen voor het vak wiskun­de maar juist ook maat­schappe­lijk van belang is. Het referen­tieka­der ver­wijst uitdruk­kelijk naar dat laatste. Dat maat­schappe­lijke belang vereist het gebruik van contex­ten. Dat 'context' bete­kent dat het om veel 'tekst' gaat, is de groot­ste misvat­ting binnen het onder­wijs. Context is tekst gewor­den omdat metho­des en toetsen­makers, ook die van digita­le toetsen, het klaar­blijke­lijk nodig vinden om opdrach­ten in woorden 'uit te leggen'. Maar een context kan ook via een goede afbeel­ding en met weinig tekst worden gepre­sen­teerd. Het gaat bij een context om de relatie met situa­ties in het buiten­school­se leven. Geen school­se gecij­ferd­heid
Het ver­schil tussen contex­ten, vaak met veel overbo­dige tekst, in reken- en wiskun­deboe­ken en contex­ten in het dage­lijks leven is groot, mis­schien zelfs niet verge­lijk­baar. Maar dat bete­kent niet dat wij daarom dan maar terug moeten grijpen op die kale sommen waar een groot deel van onze leerlin­gen op afhaakt en die volko­men nutte­loos zijn voor partici­patie in de maat­schap­pij. In het dage­lijks leven en in werksi­tuaties maak je geen kale sommen. Iedere buiten­school­se situa­tie is een 'context' waarbij pro­bleemop­lossend vermo­gen, een goed begrip van getal­len en getalre­laties en een goede reken­vaardig­heid essenti­eel zijn. Die functio­nele gecij­ferd­heid is heel wat anders dan de school­se gecij­ferd­heid van de kale sommen. Werk aan de winkel
Toetsen of geen toetsen; het gaat er uitein­delijk om dat alle docen­ten binnen het basison­derwijs, het voortge­zet onder­wijs en het middel­baar beroeps­onder­wijs er verant­woorde­lijk voor zijn dat er leerlin­gen worden afgele­verd die goed kunnen functio­neren binnen onze maat­schap­pij. Rekenen is voor dat functio­neren essenti­eel. Onze leerlin­gen hebben docen­ten nodig die het belang van goed rekenon­derwijs onder­kennen. De con­struc­tieve bijdra­ge aan dat rekenon­derwijs is een belang­rijke verant­woorde­lijk­heid voor iedere school en iedere docent. In Neder­land scoort nog altijd 14% van de bevol­king laag op de OECD-schaal voor gecij­ferd­heid. Nog eens 30% scoort onder het gewens­te niveau voor optima­le maat­schappe­lijke partici­patie, zo blijkt uit het PIAAC onder­zoek van 2013. Er is dus wel dege­lijk nog werk aan de winkel. Wereld­wijd zijn veel volwas­senen niet goed voorbe­reid op partici­patie in een digita­le maat­schap­pij. UNESCO onder­kent dit pro­bleem en zet grote druk op de ontwik­keling van gecij­ferd­heid. De digita­le maat­schap­pij doet een groot beroep op het 'reken­wiskun­dig' vermo­gen van volwas­senen. Het basison­derwijs legt de basis, het voortge­zet onder­wijs bouwt daarop voort en levert jonge­ren af die goed voorbe­reid zijn op partici­patie in hun toekom­stige maat­schap­pij. Mieke van Groene­stijn
Em. Lector Gecij­ferd­heid Hoge­school Utrecht

In WiskundE-brief 827 staat een bijdra­ge van Ton Groene­veld over hoe hij denkt het school­examen rekenen op zijn school vorm te gaan geven. Ton Groene­veld schrijft dat hij geen context­opgaven in zijn school­examens rekenen op gaat nemen. Een waar­schu­wing voor deze manier van hande­len is op zijn plaats. Als een school ervoor zou kiezen om in school­examen­toetsen alleen context­loze opgaven op te nemen, gaat zij voorbij aan een aanzien­lijk deel van de referen­tieni­veaus. Ten behoeve van de commis­sie Bosker heeft SLO in 2014 een analyse gemaakt van de reken­doelen uit de referen­tieni­veaus voor de combina­tie van referen­tieni­veaus 1F + 1S + 2F + 3F en de combina­tie 1F + 2F. Ge­vraagd werd hoeveel procent van de reken­doelen uit deze referen­tieni­veaus betrek­king heeft op elk van de drie vormen van "weten" uit het Referen­tieka­der Rekenen. Dit was het resul­taat:

Niveau	Paraat hebben	Functio­neel gebrui­ken	Weten waarom
1F + 1S + 2F + 3F	43%	31%	26%
1F + 2F	52%	33%	16%

Een school­examen met alleen context­loze opgaven gaat alleen over "Paraat hebben" en dat is, gelet op boven­staande percen­tages, te beperkt. Zelf verzin­nen?
Is een school dan ver­plicht om school­examen­toetsen te maken waarin ook zelf verzon­nen context­opgaven voorko­men? Nee, een school kan er bijvoor­beeld ook voor kiezen om het functio­neel rekenen te gebrui­ken en te toetsen binnen het school­examen van andere vakken. Ook een of meer school­examen­toetsen rekenen met rekenop­gaven uit andere vakken behoort tot de moge­lijkhe­den. Om proble­men met de inspec­tie te voorko­men, moeten beide opties dan wel nauwkeu­rig in het 'PTA Rekenen' worden beschre­ven. Victor Schmidt
Leer­planont­wikke­laar rekenen, wiskun­de, informa­tica, digita­le gelet­terd­heid onder­bouw vo/vmbo SLO

In 2010 werd de invoe­ring van de reken­toets wette­lijk veran­kerd. Die reken­toets was geba­seerd op eerder vastge­stelde referen­tieka­ders en had tot doel om de reken­vaardig­heden binnen het voortge­zet onder­wijs op peil te brengen. Vanaf 2013 zwol de kritiek op deze reken­toets aan. Deze kritiek betrof niet alleen de inhoud van de toets maar zeker ook de reken­toets zelf als middel om het genoem­de pro­bleem op te lossen. In de periode 2013-2016 werd door het Ministe­rie van Onder­wijs, Cultuur en Weten­schap (OCW) alleen aan het eerste pro­bleem gesleu­teld. Hoewel een alterna­tieve oplos­sing al in 2013 ter tafel kwam, weiger­de toenma­lig staats­secreta­ris Sander Dekker de inzet van reken­toets als middel ter discus­sie te stellen. Begin 2015 werd de genoem­de alterna­tieve oplos­sing formeel door de Neder­landse Vereni­ging van Wiskun­delera­ren (NVvW) inge­bracht. In feite betrof dit voor­stel een herstel van goed rekenon­derwijs, geïnte­greerd in wiskun­de en andere vakken. Goed rekenon­derwijs dat door verwaar­lozing verlo­ren was gegaan. Op 8 decem­ber 2016 werd de staats­secreta­ris bij motie gedwon­gen om dit Alterna­tief van de NVvW uit te werken. Na een moei­zaam overleg­traject werd het resul­taat in februa­ri 2018 gepre­sen­teerd onder de titel 'Een nieuw perspec­tief voor rekenen in het vo'. Opnieuw vertra­ging
Dit resul­taat voldoet aan alle gestel­de rand­voor­waarden. Over één ding worden NVvW en OCW het echter niet eens. OCW vindt dat invoe­ring van het Alterna­tief moet wachten op curricu­lum.nu terwijl de NVvW het daar op zeer goede gronden niet mee eens is. Opnieuw dreigt er vertra­ging van het herstel­proces van een fatale beleids­beslis­sing in 2010, te weten de invoe­ring van de reken­toets. Jan Jimkes

Naar aanlei­ding van de stukjes in WiskundE-brief 827 over de reken­toets en het circus daar om heen wil ik graag uw aan­dacht vesti­gen op het rekenma­teriaal dat vanuit de Stich­ting Goed Rekenon­derwijs beschik­baar is gemaakt op de site www.sommen­fabriek.nl. Het rekenma­teriaal van de sommen­fabriek geeft leerlin­gen uit het basison­derwijs en de onder­bouw van het voorge­zet onder­wijs de moge­lijk­heid om op een verant­woorde wijze beter te leren rekenen. Het materi­aal is voor ieder­een gratis toegan­kelijk. Kansen­onge­lijk­heid
Stich­ting Goed Rekenon­derwijs ziet het als haar maat­schappe­lijke taak om een dam op te werpen tegen de steeds sterker toene­mende kansen­onge­lijk­heid binnen het onder­wijs. Niet iedere ouder kan zich de kosten van toets­trainin­gen en bijles­sen veroor­loven. Profes­sor Henk Tijms
Voorzit­ter Stich­ting Goed Rekenon­derwijs

In WiskundE-brief 817 werd reeds vermeld dat er door het College voor Toetsen en Examens (CvTE) pas in het najaar van 2018 duide­lijk­heid over de toege­stane rekenma­chines bij het Cen­traal Examen van 2020 zal worden gegeven. De vertra­ging werd naar zeggen veroor­zaakt door de nood­zaak om eerst de gege­vens van de enquête over de toe­komst van de grafi­sche rekenma­chine te verwer­ken. Nu de langver­wachte aanvul­ling op de rege­ling toege­stane hulpmid­delen 2020 gepubli­ceerd is, blijken de belang­rijkste wijzi­gingen echter betrek­king te hebben op de 'gewone' rekenma­chine. De 'gewone' rekenma­chine wordt door het CvTE "rekenma­chine met basisbe­werkin­gen" genoemd. Deze rekenma­chine mag ge­bruikt worden bij alle vakken waar de grafi­sche rekenma­chine niet is toege­staan. In het verle­den is er al het nodige te doen geweest over de vraag wat die 'basisbe­werkin­gen' dan zijn. Daar wordt nu voor havo/vwo meer duide­lijk­heid over gegeven. Hoewel de rekenma­chine met basisbe­werkin­gen nu juist niet bij de havo/vwo-examens wiskun­de mag worden ge­bruikt, ga ik hieron­der toch wat verder in op de regelge­ving met betrek­king tot deze 'gewone' rekenma­chine. Ik vermoed name­lijk dat het een en ander op den duur ook van belang zal zijn voor het vak wiskun­de op het vmbo. De 'gewone' rekenma­chine
Met behulp van een tabel wordt in de aanvul­ling op de rege­ling toege­stane hulpmid­delen 2020 duide­lijk gemaakt dat de toetsen voor kwa­draat, wortel, omge­keerde en macht alleen echt nodig zijn bij de vakken econo­mie, natuur­kunde en schei­kunde. Voor natuur­kunde en schei­kunde zijn boven­dien de goniome­trische en logarit­mische basis­func­ties (sin/cos/tan/log/ln) met hun bijbeho­rende inverse func­ties onont­beer­lijk. Naast minimum­eisen worden er ook boven­grenzen genoemd. De rekenma­chine mag het de leerlin­gen niet te gemakke­lijk maken. Het CvTE pro­beert de boven­grenzen aan te geven met behulp van een niet uitput­tende lijst van zaken die de rekenma­chine zeker niet mag kunnen:

Oplos­sen van (stel­sels van) verge­lijkin­gen. Nume­riek integre­ren en diffe­rentië­ren van func­ties. Rekenen met verhou­dingen. Bereke­ningen met micro, kilo, ... Gebrui­ken van weten­schappe­lijke constan­ten. Werken in een spread­sheet. Werken met inge­bouwde formu­les.

Uit­gangs­punt
Uiter­aard mag de rekenma­chine met basisbe­werkin­gen niet program­meer­baar zijn. Verder is een belang­rijk uit­gangs­punt bij het bepalen van de boven­grenzen dat hulpmid­delen die vaardig­heden waar­over de leer­ling volgens de sylla­bus moet beschik­ken overbo­dig maken, niet zijn toege­staan. In de bijlage worden drie machi­nes met name genoemd die aan alle eisen voldoen. Het zijn de Casio fx-82MS, de HP10S+ en de TI30XB(S). Ook worden er twee machi­nes genoemd die niet toege­staan zijn. Dat zijn de Casio fx-991EX en de TI-30XPro. Grafi­sche rekenma­chines
De aanvul­ling op de rege­ling toege­stane hulpmid­delen 2020 ver­meldt uitdruk­kelijk dat de volgen­de grafi­sche rekenma­chines "in ieder geval" voor 2020 en ook in 2019 zijn toege­staan:

• Casio fx-9860GII(SD) (mits voor­zien van examen­stand): OS2.07 en hoger.
• Casio fx-CG20 (mits voor­zien van examen­stand): OS2.01 en hoger.
• Casio fx-CG50.
• HP Prime (mits voor­zien van de meest recente Neder­landse examen­stand).
• TI-84 Plus T, de basis­versie met LED-lampje.
• TI-84 Plus CE-T vanaf versie OS 5.1.5.
• TI-Nspire CX (alleen de versie zonder CAS) vanaf versie OS 4.4.0.532.

Oudere types zijn niet meer toege­staan. gk

Sinds 1 novem­ber 2018 zijn er nieuwe voor­beeld­toetsen met ant­woordmo­dellen en omzet­tingsta­bellen gepubli­ceerd. Een deel van het materi­aal is beschik­baar via www.examen­blad.nl De nieuw VO-toetsen rekenen zijn beschik­baar via de oefenom­geving van Facet. Het gaat om zeven versies, te weten 2A, 2A-ER, 2F, 2ER, 3F, 3ER en 3S. De nieuwe voor­beeld­toetsen zijn ook beschik­baar als inplan­bare proef­examens in Facet. De proef­toetsen zijn ook beschik­baar als twee halve toetsen. De antwoor­den en omzet­tingsta­bellen van alle gepubli­ceerde voor­beeld­toetsen zijn sinds kort ook beschik­baar via Examen­blad.nl. Twee toetsen zijn uitslui­tend beschik­baar als inplan­bare toets. Het correc­tievoor­schrift voor deze toetsen is op te vragen bij het CvTE.

Een paar jaar geleden zijn mijn collega Petra en ik begon­nen met het ontwik­kelen van een website om onze leerlin­gen beter van dienst te kunnen zijn. Wij hebben onze kennis en erva­ring op gebied van wiskun­de, onder­wijs en ICT volop ingezet om per leer­lijn de basis van de wiskun­dige vaardig­heden cen­traal te zetten. Het is beslist niet onze bedoe­ling om een volledi­ge wiskun­demetho­de te vervaar­digen. Wij willen onze leerlin­gen slechts de moge­lijk­heid geven om hun wiskun­dige basis­vaardig­heden zo lang als nodig is te kunnen oefenen. Wij zijn name­lijk van mening dat een goede beheer­sing van deze vaardig­heden een zeer belang­rijke voor­waarde is om het vak wiskun­de succes­vol te kunnen volgen. Petra en ik hebben samen al voor een groot en belang­rijk deel de algebra­ïsche vaardig­heden voor havo wiskun­de A in kaart ge­bracht en op de website gezet. Steeds andere vragen
Voorals­nog hebben wij ons beperkt tot het opzet­ten van een databa­se met vragen en het samen­stellen van toetsen die voor oefen­doelein­den, voor forma­tieve toetsen en voor beoorde­lende toetsen kunnen worden ge­bruikt. Ook worden, via een intern digi­taal boekje, de vaardig­heden per onder­werp aan de hand van voor­beelden uitge­legd. De vragen worden 'random' geselec­teerd; leerlin­gen krijgen dus steeds weer andere vragen voorge­scho­teld. Bij al deze vragen wordt er steeds feed­back, vooraf of achter­af, gegeven. Petra en ik hebben beslo­ten om een deel van ons materi­aal tijde­lijk voor ieder­een toegan­kelijk te maken. Wel­licht dat ook uw leerlin­gen er hun voor­deel mee kunnen doen. Graag ontvan­gen we in ruil voor het beschik­baar stellen uw feed­back over ons materi­aal. Op basis van uw feed­back kunnen wij dan beslui­ten of we op deze manier verder gaan en hoe we onze website dan verder kunnen gaan uitbou­wen. Rekenon­derwijs
Er is op dit moment veel te doen rond het rekenon­derwijs. Ook voor het rekenon­derwijs kan onze website van beteke­nis zijn. De omge­ving is er al en de databa­se zou eenvou­dig uitge­breid kunnen worden met basisre­kenvra­gen. Zie ook de sugges­tie van Ton Groene­veld in WiskundE-brief 827. Als u hier behoef­te aan heeft, dan horen wij dat ook graag van u. Op de site www.wiskun­debe­grijpen.nl moet u eerst een account aanma­ken. Daarna wordt de module 'M1-Basis­vaardig­heden' voor u beschik­baar gesteld. Deze module bestaat uit drie cursus­sen. Als u klikt op 'M1-Vaardig­heden' dan krijgt u vervol­gens ruim 60 vaardig­heden voorge­scho­teld die per onder­werp zijn gerang­schikt. Wij zijn erg be­nieuwd naar uw reactie. Petra ten Bols­cher en Wouter Schoema­ker
info@wiskun­debe­grijpen.nl

Om méér docen­ten de kans te geven om mee te werken aan de con­struc­tie van de Centra­le Examens voor het voortge­zet onder­wijs wordt het experi­ment 'con­struc­tie op afstand' dat in 2018 door Cito is gestart, in 2019 uitge­breid. Het experi­ment houdt in dat een groep docen­ten onder begelei­ding van een toets­deskun­dige van Cito in een digita­le, beslo­ten en bevei­ligde omge­ving werkt aan 'itemcon­struc­tie', dus aan het maken van vragen met antwoor­den en aan het eventu­eel aanleve­ren van bronma­teriaal. In 2018 werd binnen dit experi­ment door 12 docen­ten aan opgaven voor vmbo GT gewerkt. In 2019 wordt dit experi­ment naar alle leerwe­gen van het vmbo uitge­breid. De groep docen­ten zal worden uitge­breid naar onge­veer 20 docen­ten. Item­bank
Het doel van dit experi­ment is om te onder­zoeken of docen­ten op deze wijze kunnen bijdra­gen aan de con­struc­tie van opgaven voor zowel de papie­ren als de digita­le Centra­le Examens vmbo wiskun­de BB, KB en GT. De gerede produc­ten binnen dit experi­ment worden, indien zij ge­schikt worden bevon­den, opgeno­men in een item­bank en kunnen in de toe­komst worden ingezet in de Centra­le Examens. In 2019 doen wiskun­de vmbo BB, KB en GT aan dit experi­ment mee. Volg deze link voor meer informa­tie. We nodigen nadruk­kelijk docen­ten wiskun­de vmbo BB en KB uit om te reage­ren. Jos Remijn (jos.remijn@cito.nl)
Madelon Groen­heiden (madelon.groen­heiden@cito.nl)
Toets­deskun­digen Cito

Wanneer de grafi­sche rekenma­chine als hulpmid­del wordt ge­bruikt, is het zaak dat deze krach­tig en snel genoeg is. Maar de rekenma­chine moet uiter­aard ook intuï­tief genoeg voor uw leerlin­gen zijn. Los de verge­lijking: maar eens op met uw rekenma­chine en klik op deze link om te zien dat een window ook zonder gedoe kan worden aange­past. Meer info? Mail naar info@hp-prime.nl.

Texas Instru­ments biedt lesmate­riaal dat focust op het motive­ren van leerlin­gen en het verho­gen van hun zelfac­tivi­teit. Zoals bij de op­dracht waarbij leerlin­gen een meetkun­dige verde­ling simule­ren door een dobbel­steen te gooien totdat de eerste 6 ver­schijnt. Kijk op educati­on.ti.com/neder­land voor nog meer voor­beelden.