nummer 816, 24 juni 2018

Ook dit jaar klinken er weer gelui­den als zouden de examens van het tweede tijdvak aanzien­lijk moeilij­ker zijn dan die van het eerste tijdvak. Met name over wiskun­de B werden er veel klach­ten gehoord, zowel wat betreft het havo-examen als het vwo-examen. In het examen­verslag 2017 is een passage opgeno­men over de gelijk­waardig­heid van examens van beide tijdvak­ken. Ik citeer deze passage hieron­der uitge­breid en neem daarbij de vrij­heid om af en toe iets te bena­drukken.

"In princi­pe heeft een tweede tijdvak examen dezelf­de norme­rings­term als het eerste tijdvak. Wanneer bij de vast­stel­ling van de norme­rings­term voor het eerste tijdvak het feit van één of meer onvolko­men vragen in dat examen is meegewo­gen, dan werkt dit niet door naar het tweede tijdvak. De 'voorlo­pige' norme­rings­term voor het tweede tijdvak is in dat geval de norme­rings­term die vastge­steld zou zijn als er geen onvolko­men vraag in het eerste tijdvak had gezeten. De basale aanname daarbij is dat de eerste- en tweede-tijdvak-examens, die gelijk­tijdig gecon­stru­eerd en vastge­steld worden, gelijk­waardi­ge examens zijn. De door het CvTE gepubli­ceerde voorlo­pige norme­rings­termen voor het tweede tijdvak zijn voorlo­pig in die zin dat ze nooit in het nadeel van de kandida­ten zullen worden aange­past. De defini­tieve norme­rings­termen voor het tweede tijdvak zullen dus nooit lager worden vastge­steld. De voorlo­pige norme­rings­termen voor het tweede tijdvak worden alleen gewij­zigd wanneer uit de verge­lijking van het eerste en tweede tijdvak onomsto­telijk blijkt, dat het tweede tijdvak moeilij­ker is dan het eerste tijdvak. De verge­lijking van het eerste en tweede tijdvak vindt plaats aan de hand van de verza­melde scores van het tweede tijdvak en het cijfer voor het eerste tijdvak bij die leerlin­gen die beide examens hebben gemaakt en voor het eerste tijdvak een onvol­doende scoor­den (de zgn onvol­doende herkan­sers)."

Aan­vechtba­re aanname
De gelijk­waardig­heid van eerste en tweede tijdvak is, getuige dit citaat, klaar­blijke­lijk een aanname die alleen ont­kracht kan worden als onomsto­telijk uit de gege­vens van de onvol­doende herkan­sers het tegen­deel blijkt. Onduide­lijk blijft waar men bij die vast­stel­ling dan precies op let. Op grond van de bekende regres­sie naar het gemid­delde mag men verwach­ten dat de onvol­doende herkan­sers bij gelijk­waardi­ge examens door­gaans het examen in het tweede tijdvak wat beter maken. Maar er spelen ook andere zaken een rol. Het alleen in ogen­schouw nemen van kandida­ten die in het eerste tijdvak een onvol­doende haalden, is aan­vecht­baar. Ook bij andere herkan­sers kunnen er grote belan­gen spelen, zoals het slagen via een compen­satie of de toela­ting tot een oplei­ding. Daarbij zijn er ook kandida­ten die in het tweede tijdvak, bijvoor­beeld vanwege een ge­spreid examen, voor het eerst een examen maken. Te moei­lijk of te gemakke­lijk?
Op het examen­forum van de Neder­landse Vereni­ging van Wiskun­delera­ren (NVvW) zijn teleur­gestel­de en soms zelfs hevig veront­waardig­de reac­ties te lezen. Het wiskun­de B examen was volgens veel docen­ten zowel voor havo als vwo in het tweede tijdvak een stuk lasti­ger. Een ander geluid komt van Klaas Pieter Hart, univer­sitair hoofddo­cent aan de TU Delft en redac­teur van het bekende tijd­schrift Pythago­ras. Op zijn weblog gaf hij, net als vorig jaar (zie WiskundE-brief 776), commen­taar op het examen vwo wiskun­de B. Dit jaar heeft hij de examens van zowel het eerste als het tweede tijdvak van commen­taar voor­zien. Zijn conclu­sie:

"Ik vond het examen, net als dat van het eerste tijdvak niet echt uitda­gend; er was weer één situa­tie-met-context, dit keer een smel­tend ijsbol­letje. Ook deze keer werden de sommen uitge­breid inge­leid en was de eigen­lijke opgave telkens teleur­stel­lend eenvou­dig."

Betrouw­bare borging
De vraag blijft hoe je de moei­lijk­heids­graad van een examen precies kunt bepalen. Kun je vertrou­wen op de mening van de vele betrok­ken docen­ten? Of moet je zoeken naar een wat meer afstan­delijke manier van beoorde­len? Er zijn ver­schil­lende manie­ren om de moei­lijk­heids­graad van een examen in te schat­ten. Vorig jaar gebruik­te medere­dacteur Tineke van den Berg in WiskundE-brief 776 de OBIT-analyse om de examens vwo wiskun­de B van 2016 en 2017 te verge­lijken. Andere metho­des doen een uit­spraak op basis van het aantal benodig­de denk- of reken­stappen. Goed be­schouwd is het echter vreemd als wij naar metho­des moeten zoeken om de examens van de twee tijdvak­ken te verge­lijken. De gelijk­waardig­heid van het eerste en tweede tijdvak zou geborgd moeten worden door het College voor Toetsen en Examens (CvTE). Een aanname met een ondoor­zichti­ge correc­tiemoge­lijk­heid biedt hierbij naar mijn mening een onvol­doende basis. Gerard Kool­stra

Na een eerste verken­ning van de vwo-examens in WiskundE-brief 814 besteed ik nu graag wat aan­dacht aan de examens op het havo. Ik let hierbij weer op het aantal zinnen van de inlei­ding op de eigen­lijk vragen en opdrach­ten. Net als in deel 1 bekijk ik ook hier om prakti­sche redenen weer alleen de even examen­jaren. Op het havo bestond tot ver in de jaren 80 slechts één vak wiskun­de. Pas vanaf 1989 kon men examen doen in wiskun­de A en B. Van 2000 tot en met 2008 beston­den de vakken wiskun­de A1, wiskun­de A12, wiskun­de B1 en wiskun­de B12. Wiskun­de A1 kende alleen een school­examen; de overige wiskun­devak­ken werden ook cen­traal geëxami­neerd. Vanaf 2009 bestaan weer slechts de examen­vakken wiskun­de A en wiskun­de B. In 2017 werden op het havo voor het eerst centra­le examens afgeno­men op basis het nieuwe examen­program­ma. Wiskun­de B
Ik heb in het boven­staande diagram de wiskun­de van vóór 1989 maar even als voorlo­per van wiskun­de B be­schouwd. In de loop van de jaren 80 zien we het aantal zinnen al wat toene­men. In 1988 was er ook al kritiek. In Eucli­des 64-3 pg. 71 stond toen te lezen: "Vooral voor taalar­me of alloch­tone leerlin­gen leverde de tekst van de opgaven soms proble­men". De wiskun­de B examens van het havo zijn, in tegen­stel­ling tot het vwo, in de jaren 90 al rede­lijk talig. Ik telde gemid­deld onge­veer 40 inlei­dende zinnen per examen; op het vwo waren dat er toen slechts een stuk of twintig. In tegen­stel­ling tot het beeld op het vwo zien we op het havo bij de invoe­ring van de tweede fase geen abrupte stij­ging. Wel zien we dat vanaf 2004 examens met 80 of meer zinnen heel gewoon worden. Opmerke­lijk is dat vanaf 2012 de talig­heid bij de wiskun­de B weer iets lijkt af te nemen. Dat beeld veran­dert overi­gens niet wanneer de oneven jaren erbij worden betrok­ken. Wiskun­de A
Wiskun­de A breng ik vanaf 1990 in beeld. Zoals ik ver­wachtte, telt dit vak al vanaf het begin behoor­lijk wat tekst. In de loop van de tijd lijkt de omvang van de inlei­dingen lang­zaam maar gestaag te zijn toegeno­men. In 2014 en 2016 waren er meer dan 140 inlei­dende zinnen per examen. Vanwege de nadruk op het statis­tisch onder­zoek ver­wachtte ik dat de nieuw­ste examens een stuk taliger zouden blijken te zijn. Dat lijkt voorals­nog echter niet het geval te zijn. Wat is dit onder­zoek waard?
Zoals ik in deel 1 al opmerk­te, valt er tegen de door mij gebruik­te methode wel wat aan te voeren. Door het tellen van zinnen lijken teksten met lange zinnen rela­tief kort en lijken teksten met korte zinnen juist rela­tief lang. Funda­mente­ler is de vraag hoe complex de inlei­dende teksten zijn. Er zijn diverse formu­les om de moei­lijk­heids­graad van teksten te benade­ren en het is wel­licht de moeite waard om uit te zoeken hoe bruik­baar die zijn. Om echt goed grip te krijgen op de materie zou je, zoals een lezer sugge­reerde, moeten onder­zoeken hoeveel tijd leerlin­gen nodig hebben om een vraag inclu­sief de inlei­ding zodanig te begrij­pen dat ze weten wat er van hen wordt ver­langd. Ik weet uit eigen erva­ring dat leerlin­gen met wiskun­de A en C hier­voor soms erg veel tijd nodig hebben. Zodra het begrip er eenmaal is, kan de benodig­de aanpak vaak in maar één of twee regels worden beschre­ven. Voor wiskun­de B werkt dat vaak anders­om. Het is veel sneller duide­lijk wat er van de leer­ling wordt ver­wacht maar het formule­ren van de benodig­de aanpak valt daarna niet mee. Grondi­ge aanpak
Ik ben van plan om in de toe­komst nog wat nadere aan­dacht aan dit onder­werp te beste­den. Een goed onder­zoek met leerlin­gen vereist echter een grondi­ge aanpak. Als iemand sugges­ties of overeen­komsti­ge onder­zoeks­plannen heeft, hoor ik het graag. gk

In WiskundE-brief 813 heb ik aan­dacht besteed aan een officië­le publica­tie van het College voor Toetsen en Examens (CvTE) over de compen­satie achter­af van onvolko­menhe­den in het cen­traal examen door de verho­ging van de N-term. Daar is later in de maand enige commo­tie over onstaan, wat weer leidde tot een nadere uitleg door het CvTE. Bij het achter­af compen­seren via de N-term zijn de volgen­de para­doxen, die ook in WiskundE-brief 784 werden genoemd, van belang:

1. Het tijdig door het Cito/CvTE reage­ren op gecon­stateer­de onvolko­menhe­den in of rond een examen­vraag is voor de groep examen­kandida­ten als geheel ongun­stiger dan een aanpas­sing achter­af.
2. Hoe slech­ter een omstre­den vraag is gemaakt, des te lager pakt de compen­satie door middel van het achter­af aanpas­sen van de N-term uit.

Neutra­liseren
Het mecha­nisme dat in werking treedt als er achter­af via de N-term een 'corrup­te vraag' wordt gecom­pen­seerd, deed ik in WiskundE-brief 813 uit de doeken. Ik heb daarbij, in navol­ging van een eerdere publica­tie van Cito/CvTE, de compen­satie achter­af vergele­ken met de denk­beeldi­ge situa­tie waarin dat de fout wel op tijd zou zijn ontdekt en ieder­een daarom alle punten voor de vraag zou hebben gekre­gen. In de nadere uitleg van het CvTE wordt de compen­satie achter­af vergele­ken met de denk­beeldi­ge situa­tie waarin de fout tijdig zou zijn ontdekt maar ieder­een daarom nul punten voor de vraag zou hebben gekre­gen. In eerste instan­tie lijkt een derge­lijke maatre­gel niet logisch. Para­doxaal genoeg is die maatre­gel dat wel. Knippen en neutra­liseren
Het liefst wil het CvTE, ook bij correc­tie achter­af, de ondeug­delijke vraag natuur­lijk hele­maal buiten­spel zetten. Een methode hier­voor is het 'afknip­pen' van de vraag. De vraag telt op die manier in de beoorde­ling hele­maal niet mee. Een andere manier om een vraag buiten­spel te zetten, is het 'neutra­liseren' van de vraag. Alle kandida­ten krijgen voor die vraag dan hetzelf­de aantal punten. Het aantal punten is hierbij niet van belang; essenti­eel is dat door deze maatre­gel de onder­linge volgor­de van de totaal­scores van de kandida­ten niet wordt beïn­vloed. Dat is belang­rijk want er wordt bij het vast­stellen van de N-term uitge­gaan van een vast percen­tage aan onvol­doendes. Neutra­lisatie heeft dus geen invloed op wie er boven en wie er onder de streep uitkomt. Voor details over hoe de ver­schil­lende mecha­nismen werken, verwijs ik u graag naar WiskundE-brief 784, WiskundE-brief 785 en WiskundE-brief 786. Gedach­te-experi­ment
Een vast percen­tage onvol­doendes bete­kent in de prak­tijk een vast gemid­delde voor de hele groep. Als dat gemid­delde door een of andere maatre­gel dreigt te verande­ren wordt dat via de N-term ogen­blikke­lijk weer gladge­streken. Dat is ook te lezen in de reactie van het CvTE op de 'drie­hoeksop­losser' (zie WiskundE-brief 815). Als een vraag om een of andere reden (te) goed zou worden gemaakt, wordt dat direct gecorri­geerd door de N-term. Om de para­doxale uit­komst dat de compen­satie achter­af gelijk is aan het gemid­deld aantal punten dat voor de 'misluk­te' vraag werd ge­scoord beter te begrij­pen, is mis­schien het volgen­de gedach­te-experi­ment nuttig.

1. Bereken de gemid­delde score op de misluk­te vraag
2. Vervang bij ieder­een de echte score door deze gemid­delde score

In dit geval hoeft de N-term niet te worden aange­past, gemid­deld veran­dert er immers niets! Sommige kandida­ten zullen van deze ingreep beter worden, ander slech­ter. Het meest profijt hebben uiter­aard de leerlin­gen die eerst nul punten hadden. Hun vooruit­gang is precies de gemid­delde score op deze vraag. Daarom ge­bruikt het CvTE deze gemid­delde score bij de compen­satie achter­af, en zegt terecht dat deze min­stens gelijk is aan de compen­satie die was verkre­gen bij neutra­lisatie. Echt geen nadeel?
Onder­vindt echt geen enkele kandi­daat nadeel van deze wijze van neutra­lisatie van een 'corrup­te vraag' achter­af? Als je uitgaat van de situa­tie waarbij een vraag daadwer­kelijk 'corrupt' was, dan is dat zeker waar. Maar wat nu als niet de vraag maar het correc­tievoor­schrift 'corrupt' is? Als we wat verder kijken dan wiskun­de is het al diverse keren voorge­komen dat het correc­tievoor­schrift aan goede antwoor­den weinig tot geen punten toeken­de terwijl mindere antwoor­den beter werden beloond. In derge­lijke geval­len werkt de beschre­ven compen­satie achter­af niet op een recht­vaardi­ge wijze. Neem eens aan dat een groep kandida­ten een vraag die 0,5 cijfer­punten waard is, bijna correct beant­woordt. De kandida­ten zouden hier­voor gemid­deld bijvoor­beeld 0,45 cijfer­punten moeten krijgen. Neem nu verder aan dat zij door een blunder in het correc­tievoor­schrift gemid­deld slechts 0,05 cijfer­punten toebe­deeld krijgen terwijl minder goede beant­woordin­gen gemid­deld 0,4 cijfer­punten opleve­ren. Neem verder eens aan dat de gemid­delde score op die vraag 60% is. Bij het achter­af neutra­liseren van deze vraag zal de N-term dan met 0,3 punten (60% van 0,5 punten) worden ver­hoogd. De kandida­ten met de minder goede beant­woor­ding worden op die manier gemid­deld beloond met in totaal 0,4 + 0,3 = 0,7 cijfer­punten terwijl de kandida­ten met de correc­te beant­woor­ding slechts met gemid­deld 0,05 + 0,3 = 0,35 cijfer­punten worden beloond. Gaat in een derge­lijke situa­tie werke­lijk geen kandi­daat erop achter­uit? gk

De Eindho­ven School of Educati­on (ESoE), onder­deel van de TU Eindho­ven, doet onder­zoek naar het gebruik van bronnen en leermid­delen, al dan niet digi­taal, door wiskun­dedocen­ten binnen het voortge­zet onder­wijs. Dit onder­zoek maakt deel uit van een groter onder­zoek naar het gebruik van bronnen binnen het wiskun­deonder­wijs. Voor dit onder­zoek hebben wij een digita­le vragen­lijst samenge­steld. We verzoe­ken zoveel moge­lijk docen­ten binnen het voortge­zet onder­wijs om de vragen­lijst in te vullen. Het gaat ons daarbij om de gehele breedte van het voortge­zet onder­wijs, dus van onder­bouw tot boven­bouw en van vmbo tot gymnasi­um. Volg deze link om de vragen­lijst in te vullen. Het kost u onge­veer 10 minuten en uw gege­vens worden vanzelf­spre­kend geheel anoniem ver­werkt. Alvast heel harte­lijk dank voor uw medewer­king. Zeger-Jan Kock (postdoc onder­zoeker ESoE)
Birgit Pepin (hoogle­raar STEM Educati­on ESoE)

In het mooie congres­centrum 1931 in 's-Herto­gen­bosch organi­seren de Steun­punten Taal en Rekenen vo en mbo op dinsdag 27 novem­ber 2018 een gezamen­lijke confe­rentie over toe­komstbe­stendig taal- en rekenon­derwijs. De confe­rentie richt zich tot ieder­een die iets van doen heeft met het vak rekenen (vo & mbo) of met de vakken Neder­lands of Engels (alleen mbo). Graag roepen wij docen­ten, beleids­medewer­kers, onder­steu­ners en andere experts op om tijdens de confe­rentie een work­shop van een uur of een lezing van een half uur te verzor­gen. Denk hierbij aan onder­werpen als:

• Het maken van een school­examen (vo) of instel­lings­examen (mbo).
• Integra­tie van rekenen in andere vakken.
• De didac­tiek van het rekenen.
• Begelei­ding van zwakke reke­naars.
• Ontwik­kelin­gen met betrek­king tot curricu­lum.nu.

Ver­zorgt u een work­shop of lezing?
De boven­staande opsom­ming is maar beperkt. Ook andere ideeën voor een work­shop of lezing worden zeer gewaar­deerd. Dien zeer zeker een voor­stel in wanneer u als docent uw taal- of rekenon­derwijs toe­komstbe­stendig heeft vormge­geven en hier­over een work­shop of lezing zou willen geven. En heeft u meerde­re voor­stellen? Dien ze dan gerust alle­maal in. Voor­stellen kunnen via dit formu­lier worden inge­diend tot 15 septem­ber 2018. Uiter­lijk op 30 septem­ber laten wij u daarna weten of uw voor­stel is geaccep­teerd. Heeft u nog vragen? Stel deze dan gerust via Info@steun­puntvo.nl.

Van 20 tot en met 31 augus­tus 2018 organi­seert de Univer­siteit Utrecht weer een 'Summer School'. Tijdens deze zomer­school wordt u op de hoogte ge­bracht van de laatste ontwik­kelin­gen en de resulta­ten van de laatste onder­zoeken binnen het wiskun­deonder­wijs. Tijdens de 'Summer School' wordt onder andere aan­dacht besteed aan curricu­lumont­wikke­ling, het toetsen van wiskun­de, het aanbo­ren van wiskun­dig talent, de rol van wiskun­dige model­len en ICT binnen het wiskun­deonder­wijs. Engels
De 'Summer School' richt zich met name op buiten­landse studen­ten, docen­ten, oplei­ders en onder­zoekers op het gebied van wiskun­deonder­wijs. Uiter­aard is de 'Summer School' ook toegan­kelijk voor Neder­landse wiskun­dedocen­ten en studen­ten. Maar let wel: de voer­taal is Engels. De cursus kost € 600,= exclu­sief huisves­ting. Volg deze link voor meer informa­tie.

Het Stede­lijk Gymnasi­um Leiden zoekt met ingang van school­jaar 2018-2019 een eerste­graads bevoegd docent wiskun­de voor onge­veer 0,8 fte. Meer informa­tie over de school, de vacatu­re en de sollici­tatie­procedu­re vindt u op Meester­baan.nl. Wilt u sollici­teren? Doet u dat dan ook via Meester­baan.nl.

10 oktober 2018 in Amers­foort. Laat je onder­dompe­len in een wereld van voor­beelden om leerlin­gen te motive­ren en uit te dagen om wiskun­dige onder­werpen te onder­zoeken en te begrij­pen. Kijk op de website van T3 voor uitge­breide informa­tie over het thema, de 15 work­shops en de bèta­proeve­rij. Volg deze link om u in te schrij­ven.

Bent u nog steeds niet op de HP Prime overge­stapt? Waarom niet? Het ligt niet aan de snel­heid of aan het ge­bruiks­gemak. Het kan ook niet aan de prijs liggen; die is gelijk aan uw TI/Casio. Aan de onder­steu­ning bij de lesme­thoden ligt het ook niet want die is volop beschik­baar. Wat is het dan wel? Nodig ons eens vrij­blij­vend uit om u te laten zien hoeveel interes­santer het gebruik van de grafi­sche rekenma­chine kan worden. U ont­vangt van ons een eigen rekenma­chine en al uw leerlin­gen krijgen een gratis Prime-app. Neem contact op met info@hp-prime.nl en we plannen snel een af­spraak in.