nummer 811, 13 mei 2018

In WiskundE-brief 809 werd een enquête van het College voor Toetsen en Examens (CvTE) aange­kondigd. Met deze enquête wilde het CvTE van u weten wat u dacht over de door de werk­groep 'ICT bij het CE wiskun­de havo/vwo' aange­dragen alterna­tieven voor de grafi­sche rekenma­chine. In WiskundE-brief 810 plaats­ten wij een samen­vatting van uw eerste reac­ties op deze enquête. Onder­tussen zijn er op de redac­tie meer reac­ties binnen­gekomen. Wij hebben daar twee interes­sante reac­ties uitge­haald. Ook hebben wij nog wat aanvul­lende informa­tie voor u. Fabri­kanten staan in de rij
Joost van't Spijker van LOTS Consul­tancy onder­steunt in zijn reactie de sugges­tie om te werken met een aange­paste weten­schappe­lijke rekenma­chine. Fabri­kanten zijn van harte bereid om een rekenma­chine te maken die voldoet aan bepaal­de eisen en te garande­ren dat deze machine over langere tijd beschik­baar zal zijn. Bijna een jaar geleden heeft LOTS Consul­tancy nota bene zelf al aan het CvTE aangebo­den om zo'n rekenma­chine voor het Neder­landse onder­wijs te maken. Is GeoGe­bra wel ge­schikt?
Henk Hiet­brink, docent aan het Hermann Wesse­link College te Amstel­veen, vraagt zich af of je van leerlin­gen met GeoGe­bra straks dezelf­de vaardig­heid mag verwach­ten als zij nu op de grafi­sche rekenma­chine hebben. Kunnen zij met GeoGe­bra later net zo gemakke­lijk verge­lijkin­gen oplos­sen, tabel­len maken en aflezen en met rijen, webgra­fieken en matri­ces werken als nu op de grafi­sche rekenma­chine? Henk is van mening dat alle leerlin­gen, van havo wiskun­de A tot vwo wiskun­de D, op intuï­tieve wijze van GeoGe­bra gebruik zouden moeten kunnen maken. Dat is volgens hem, onder andere door de veel­heid aan func­ties binnen GeoGe­bra, op dit moment niet het geval. Eerst nader onder­zoek
Verder merkt Henk Hiet­brink op dat GeoGe­bra welis­waar op veel 'devices' werkt maar dat het werken op een tele­foon of een tablet toch wat anders is dan het werken op een laptop. Hoe soepel ver­loopt straks de over­gang van het ver­trouwde appa­raat waarop de leer­ling geoe­fend heeft naar een examen­omge­ving met Facet? Er zal, zo vreest Henk, voor een welover­wogen keuze nog flink wat onder­zoek nodig zijn. Tipje van de sluier
Uit­gangs­punt bij de enquête was het rapport van de werk­groep "ICT bij het CE wiskun­de havo/vwo". Zie ook WiskundE-brief 776. Het CvTE heeft er bewust voor gekozen om dit rapport niet open­baar te maken. Men wilde, zo deelde men desge­vraagd mee, de enquête niet beïn­vloeden door het rapport nu al vrij te geven. Dit omdat in het rapport niet alle alterna­tieven even uitge­breid zijn uitge­werkt. Als dat de reden is, dan is het min­stens opmerke­lijk te noemen dat er in de afgelo­pen week in Eucli­des een artikel is versche­nen van drie medewer­kers van Cito, waaron­der twee leden van de werk­groep "ICT bij het CE wiskun­de havo/vwo", met als titel "GeoGe­bra als vervan­ging van de grafi­sche rekenma­chine". In dit artikel wordt verslag gedaan van een onder­zoek op vier scholen waarbij de vwo-leerlin­gen toetsen maakten met behulp van GeoGe­bra in plaats van een grafi­sche rekenma­chine. De organi­seer­baar­heid, met name het bewaken van de examen­stand van GeoGe­bra, werd in dat artikel als voor­naamste knel­punt genoemd. Over de ver­schil­len tussen de grafi­sche rekenma­chine en GeoGe­bra wordt verder wat luchtig­jes gedaan. GeoGe­bra biedt, zo merkt men op, in de examen­modus "onge­veer" dezelf­de moge­lijkhe­den als de grafi­sche rekenma­chine. Dat leerlin­gen soms goed zicht hebben op het scherm van mede­leerlin­gen ziet men verder niet als een groot pro­bleem.

Rapport binnen­kort open­baar? De enquête over de alterna­tieven voor de grafi­sche rekenma­chine kon tot en met afgelo­pen vrijdag inge­vuld worden. Het CvTE heeft laten weten dat het rapport van de werk­groep op een later tijd­stip open­baar zal worden gemaakt. Er ligt ook al een paar weken een verzoek van de redac­tie van de WiskundE-brief op basis van de Wet open­baar­heid van bestuur (Wob) bij het CvTE op tafel om het rapport vrij te geven. Wat mij betreft had dat rapport al lang open­baar moeten zijn. gk

Eind april 2018 heeft het College voor Toetsen en Examens (CvTE) op www.examen­blad.nl een 'handrei­king' gepubli­ceerd waarin uit de doeken wordt gedaan hoe moet worden omge­gaan met een geschil over de correc­tie van een examen waarvan het cijfer al is vastge­steld. In het Eindexa­menbe­sluit VO is wat betreft geschil­len over de correc­tie van examens na vast­stel­ling van het cijfer niets voor­zien. Het CvTE conclu­deert hieruit dat de inspec­tie, het ministe­rie van OCW en het CvTE daar dus geen rol in hebben. De vraag is dan uiter­aard meteen wie daar dan wel een rol in heeft. Volgens het CvTE zijn dat de scholen en moge­lijk ook de burger­lijke rechter. Be­stuurs­recht en burger­lijk recht
De verwij­zing naar de burger­lijke rechter is opmerke­lijk omdat nog maar een paar maanden geleden het ge­rechts­hof Arnhem-Leeuwar­den in een arrest naar aanlei­ding van het Cen­traal Examen Frans 2017 uitge­breid is inge­gaan op de taakver­deling tussen burger­lijke rechter en be­stuurs­rechter. Zie hier­voor ook WiskundE-brief 804.

"De vast­stel­ling van het cijfer voor het cen­traal examen van een vak, de vast­stel­ling van de uitslag van het eindexa­men en het al dan niet uitrei­ken van een diploma betref­fen beslui­ten van de direc­teur (...) van de school voor voortge­zet onder­wijs. De direc­teur (...) kan daarbij op grond van artikel 1:1 eerste lid onder b Awb (Algeme­ne wet be­stuurs­recht) als be­stuurs­orgaan worden aange­merkt, ook al betreft het een school voor bijzon­der onder­wijs (...)."

De (direc­teur van de) school wordt ondub­belzin­nig een be­stuurs­orgaan genoemd, waar­door een gang naar de be­stuursrechter de aangewe­zen weg is en de gang naar de burger­lijke rechter kan uitlo­pen op de medede­ling dat men bij het verkeer­de adres is. Er zitten nog wel wat juridi­sche voetan­gels en klemmen aan de zaak. Zo lijkt artikel 8:4 van de Algeme­ne wet be­stuurs­recht zaken rond examine­ring uit te sluiten. In het geval van het Cen­traal Examen Frans achtte het ge­rechts­hof dit echter niet van belang. Daar­naast biedt de burger­lijke rechter als zoge­naamde "rest-rechter" aanvul­lende rechts­bescher­ming tegen de over­heid indien voor de betrok­kene geen enkele moge­lijk­heid bestaat om het geschil aan de be­stuurs­rechter voor te leggen. Dit alles neemt echter niet weg dat bij juridi­sche stappen rond het examen de gang naar de be­stuurs­rechter de aangewe­zen weg lijkt te zijn of op zijn minst als optie moet worden overwo­gen. In de prak­tijk zal een pro­bleem in eerste instan­tie meestal bij de school worden neerge­legd. Het advies van het CvTE richt zich op twee zaken, de inzage in het examen­werk en een moge­lijk geschil na deze inzage. Inzage is een recht
Iedere eindexa­menkan­didaat heeft recht op inzage van zijn of haar eigen gemaak­te examen­werk. Om proble­men en onduide­lijk­heid te voorko­men, advi­seert het CvTE om de inzage­procedu­re vooraf te om­schrij­ven, bijvoor­beeld in het examen­regle­ment. Hierin kan dan worden beschre­ven wie er wel of niet aanwe­zig mogen of moeten zijn bij een inzage en hoe een inzage­zitting ver­loopt. Ook moet duide­lijk worden vermeld dat de conse­quentie van een protest ook kan zijn dat een cijfer uitein­delijk lager moet worden vastge­steld. Bij de inzage is het raad­zaam dat er een lid van de school­leiding aanwe­zig is die erover waakt dat er geen aanpas­singen in het werk aange­bracht worden. Om discus­sies ter plekke te voorko­men, is het daar­naast handig om de examina­tor juist niet bij de inzage aanwe­zig te laten zijn, zo advi­seert het CvTE. Geschil na inzage
Als de eindexa­menkan­didaat aanneme­lijk kan maken dat er een aanwijs­bare fout bij de correc­tie is gemaakt, advi­seert het CvTE het volgen­de stappen­plan:

1. De eindexa­menkan­didaat zet zijn of haar argumen­ten met betrek­king tot de veron­derstel­de fouten op papier.
2. De examina­tor bekijkt of een aanpas­sing van de score aan de orde is.
3. De examina­tor neemt contact op met de gecom­mitteer­de met vermel­ding van de argumen­ten van de leer­ling en het eigen oordeel. Na zorgvul­dige voorbe­reiding vind overleg plaats tussen beiden, waarvan de uit­komst schrif­telijk wordt vastge­legd.

De laatste stappen zijn afhanke­lijk van de uit­komst van stap 3. Als zowel examina­tor als gecom­mitteer­de van mening zijn dat de uitslag moet worden aange­past, gebeurt dit. De inspec­tie contro­leert dan wel of deze laatste niet onder druk is gezet. Als er geen overeen­stem­ming is, bestaat de moge­lijk­heid om twee nieuwe correc­toren te benoe­men. gk

Stich­ting Math4­All, Pragma ADE en de Project­groep MBO-HBO van de NVvW zijn in samen­werking met wiskun­dedocen­ten van vijf­tien ROC's bezig met het ontwik­kelen van een wiskun­demetho­de voor het middel­baar beroeps­onder­wijs. Het doel is om een betaal­bare, actuele en open wiskun­demetho­de te ontwik­kelen voor de niveaus 3 en 4 van het MBO. De wiskun­de in deze methode zal aanslui­ten bij de studie­rich­ting van de mbo-student. Daarom wordt de wiskun­de in vier secto­ren aangebo­den, te weten Built Environ­ment, Applied Scien­ces, Enginee­ring en ICT. De methode zal vrij toegan­kelijk op inter­net worden gepubli­ceerd. Met behulp van een zoge­naamde 'folio­straat' kunnen docen­ten zelf maat­werkboe­ken en toetsen voor hun studen­ten samen­stellen. De eerste hoofd­stukken zijn klaar
Enige tijd geleden werden de eisen reeds geïnven­tari­seerd, zowel voor het Basis­deel Wiskun­de (eerste twee leerja­ren) als voor het Keuze­deel Wiskun­de (derde en vierde leer­jaar). Op dit moment is de ontwik­keling van de methode in volle gang. Docen­ten bewaken de inhoud, leveren sector­gerich­te opgaven aan en schrij­ven in een enkel geval ook zelf aan de methode mee. De eerste hoofd­stukken zijn inmid­dels gereed. Ze zijn te vinden via deze link onder de tab 'Wiskun­de MBO'. De methode is vanaf augus­tus 2018 inzet­baar voor het mbo. Doet u mee?
Informa­tie over het project is via deze link te vinden. De volgen­de ontwik­kelbij­een­komst vindt plaats op vrijdag 8 juni 2018 om 13:00 uur in Amers­foort, waar we te gast zijn bij het Consor­tium Beroeps­onder­wijs. Docen­ten die overwe­gen om een bijdra­ge aan de ontwik­keling te leveren of gewoon wat meer informa­tie over het project willen hebben, kunnen via email contact opnemen met één van de onderge­teken­den. Frits Spij­kers (f.spij­kers@math4­all.nl)
Ton Otten (a.f.otten@xs4all.nl)

Priemge­tallen vormen de meest elemen­taire bouwste­nen van de wiskun­de. Dat wil echter niet zeggen dat proble­men met priemge­tallen eenvou­dig zijn op te lossen. Interes­sant zijn die proble­men echter zeer zeker wel. De organi­satie Hoger onder­wijs voor uw plezier (HOVO) organi­seert daarom een zomer­cursus over priemge­tallen. Uw docent is profes­sor dr. F. Oort. In de cursus zal profes­sor dr. F. Oort direct al aan het begin een aantal proble­men aan u voorleg­gen. Al snel komt u tot de ontdek­king dat proble­men die lastig lijken, gemakke­lijk kunnen worden opge­lost terwijl elemen­taire proble­men vaak juist erg lastig zijn op te lossen. Uniek is dat profes­sor dr. F. Oort het princi­pe han­teert dat het tempo van de cursus zodanig moet zijn dat alle cursis­ten de cursus goed kunnen volgen. Hij gaat er daarbij wel vanuit dat uw voorken­nis van de wiskun­de zich tenmin­ste op vwo-niveau bevindt. Eerst even naden­ken
De cursus begint met een aantal klassie­ke proble­men en eindigt ergens in de actuali­teit van het modern onder­zoek. Er komen tijdens de cursus intrige­rende bewij­zen en prachti­ge voor­beelden voorbij. Het zal blijken dat je veel reken­werk kunt voorko­men door eerst even goed na te denken. Je kunt verras­send ver komen met eenvou­dige argumen­taties. De cursus zal bol staan van mooie, wiskun­dig elegan­te bewij­zen. De cursus zal op de maanda­gen van 2, 9 en 16 juli 2018 op de Uithof in Utrecht worden gegeven. De cursus­duur is steeds van 13:15 tot 15:00 uur. Op 2 en 16 juli wordt de cursus gegeven in het Freuden­thalge­bouw, zaal 611, Buda­pest­laan 6, 3584 CD Utrecht. Op 9 juli wordt de cursus gegeven in het Ruppert­gebouw, zaal 0.33, Leuven­laan 19-21, 3584 CE Utrecht. Vooraf­gaand aan de cursus krijgt u de volledi­ge sylla­bus digi­taal toege­zonden. Heeft u de sylla­bus liever op papier, laat dat dan uiter­lijk op 1 juni 2018 bij uw in­schrij­ving even weten. Volg deze link voor meer informa­tie of om u in te schrij­ven.

Goossen Karssen­berg is verslin­gerd aan geome­trische patro­nen. Sinds 2008 bestu­deert hij Islami­tische kunst. Hij analy­seerde talloze con­struc­ties uit eeuwen­oude manu­scrip­ten, bestu­deerde ter plekke de kleur­rijke ta­bleaus op gebou­wen in Iran en Turkije en ontwik­kelde onder­wijsma­teriaal om te gebrui­ken in de wiskun­deles. Het door Goossen ontwik­kelde lesmate­riaal is perfect inzet­baar bij wiskun­de C, domein G: Vorm en Ruimte. Het lesmate­riaal is buiten dit domein ook in bredere zin bruik­baar in de boven­bouw van het havo. Onderde­len uit de lessen­serie, bijvoor­beeld de opdrach­ten met vouw­tech­niek, zijn ook zeer ge­schikt om al in de tweede of derde klas te gebrui­ken. Perzi­sche mozaïe­ken
Tijdens de les kruipen de leerlin­gen in de huid van een middel­eeuwse Perzi­sche mozaïek­ontwer­per. Eerst analyse­ren zij een rela­tief eenvou­dige mozaïek en maken daarbij kennis met ver­schil­lende vormen van symme­trie, Perzi­sche basispa­tronen, sterren en rozet­ten. Uitein­delijk maken en presen­teren de leerlin­gen hun eigen, origine­le mozaïek. Het mozaïek in de afbeel­ding is door Goossen Karssen­berg zelf ontwor­pen. Hij is samen met zijn dochter Maite naar Iran geweest om dit patroon door een echte mozaïek­maker te laten maken in de origine­le Islami­tische kleuren. Zijn dochter heeft over deze reis het boekje "Snij­punt Isfahan" geschre­ven. Volg deze link om het lesmate­riaal gratis te downloa­den.

Binnen­kort ver­schijnt bij Uitgeve­rij Prome­theus het boek "Priem­woestij­nen". Voor dit boek koos auteur Alex van den Brand­hof zeven­tien hoogte­punten uit de wiskun­de van de eenen­twintig­ste eeuw. Hij koos van ieder jaar precies één hoogte­punt, van 2001 tot en met 2017. Het boek gaat onder andere over zoge­naamde 'priem­woestij­nen', reeksen opeen­volgen­de getal­len zónder priemge­tallen ertus­sen. Ook andere priemge­talver­schijn­selen komen aan bod, zoals priem­tweelin­gen en reken­kundige priem­rijen. Verder belicht Alex van den Brand­hof het grens­verleg­gend onder­zoek in de spelthe­orie, het beruch­te abc-vermoe­den en het Poinca­ré-vermoe­den. Over dat laatste vermoe­den hebben wiskun­digen zich honderd jaar het hoofd gebro­ken voordat de Rus Grigori Perel­man het pad naar de oplos­sing bloot­legde. Op zater­dag 26 mei 2018 is er een boekpre­senta­tie op de vierde etage van boekhan­del Schelte­ma, Rokin 9 te Amster­dam. U bent welkom vanaf 16:00 uur. De presen­tatie begint om 16:30 uur en ieder­een is van harte welkom. Volg deze link voor meer informa­tie.

Afgelo­pen vrijdag is er nogal wat ophef ont­staan over een geodrie­hoek van de HEMA met een verkeer­de schaal­verde­ling. Met het oog op de komende examens liet ook het CvTE en het ministe­rie van onder­wijs een waar­schu­wing uitgaan. Het gaat om de graden­verde­ling aan de buiten­kant. Niet alleen staan de streep­je schots en scheef maar ze staan vaak ook op de verkeer­de plaats. Om de chaos com­pleet te maken, staan er ook nog te veel streep­jes. Zo staan er elf streep­jes tussen 50 en 60 en tien tussen 60 en 70. Bij examens waar hoeken opgeme­ten of gete­kend moeten, zoals wiskun­de vmbo of natuur­kunde, kan dit voor proble­men zorgen. De bewuste geodrie­hoek is intus­sen uit de handel gehaald. Voor sommige verzame­laars is deze geodrie­hoek inmid­dels een gewild 'collec­tors­item' gewor­den.

In WiskundE-brief 810 wezen wij u op de mogelij­ke wat dubbel­zinnige bood­schap over het gebruik van de gewone rekenma­chine tijdens het Cen­traal Examen Wiskun­de havo/vwo die te lezen was op www.mijn­eindexa­men.nl. Intus­sen is de tekst aange­past en staat ook bij het basis­pakket uitdruk­kelijk vermeld dat de gewone rekenma­chine niet is toege­staan bij 'vakken met een grafi­sche rekenma­chine'.

Het Marecol­lege te Leiden is een vrije­school voor vmbo-t, havo en vwo met onge­veer 530 leerlin­gen. Voor school­jaar 2018-2019 zoeken wij een tweede­graads docent wiskun­de. Het betreft een betrek­king met uit­zicht op een vast dienst­verband. De grootte van de vacatu­re is onge­veer 0,3 fte. Het Marecol­lege werkt vanuit een leer­plan dat geba­seerd is op het gedach­tegoed van Rudolf Steiner en geeft de leerlin­gen de ruimte 'te worden wie ze zijn'. Daarbij is de school een vrije­school van deze tijd, waarin docen­ten bewust zijn dat zij onder­wijs geven voor hoofd, hart en handen. Stuur uw sollici­tatie naar Linda Wiek­hart (wiek­hart@marecol­lege.nl). Ga naar onze site voor meer informa­tie over onze school.

Bent u nog steeds niet op de HP Prime overge­stapt? Waarom niet? Het ligt niet aan de snel­heid of aan het ge­bruiks­gemak. Het kan ook niet aan de prijs liggen; die is gelijk aan uw TI/Casio. Aan de onder­steu­ning bij de lesme­thoden ligt het ook niet want die is volop beschik­baar. Wat is het dan wel? Nodig ons eens vrij­blij­vend uit om u te laten zien hoeveel interes­santer het gebruik van de grafi­sche rekenma­chine kan worden. U ont­vangt van ons een eigen rekenma­chine en al uw leerlin­gen krijgen een gratis Prime-app. Neem contact op met info@hp-prime.nl en we plannen snel een af­spraak in.