nummer 786, 17 septem­ber 2017

Het is prettig dat Ameling Algra, die de gang van zaken rond de Examens door en door kent, in Wiskun­dE-brief 785 uitge­breid heeft gerea­geerd op mijn artikel in Wiskun­dE-brief 784. In dat artikel noemde ik een drietal para­doxen die voort­vloeien uit hoe het CvTE onvolko­menhe­den in de examens corri­geert. Hieron­der wil ik op enkele zaken graag nog wat nader ingaan. Als een examen­vraag niet deugt, dan ligt het wegla­ten van die vraag het meest voor de hand. Op die manier wordt er dan name­lijk niet de indruk gewekt dat er iets cadeau wordt gedaan. Algra noemt dit in zijn bijdra­ge 'afknip­pen'. Deze methode wordt bij de schrif­telijke examens niet toege­past. In plaats daarvan krijgt in zo'n geval ieder­een alle te behalen punten voor de betref­fende vraag. Doordat de N-term bij beide metho­den vanwege het vaste percen­tage aan onvol­doendes op­schuift, hebben deze twee metho­den in de prak­tijk onge­veer hetzelf­de resul­taat. In mijn bijdra­ge in Wiskun­dE-brief 784 gebruik­te ik een hypothe­tisch voor­beeld van een examen met 9 vier­punts­vragen waarvan één vraag achter­af 'corrupt' blijkt te zijn. In het voor­beeld hieron­der laat ik de ver­schil­len zien tussen methode 1 (afknip­pen) en methode 2 (alle punten):

	oor­spronke­lijk	afknip­pen	alle punten
kandi­daat I	4,3	4,5	4,6
kandi­daat A	5,1	4,5	4,6
kandi­daat J	5,3	5,6	5,6
kandi­daat E	5,6	5,9	5,8
kandi­daat G	6,1	5,3	5,3
kandi­daat H	6,1	5,9	5,8
kandi­daat D	7,1	7,6	7,3
kandi­daat C	7,3	7,0	6,8
kandi­daat B	7,8	7,8	7,6
kandi­daat F	8,1	8,1	7,8

De kolom­men 'afknip­pen' en 'alle punten' geven de toepas­sing van methode 1 en methode 2 weer. De ver­schil­len tussen die kolom­men zijn niet indruk­wekkend. Wel valt op dat voor de hogere cijfers methode 1 gunsti­ger is en voor de lagere cijfers methode 2 wat voorde­liger uitpakt. Dat is goed ver­klaar­baar vanuit de bijbeho­rende omreke­ningsre­gels. Omreke­ningsre­gels
Als de corrup­te vraag van het examen wordt afge­knipt (methode 1), dan blijven er 8 vier­punts­vragen over waar­voor in totaal 32 punten zijn te behalen. Als S de score is op deze 8 vragen, dan kan het cijfer volgens de afknip­methode bere­kend worden met: C = S/32×9+N₁ = ⁹/₃₂×S+N₁ Als ieder­een alle vier de punten voor vraag 9 krijgt, dan ziet de omreke­nings­formule er zo uit: C = (S+4)/36×9+N₂ = ¹/₄×S+1+N₂ Omdat gewerkt wordt met een con­stant aantal onvol­doendes, geldt in ons voor­beeld: N₁ ≈ 0,5 en N₂ ≈ 0,1.
In de grafiek rechts staan de grafie­ken van de formu­les C = ⁹/₃₂×S+0,528 (methode 1) en C = ¹/₄×S+1,075 (methode 2). Die grafiek laat nog eens zien dat beide formu­les bij een (fictie­ve) score van 17,5 punten.¹⁾ hetzelf­de cijfer opleve­ren, dat methode 1 bij hogere scores gunsti­ger is en dat methode 2 bij lagere scores gunsti­ger voor de eindexa­menkan­didaten is. Ge­zichts­punten
Vanuit het ge­zichts­punt van de samen­stel­lers is het begrij­pelijk dat zij een corrup­te vraag achter­af het liefst geheel zouden willen elimine­ren. Het 'ge­schoon­de' examen wordt dan als uit­gangs­punt genomen en de vraag wordt als 'niet gesteld' be­schouwd. Vanuit het ge­zichts­punt van de kandida­ten en hun docen­ten kan dat echter anders liggen. Gaat een vraag over een onder­werp dat niet of niet meer tot de examen­stof behoort²⁾ of was een vraag door een gebrek aan gege­vens in het geheel niet te maken, dan zullen velen de elimina­tie van die vraag accepta­bel vinden. Al blijft ook dan nog het argu­ment dat de kandi­daat door die elimina­tie in het geheel niet wordt beloond voor de energie die het beant­woorden van die vraag heeft gekost. Ondeug­delijk correc­tievoor­schrift
Maar gaat het, zoals in de recente recht­zaak over het examen Frans, niet zozeer over de vraag zelf maar over het correc­tievoor­schrift, dan ligt de zaak anders. Als het correc­tievoor­schrift bij nader inzien onvolle­dig blijkt te zijn, hebben alle kandida­ten met een goed ant­woord recht op de bijbeho­rende punten. Althans, dat zal breed op deze manier worden gezien. Het wegla­ten van de vraag wordt door de gedu­peerde betrok­kenen als onrecht­vaardig ervaren. En dat gevoel is nog veel sterker als de bewuste vraag nu juist een van de weinige vragen was die de kandi­daat goed had beant­woord. Het lijkt mij in een derge­lijk geval niet terecht om het examen als 'ondeug­delijk' te betite­len. Het is slechts het correc­tievoor­schift dat ondeug­delijk was en moest worden gecorri­geerd. Princi­pes
Het recht­vaardig­heidsge­voel van betrok­kenen, leerlin­gen, docen­ten en ouders, is uiter­aard sterk afhanke­lijk van hun eigen belang in de zaak. Alleen daarom al is het erg lastig om te discus­sieren over de 'eerlijk­heid' van de diverse maatre­gelen ter correc­tie van corrup­te vragen in examens. Toch valt er wel iets over te zeggen. Over eerlij­ke examens is name­lijk veel geschre­ven, onder andere door juris­ten. Verder zijn er een paar princi­piële uit­gangs­punten die breed binnen het onder­wijs worden gedra­gen en die daarom ook door een organi­satie als het CvTE zouden moeten worden gehan­teerd. Ik noem er drie:

1. Door het herstel­len van een fout in of rond het examen na afname van het examen mag geen leer­ling een lager cijfer krijgen.
2. Een leer­ling die in eerste instan­tie was bena­deeld door de fout, moet na het herstel­len een hoger cijfer krijgen.
3. Hoe ernsti­ger de gevol­gen van de fout in of rond het examen voor de kandida­ten zijn, des te hoger moet de compen­satie zijn.

De princi­pes die ik noem, zijn niet abso­luut. Als bijvoor­beeld per abuis de antwoor­den bij het examen zitten³⁾ en daar­door alle kandida­ten een tien hebben gehaald, is er wel­licht voldoen­de reden om van het eerste princi­pe af te wijken. Bij het hante­ren van het tweede princi­pe kan het in bijzon­dere geval­len voorko­men dat de verho­ging van het cijfer in de afron­ding ver­dwijnt. Maar dat wil niet zeggen dat deze princi­pes geen uit­gangs­punt van hande­len zouden moeten zijn. Zoals ik heb laten zien in mijn voor­beelden, worden deze uit­gangs­punten door de methode van CvTE/Cito vaak met voeten getre­den. In hoever­re de boven­staande uit­gangs­punten door het CvTE/Cito worden onder­schre­ven, is me dan ook onduide­lijk. Gerard Kool­stra

1)	Ik heb hier de N-termen niet afge­rond op tienden, in de prak­tijk gebeurt dit wel.
2)	Dat is op het Cen­traal Examen weleens voorge­komen.
3)	Op school­examens wil dat weleens een enkele keer gebeu­ren.

Dit jaar zijn de eerste havo-examens volgens het nieuwe program­ma afgeno­men. In het komende jaar is het vwo aan de beurt. Naast inhoude­lijke verande­ringen was er in de nieuwe examens een grotere aan­dacht voor algebra­ïsche vaardig­heden toege­zegd. Laten we eens kijken hoe die beloof­de aan­dacht in de pilot­examens is terug te vinden. Volgens een recent artikel in Eucli­des¹⁾ is er in de pilot­examens duide­lijk meer aan­dacht voor algebra­ïsche vaardig­heden dan in de regulie­re examens. Boven­dien is er meer aan­dacht voor 'concep­tueel begrip'. Sinds 2011 (havo) en 2012 (vwo) werden er pilot­examens afgeno­men. In het artikel in Eucli­des zijn de pilot­examens tot en met 2016 geanaly­seerd. Op basis van de in dat artikel gepre­senteer­de cijfers heb ik de onder­staande diagram­men gemaakt. Wiskun­de A
De aan­dacht voor algebra­ïsche vaardig­heden is in de pilot­examens duide­lijk hoger dan in de regulie­re examens. De algebra­ïsche vaardig­heden zijn door de auteurs onder­ver­deeld in drie niveau's van concep­tueel begrip, te weten 'niet/nauwe­lijks', 'enigs­zins' en 'veel'. In het artikel zelf wordt dit begrip verder niet goed uitge­legd. De auteurs waren echter zo vriende­lijk om mij inzage te geven in de code­ringsta­bel. Wat is 'concep­tueel begrip'?
'Concep­tueel begrip' is wel­licht het beste toe te lichten met een voor­beeld. Neem eens aan dat een kandi­daat een formule van een bekend type op moet stellen. Als het raam­werk van de formule (bijvoor­beeld y = ax+b) is gegeven, dan is er nauwe­lijks ('geen') sprake van het toetsen van concep­tuele vaardig­heden. Als er expli­ciet wordt vermeld dat het bijvoor­beeld om een lineair verband gaat, is er 'enigs­zins' sprake van het toetsen van concep­tuele vaardig­heden. Alleen wanneer de kandi­daat zelf moet bepalen om welk type verband het gaat, zijn er 'veel' concep­tuele vaardig­heden nodig. Opval­lend is, dat volgens de analyse dit hoogste niveau bij de regulie­re wiskun­de A examens op het vwo totaal niet aange­troffen werd. Wiskun­de B
Ook bij wiskun­de B zien we een duide­lijke toename van het aandeel algebra­ïsche vaardig­heden, vooral wanneer je naar het hoogste niveau kijkt. Opmerke­lijk is dat er ook in de regulie­re wiskun­de B examens maar weinig opgaven voorkwa­men waarbij wat meer eigen initia­tief van de leerlin­gen werd ge­vraagd. In de pilot­examens is dat zowel bij havo als vwo veel meer het geval. Toch over­heersen ook in de pilot­examens de voorge­structu­reerde opdrach­ten. Opmerke­lijk is dat de toet­sing van de algebra­ïsche vaardig­heden in het pilot­examen wiskun­de A zich op onge­veer hetzelf­de niveau bevindt als in het regulie­re examen wiskun­de B. Lagere scores
Het zal menig examina­tor opgeval­len zijn dat er bij de pilot­examens vaak hoge N-termen werden uitge­deeld, af en toe zelfs hoger dan 2.0. Dat was nodig om de resulta­ten van de pilot­examens accepta­bel te houden. De scores van de pilot­examens ten opzich­te van de regulie­re examens zijn vooral bij wiskun­de A vaak een stuk lager. Natuur­lijk spelen er meerde­re facto­ren mee. Toch zou je voor­zichtig de conclu­sie kunnen trekken dat het nog niet zo goed lukt om het niveau van de algebra­ïsche vaardig­heden omhoog te krikken. Om dat ver­schijn­sel nader te onder­zoeken, hebben de schrij­vers van het artikel gekeken naar de opgaven die zowel in de regulie­re als de pilot­examens zaten. Dat beeld wisselt behoor­lijk. Soms enige verbete­ring
Kort samenge­vat zijn de resulta­ten van dat onder­zoek als volgt. Op vwo wiskun­de A wordt er onge­veer 4,5 procent­punt hoger ge­scoord door de pilot­groep. Dat is een beschei­den winst met een effect­grootte van onge­veer 0,2. Ook voor havo wiskun­de B doet de pilot­groep het met een onge­veer 3,5 procent­punt hoger liggen­de score iets beter. Kijk je echter naar wiskun­de A havo of naar wiskun­de B vwo, dan is er nauwe­lijks enig ver­schil tussen de pilot­kandi­daat en de regulie­re kandi­daat te vinden. gk

1)	Irene van Stip­hout, Paul Drij­vers, Ruud Stol­wijk en Jos Remijn: Algebra­ïsche vaardig­heden in de nieuwe examens wiskun­de havo en vwo, Eucli­des septem­ber 2017 (93-1) pg 27-29.

De Onder­wijsin­spectie wil in het komende kalen­derjaar onder­zoek doen naar het reken- en wiskun­deonder­wijs. Het niveau van dit onder­wijs staat volgens de inspec­tie name­lijk onder druk. Afgelo­pen week is het ontwerp-jaar­werk­plan 2018 van de Inspec­tie van het Onder­wijs versche­nen. In de Staat van het Onder­wijs van 2017 stonden vijf thema’s cen­traal, waaron­der de druk op de presta­ties, met name wat rekenen en wiskun­de betreft. De inspec­tie wil nu zowel in het primair als het voortge­zet onder­wijs inzich­telijk maken welke oorza­ken een rol spelen bij de neer­gaande trend. Ook wil de inspec­tie nagaan wat wel en niet werkt om de presta­ties op het gebied van rekenen en wiskun­de te verbete­ren. Vragen
De volgen­de vragen staan cen­traal:

• Hoe komt het dat de leer­presta­ties bij rekenen en wiskun­de minder goed zijn dan voor­heen?
• Hoe komt het dat het aantal hoog-pres­teer­ders bij rekenen en wiskun­de is gedaald?
• Waar zitten de proble­men precies, bezien vanuit de hele onder­wijske­ten (onder andere compen­satieme­chanis­men)?
• Welke facto­ren spelen een rol bij de grote ver­schil­len in presta­ties tussen scholen op het gebied van rekenen en wiskun­de tussen scholen en oplei­dingen?
• Welke lessen kunnen we trekken uit de onder­wijs­prak­tijk? Welke goede voor­beelden zien we en wat kunnen we daarvan leren?

Het onder­zoek zal een combina­tie zijn van litera­tuuron­derzoek, data-analyse, expert­mee­tings en onder­zoek bij een (beperkt) aantal scholen, te weten scholen die wat rekenen/wiskun­de goed of juist slecht preste­ren. In het onder­zoek wordt aange­sloten bij de activi­teiten in het kader van Peil.onder­wijs, met name met het onder­zoek dat in 2018-2019 wordt uitge­voerd bij een repre­senta­tieve steek­proef van scholen. Ook is er al litera­tuuron­derzoek ver­richt dat zicht geeft op facto­ren in het onder­wijs­leerpro­ces die van invloed zijn op de leer­presta­ties met betrek­king tot rekenen en wiskun­de. Het onder­zoek zal in het najaar van 2018 leiden tot een rapport. Ook zal de inspec­tie bijeen­komsten organi­seren met de betrok­ken partij­en. gk

Netwer­ken van trans­port, communi­catie en energie vormen de ruggen­graat van onze samenle­ving. NET­WORKS, een samen­wer­kings­verband van UvA, TU/e, UL en CWI, ontwik­kelt wiskun­dige gereed­schap­pen om com­plexe netwer­ken beter te begrij­pen. In novem­ber 2017 gaat er een gloed­nieuwe wiskun­de webklas van start met als onder­werp 'Com­plexe netwer­ken'. Deze webklas richt zich op leerlin­gen uit vwo 5 en 6 die wiskun­de D volgen. Voor docen­ten die met hun leerlin­gen aan deze webklas mee willen doen, wordt er op 19 oktober 2017 een docen­tenbij­een­komst georga­niseerd waarin een snelcur­sus over dit onder­werp wordt gegeven. Tijdens de docen­tenbij­een­komst ver­werft u als docent voldoen­de achter­grond­kennis om uw leerlin­gen effec­tief te kunnen begelei­den. Aan bod komen onder­werpen als gelaag­de wacht­rij netwer­ken, mobiele netwer­ken, ver­keers­netwer­ken, quantum netwer­ken en energie­netwer­ken. Program­ma

tijd	onder­deel
16:15	Ont­vangst.
16:30	Jan-Pieter Dorsman: NET­WORKS in vogel­vlucht.
17:30	Jaco­bien Cars­tens: De wiskun­de van de webklas.
18:15	Diner.
19:15	Voor­proefje van de webklas: puzze­len met de opgaven.
20:30	Afslui­ting.

Tijdens de bijeen­komst wordt de stof van de eerste week van de webklas met een Socra­tive-quiz ge­toetst. Vergeet daarom vooral uw mobiele tele­foon niet. De docen­tenbij­een­komst vindt op 19 oktober 2017 van 16:30 tot 20:30 uur plaats op het Science Park 105-107 in Amster­dam. Voor niet Bèta­part­ners bedra­gen de kosten € 35,=. Met deelna­me aan de cursus kan een nascho­lings­certifi­caat worden ver­diend. Volg deze link voor meer informa­tie of om u in te schrij­ven. Leerlin­gen kunnen zich via deze link alvast in­schrij­ven voor de webklas. Kees Temme
Coördi­nator Vak­steun­punt Wiskun­de

De verkoop van boeken en tijd­schrif­ten voor vaste lage prijzen van het Wereld­wiskun­de Fonds heeft deze zomer het mooie bedrag van onge­veer € 500,= opge­bracht. In verband met de over­gang op een nieuwe versie van de veiling­soft­ware beëindi­gen we de veiling al op 23 septem­ber 2017. Wees er dus snel bij want anders vist u achter het net. Op precies 1 oktober 2017 start de jaar­lijkse oktober­veiling van het Wereld­wiskun­de Fonds. Op de veiling­website staan dan ruim 600 boeken en tijd­schrif­ten in grote ver­schei­denheid gereed. Het aanbod vari­eert van boeken over didac­tiek via oude Neder­landse school­boekjes tot aller­lei binnen- en buiten­landse studie­boeken. Van popu­lair weten­schappe­lijke en recrea­tieve boeken tot lood­zwaar weten­schappe­lijk werk. Geschie­denis
Tijdens de oktober­veiling, die uiter­aard precies de gehele maand oktober duurt, worden er over de geschie­denis van de wiskun­de een aantal uiterst fraaie boeken geveild. Neem bijvoor­beeld de drie delen 'Histori­ën' van Hk. de Vries of het boek 'Ontwa­kende Weten­schap' van Van der Waerden. Ook noemens­waardig is onze nieuwe veiling­catego­rie '100+' waarin wiskun­deboe­ken te vinden zijn die ouder zijn dan een eeuw. Tijdens de oktober­veiling hebben de boeken ver­schil­lende eindtij­den. U kunt bij het bieden op een boek ook een maximum­prijs opgeven. In dat geval wordt, als dat tenmin­ste nodig is, uw bod automa­tisch in kleine stapjes ver­hoogd tot aan het door u opgege­ven maximum. Volg deze link voor meer uitleg hier­over. We weten zeker dat ook de oktober­veiling weer een mooie op­brengst zal opleve­ren. Die op­brengst wordt hele­maal besteed aan projec­ten ten bate van het wiskun­deonder­wijs in ontwik­kelings­landen. Veel plezier op de oktober­veiling van het WwF. Jos Remijn, wereld­wiskun­deboe­ken@nvvw.nl
veiling­meester WwF

		Het kan! Gediffe­renti­eerd en dyna­misch onder­wijs voor de hele klas Voor een trial, pilot of demon­stratie ga naar vo.snap­pet.org/meer-weten/			Met behulp van uw huidige methode
					Alle opgaven via Snappet (on-line)
					Directe feed­back voor leer­ling en docent

Thema: Wiskun­dige denkac­tivitei­ten en techno­logie. Leerlin­gen uitda­gen en active­ren. Klik hier voor het volledi­ge program­ma. Of meld u direct aan via deze link.