nummer 784, 3 septem­ber 2017

De manier waarop het CvTE (College voor Toetsen en Examens) en het Cito (Cen­traal Insti­tuut voor Toets­ontwik­keling) omgaan met erkende onvolko­menhe­den in examen­opgaven en het bijbeho­rend correc­tiemo­del kan leiden tot para­doxale en soms bizarre effec­ten. Op woens­dag 23 augus­tus 2017 diende voor de recht­bank te Utrecht een kort geding over de norme­ring van het Cen­traal Eindexa­men Frans vwo, aange­spannen tegen het CvTE. Op maandag 28 augus­tus volgde de uit­spraak. De zaak zelf lijkt op het eerste gezicht niet zo rele­vant voor het vak wiskun­de. Het verweer van CvTE/Cito maakt echter duide­lijk dat leerlin­gen in veel geval­len niet veel wijzer worden van het erken­nen en herstel­len van een fout, onvolko­menheid of onduide­lijk­heid in of rond een opgave. En dat gegeven is voor de wiskun­de-examens uiter­aard ook van belang. Het feit dat eindexa­menkan­didaten met het herstel­len van een fout in een examen of correc­tievoor­schrift vaak niet veel opschie­ten, heeft alles te maken met de door CvTE/Cito gehan­teerde systema­tiek om de examen­cijfers te bepalen. Vast percen­tage onvol­doendes
Zoals onder andere in Wiskun­dE-brief 775 uiteen­gezet, gaat men er bij het CvTE/Cito in eerste instan­tie uit van het adagium dat een examen­lich­ting even 'vaardig' is als voor­gaande lichtin­gen. Met name geldt dat voor de lich­ting van het (geheim gehou­den) jaar van het 'referen­tie-examen'. Voor havo/vwo wiskun­de bleek deze hypothe­se de laatste jaren vaak niet houd­baar. Daarom werd op basis van met name de 'pre-test' vaak gekozen voor een andere (hogere) norme­ring. Maar ook in dat geval ligt het percen­tage onvol­doendes op een gegeven moment vast. Dit uit­gangs­punt van een vast percen­tage aan onvol­doendes kan leiden tot para­doxale, en soms zelfs bizarre effec­ten. Om de zaak zo eenvou­dig moge­lijk te houden, gebruik ik hieron­der een verzon­nen casus waarbij 10 kandida­ten (A t/m J) een toets van 9 vragen hebben gemaakt waarbij vraag 9 achter­af minder ge­slaagd blijkt te zijn. Voor die vraag zullen we later een correc­tie doorvoe­ren. Alle vragen hebben een maxima­le score van 4 punten zodat de perfec­te score 36 be­draagt. Van te voren staat vast dat 30% van de kandida­ten een onvol­doende zullen krijgen. Zonder correc­tie ziet het beeld er zo uit:

opgave:	1	2	3	4	5	6	7	8	9	totaal	cijfer
kandi­daat I	3	1	1	2	1	1	2	3	0	14	4,3
kandi­daat A	1	1	1	2	4	1	2	2	3	17	5,1
kandi­daat J	2	3	3	0	2	2	2	4	0	18	5,3
kandi­daat E	3	1	4	2	3	3	1	2	0	19	5,6
kandi­daat G	2	1	1	3	4	4	1	1	4	21	6,1
kandi­daat H	3	3	1	1	2	2	4	3	2	21	6,1
kandi­daat D	4	1	3	3	4	4	3	3	0	25	7,1
kandi­daat C	3	2	4	4	4	4	1	1	3	26	7,3
kandi­daat B	4	4	4	4	3	3	2	2	2	28	7,8
kandi­daat F	4	4	2	4	2	4	3	4	2	29	8,1
gemid­deld	2,9	2,1	2,4	2,5	2,9	2,8	2,1	2,5	1,6	21,8	6,28

Neem nu aan dat er met vraag 9 iets aan de hand is. Die vraag is slecht gemaakt maar dat is niet of niet hele­maal de schuld van de kandida­ten. Daarom gaan we de zaak met behulp van de door CVTE/Cito gehan­teerde technie­ken repare­ren. Eens kijken hoe dat uitpakt. De één zijn brood...
We hebben, in stijl met het Cito/CvTE, vooraf vastge­steld dat 3 van de 10 kandida­ten een onvol­doende krijgen. Dat impli­ceert uiter­aard dat de winst van de ene kandi­daat het verlies van een andere kandi­daat bete­kent. Omdat er precies 3 onvol­doendes moeten zijn, ligt de cesuur (de grens tussen voldoen­de en onvol­doende) exact tussen 18 en 19 punten, dus bij een score van 18,5. Volgens de methode CVTE/Cito moet een fictie­ve score van 18,5 punten nu het cijfer 5,45 opleve­ren. Een simpele bereke­ning¹⁾ levert dan een gewens­te N-term van 0,825 op. Afge­rond op 1 deci­maal geeft dat N = 0,8. Laten we nu eens een paar scena­rio's schet­sen voor correc­ties volgens de metho­des die Cito/CvTE han­teert. Scena­rio 1: inhoude­lijke aanpas­sing CV
Wanneer het ant­woordmo­del wordt versoe­peld, bijvoor­beeld door een andere aanpak of een ander ant­woord ook goed te rekenen, dan zou het resul­taat er zo uit kunnen zien:

opgave:	1	2	3	4	5	6	7	8	9	totaal	cijfer
kandi­daat I	3	1	1	2	1	1	2	3	2	16	4,6
kandi­daat A	1	1	1	2	4	1	2	2	3	17	4,8
kandi­daat E	3	1	4	2	3	3	1	2	0	19	5,3
kandi­daat J	2	3	3	0	2	2	2	4	2	20	5,6
kandi­daat G	2	1	1	3	4	4	1	1	4	21	5,8
kandi­daat H	3	3	1	1	2	2	4	3	4	23	6,3
kandi­daat C	3	2	4	4	4	4	1	1	3	26	7,1
kandi­daat D	4	1	3	3	4	4	3	3	2	27	7,3
kandi­daat F	4	4	2	4	2	4	3	4	2	29	7,8
kandi­daat B	4	4	4	4	3	3	2	2	4	30	8,1
gemid­deld	2,9	2,1	2,4	2,5	2,9	2,8	2,1	2,5	2,6	22,8	6,28

De scores van een aantal kandida­ten zijn nu twee punten hoger. De gemid­delde score bij vraag 9, en dus ook de totale gemid­delde punten­score, is nu precies één punt hoger. Het gemid­deld cijfer is echter niet hoger gewor­den want anders zou het doel van 30% onvol­doende niet gehaald worden. De cesuur komt nu bij 19,5 punten te liggen, resulte­rend in een N-term van 0,575. Dat is 0,25 cijfer­punt lager dan eerst en dat compen­seert precies de hogere scores bij vraag 9. De groep als geheel is er uiter­aard niet op vooruit gegaan maar er treden wel wat ver­schui­vingen op. Zo is kandi­daat I er bijvoor­beeld iets op vooruit­gegaan terwijl kandi­daat A er iets op achter­uit is gegaan. Opval­lend is dat kandi­daat J van een onvol­doende naar een voldoen­de is gegaan terwijl kandi­daat E juist van een voldoen­de naar een onvol­doende is gegaan. Scena­rio 2: Ieder­een alle punten
Gewoon ieder­een alle punten voor vraag 9 geven. Het lijkt zo'n ruimhar­tig gebaar. Maar ook deze maatre­gel levert alleen maar ver­schui­vingen op. Er staat immers vast dat 30% van de kandida­ten een onvol­doende krijgt.

opgave:	1	2	3	4	5	6	7	8	9	totaal	cijfer
kandi­daat I	3	1	1	2	1	1	2	3	4	18	4,6
kandi­daat A	1	1	1	2	4	1	2	2	4	18	4,6
kandi­daat G	2	1	1	3	4	4	1	1	4	21	5,3
kandi­daat J	2	3	3	0	2	2	2	4	4	22	5,6
kandi­daat E	3	1	4	2	3	3	1	2	4	23	5,8
kandi­daat H	3	3	1	1	2	2	4	3	4	23	5,8
kandi­daat C	3	2	4	4	4	4	1	1	4	27	6,8
kandi­daat D	4	1	3	3	4	4	3	3	4	29	7,3
kandi­daat B	4	4	4	4	3	3	2	2	4	30	7,6
kandi­daat F	4	4	2	4	2	4	3	4	4	31	7,8
gemid­deld	2,9	2,1	2,4	2,5	2,9	2,8	2,1	2,5	4	24,2	6,13

Kandi­daat G is de dupe van deze correc­tie. Dat komt natuur­lijk omdat deze kandi­daat bij vraag 9 al de maxima­le score had. Kandi­daat J heeft voor­deel van deze correc­tie want deze kandi­daat had eerst 0 punten voor vraag 9. De groep als geheel schiet niets op met deze ingreep. Sterker nog: De gemid­delde score is nu meer dan 2 punten hoger maar het gemid­deld cijfer is gedaald met 0,15 punten. Door ieder­een bij vraag 9 het maxima­le aantal punten te geven, is de sprei­ding van de cijfers wat minder gewor­den. Daar­door ligt het gemid­delde wat dichter bij de grens van 5,45. Dat dit gebeurt, is geen absolu­te wet maar is wel waar­schijn­lijk. Alleen wanneer de scores op de minder geslaag­de vraag nauwe­lijks of nega­tief samen­hangen met de totaal­scores, blijft de sprei­ding gelijk of wordt deze zelfs hoger. Het effect is kleiner naarma­te het totaal aantal vragen groter is. Op basis van het tweede scena­rio kan de volgen­de paradox geformu­leerd worden

Paradox A Ieder­een de maxima­le score geven voor een slechte vraag leidt door­gaans niet tot een hoger maar vaak juist tot een (iets) lager gemid­delde voor de groep als geheel.

Scena­rio 3: achter­af aanpas­sen van de N-term
Scena­rio 3 wordt door het CvTE vaak beschre­ven als noodsce­nario. Dit scena­rio wordt alleen toege­past wanneer het te laat is om nog een aanvul­ling op het correc­tiemo­del te doen. Laten we in mijn voor­beeld de N-term eens zo aanpas­sen dat ieder­een er 0,4 punten bij krijgt:

oud nieuw kandi­daat I   4,3 4,7 kandi­daat A 5,1 5,5 kandi­daat J 5,3 5,7 kandi­daat E 5,6 6,0 kandi­daat G 6,1 6,5 kandi­daat H 6,1 6,5 kandi­daat D 7,1 7,5 kandi­daat C 7,3 7,7 kandi­daat B 7,8 8,2 kandi­daat F 8,1 8,5 gemid­deld 6,28 6,68

Uiter­aard is er nu aan de volgor­de niets veran­derd want ieder­een heeft er hetzelf­de bij gekre­gen. Uiter­aard ligt ook het gemid­delde nu 0,4 punten hoger. In dit geval is er nog slechts één onvol­doende in plaats van de oor­spronke­lijke drie. Scena­rio 3 is voor de groep als geheel het gun­stigst omdat noodza­kelij­kerwijs het adagium dat 30% een onvol­doende moet krijgen, moet worden verla­ten. Ook kan het in dat geval niet voorko­men dat kandida­ten ten koste van andere kandida­ten een voldoen­de behalen. Deze consta­tering leidt tot mijn tweede paradox: Paradox B Het tijdig door het Cito/CvTE reage­ren op gecon­stateer­de onvolko­menhe­den in of rond een examen­vraag is voor de groep examen­kandida­ten als geheel ongun­stiger dan een aanpas­sing achter­af.

Waarom 0,4 punten erbij?
Die verho­ging met 0,4 punten in mijn voor­beeld hierbo­ven was niet zo maar een slag in de lucht. Ik deed dat conform de methode die Cito/CvTE ook han­teert. Die methode werkt zo: Het CvTE/Cito gaat voor scena­rio 3 uit van de maxima­le cijfer­toename bij scena­rio 2. Hoewel in mijn voor­beeld de groep als geheel er met scena­rio 2 op achter­uit gaat, zijn er uiter­aard kandida­ten die er met dit scena­rio behoor­lijk op vooruit gaan. De kandida­ten die oor­spronke­lijk geen enkel punt voor vraag 9 scoor­den, gaan er het meest op vooruit. Hun winst is in eerste instan­tie een vol cijfer­punt. Daar gaat onder scena­rio 2 echter weer behoor­lijk wat van af. Het gemid­delde mag onder dat scena­rio name­lijk niet stijgen. De gemid­delde score op vraag 9 was 1,6 punten, wat overeen­komt met 0,4 cijfer­punt²⁾. Na de ingreep is de gemid­delde score uiter­aard gelijk aan 4, wat overeen­komt met een vol cijfer­punt. Zonder aanpas­sing van de N-term zou het gemid­delde met 1,0−0,4 = 0,6 cijfer­punt stijgen. Om ervoor te zorgen dat het gemid­delde gelijk blijft, is dus een verla­ging van de N-term met 0,6 nodig. Netto is de winst van een kandi­daat die eerst 0 punten had voor vraag 9 dus 1−0,6 = 0,4. Dat is niet toeval­lig precies gelijk aan de gemid­delde score (in cijfer­punten) van vraag 9. Min­stens zo goed als scena­rio 2
Uit­gangs­punt van scena­rio 3 is dat alle kandida­ten er met scena­rio 3 min­stens zo goed uitko­men als met scena­rio 2. De formule die Cito/CvTE han­teert om dat te berei­ken, luidt N-termver­hoging = M/L×9×P. In deze formule is M maxima­le score van de dubieu­ze vraag (in mijn voor­beeld dus 4), L het maxi­maal aantal te behalen punten (in mijn voor­beeld 36) en P de gemid­delde score van de kandida­ten, terugge­bracht op een schaal van 0 tot 1 (in mijn voor­beeld 0,4 - of te wel 40%). Invul­len geeft een aanpas­sing van 4/36×9×0,4 = 0,4 punten. Vandaar die verho­ging van 0,4 in mijn voor­beeld. De gehan­teerde formule is goed te begrij­pen wanneer je beseft dat M/L×9×P in feite het gemid­deld aantal cijfer­punten is dat bij vraag 9 werd ge­scoord³⁾. Ik geef dit aan met de letter G. Een leer­ling met 0 punten voor vraag 9 krijgt er in dit scena­rio in eerste instan­tie precies 1 cijfer­punt bij. De gemid­delde cijfer­score voor de vraag was G en wordt nu precies 1. Gemid­deld zou de cijfer­score voor deze vraag, en dus ook voor het examen, met 1−G cijfer­punt stijgen. Dat moet gecom­pen­seerd worden door de N-term, die dus wordt vermin­derd met 1−G. Netto gaat een kandi­daat die eerste 0 punten had er dus in het tweede scena­rio 1−(1−G) = G cijfer­punt op vooruit. Volgens de uit­gangs­punten van CvTE/Cito moet deze kandi­daat er bij aanpas­sing achter­af er ook G cijfer­punt op vooruit gaan. Hieron­der licht ik de gevol­gen van dit uit­gangs­punt nog wat verder toe aan de hand van twee (extreme) subsce­nario's. Scena­rio 3a: bijna ieder­een heeft nul punten
Stel dat op één na alle kandida­ten 0 punten zouden hebben ge­scoord op vraag 9. Slechts één kandi­daat scoorde de volle 4 punten. De P-waarde is dan slechts 0,1. Onder scena­rio 2 zouden op één na alle kandida­ten er 4 punten (1,0 cijfer­punt) bij hebben gekre­gen. Omdat het gemid­delde hier­door 0,9 cijfer­punt hoger zou komen te liggen, zou de N-term met 0,9 moeten worden ver­laagd. Het netto effect van scena­rio 2 zou voor de leerlin­gen met 0 punten precies op 0,1 uitko­men. Onder scena­rio 3 moeten de kandida­ten min­stens zo 'goed' uitko­men en dat klopt: omdat P = 0,1 geeft de formule N-termver­hoging = M/L×9×P ook 0,1. Alleen die ene kandi­daat met 4 punten komt een stuk hoger uit dan in scena­rio 2 (waar deze kandi­daat de grote verlie­zer is); de rest krijgt hetzelf­de cijfer als onder scena­rio 2. Scena­rio 3b: bijna ieder­een heeft alle punten
Stel dat op één na alle kandida­ten in mijn voor­beeld 4 punten zouden hebben ge­scoord op vraag 9. Slechts één kandi­daat haalde 0 punten. De P-waarde is 0,9 Onder scena­rio 2 zou alleen die ene kandi­daat er 4 punten bij krijgen. Daar­door zou het gemid­delde met 0,1 cijfer­punt omhoog gaan en wordt de N-term om dit te compen­seren met 0,1 ver­laagd. Netto gaat die ene kandi­daat er dus 0,9 cijfer­punt op vooruit. Omdat geldt dat P = 0,9 geeft de formule N-termver­hoging = M/L×9×P nu de waarde 0,9. Die ene kandi­daat met nul punten komt er net zo goed uit als onder scena­rio 2. De rest van de kandida­ten gaat er flink op vooruit. De gang van zaken onder scena­rio 3 is goed te volgen maar leidt wel tot mijn derde paradox:

Paradox C Hoe slech­ter een omstre­den vraag is gemaakt, des te lager is de compen­satie door middel van het achter­af aanpas­sen van de N-term.

Voor alle duide­lijk­heid wil ik nog wel vermel­den dat ik de werke­lijk­heid hierbo­ven bewust enorm versim­peld heb. Dat lijkt de enige manier om de mecha­nismen achter de scena­rio's helder te krijgen. In werke­lijk­heid spelen afron­dingen van N-termen (en uitein­delijk van cijfers) ook nog een bijna onvoor­spelba­re rol bij het eindre­sultaat en bepalen derge­lijke margina­le zaken in sommige geval­len het slagen of zakken van de kandi­daat. Ondeug­delijk
Het CvTE streeft er naar om elk jaar "de lat even hoog te leggen". Op die manier wordt er gezorgd, zo wordt beweerd, voor een eerlij­ke behande­ling van ver­schil­lende lichtin­gen examen­kandida­ten. De conclu­sie is echter mijn inziens onont­koom­baar dat het CvTE tenein­de dit doel te berei­ken, heeft gekozen voor een systeem dat niet zelden tot situa­ties leidt waarbij kandida­ten soms duide­lijk bena­deeld worden ten opzich­te van andere kandida­ten uit dezelf­de lich­ting. Kandida­ten die in hetzelf­de jaar examen doen, worden veroor­deeld tot een soort 'zero-sum spel' waarbij de winst van de één het verlies van de ander impli­ceert. Het princi­pe dat geen kandi­daat de dupe mag worden van (het herstel van) fouten door examine­rende instan­ties wordt met voeten getre­den. In mijn voor­beelden gaat het om fictie­ve kandida­ten, aange­duid met hoofd­letters. In het werke­lijke leven gaat het om jonge­ren van vlees en bloed. Ook de door mij geformu­leerde para­doxen zijn meer dan intel­lectue­le aardig­heden. Ze leggen volgens mij bloot dat het systeem, in tegen­stel­ling tot wat het CvTE in een reactie op de uit­spraak van de rechter in het genoem­de kort geding triom­fante­lijk beweer­de, gewoon niet deugt. Gerard Kool­stra

1)	Oplos­sen van de verge­lijking 18,5×9/36+N=5,45.
2)	Er zijn voor deze toets 36 punten te verdie­nen. Het ver­schil tussen het hoogste en laagst mogelij­ke cijfer is 9 (10−1). Dat bete­kent dat 4 score­punten overeen­komen met 1 cijfer­punt.
3)	In dit voor­beeld lijkt dat trivi­aal omdat M/L×9 = 4/36*9 = 1 maar het gestel­de geldt ook in algeme­ne zin.

Bij de invoe­ring van de nieuwe wiskun­depro­gramma's gaat het onder­deel "bewij­zen" van wiskun­de B naar wiskun­de D. In de Wiskun­dE-brief 783 was in een artikel van Trudy Kloos te lezen dat er bij wiskun­de B toch nog een restje meetkun­dige bewijs­voering over blijft. Ze benoemt in haar stukje de moge­lijk­heid dat leerlin­gen mis­schien hun wiskun­de D-kennis zullen gaan gebrui­ken bij het oplos­sen van de wiskun­de B vraag­stukken. Trudy Kloos schreef in haar bijdra­ge dat zij het CvTE ge­vraagd had of wiskun­de D-kennis ge­bruikt mag worden bij het maken van het wiskun­de B-examen. Het ant­woord van het CvTE was kort. "Nee, ze moeten die stellin­gen dan weer eerst bewij­zen". Verba­zing
Ik was om ver­schil­lende redenen ver­baasd over dit ant­woord. In de eerste plaats is dit ant­woord naar mijn idee in strijd met regel 2.3.3 van de 'Algeme­ne regels' uit het correc­tievoor­schrift: "Indien een ant­woord op een open vraag niet in het beoorde­lingsmo­del voor­komt en dit ant­woord op grond van aantoon­bare, vakin­houde­lijke argumen­ten als juist of gedeel­telijk juist aange­merkt kan worden, moeten score­punten worden toege­kend naar analo­gie of in de geest van het beoorde­lingsmo­del". Een andere reden is dat een leer­ling die op het idee komt, een stel­ling te gebrui­ken die bij wiskun­de D is behan­deld, de lesstof in dat vak klaar­blijke­lijk voldoen­de heeft bestu­deerd. Het bewijs van die stel­ling is onge­twij­feld bestu­deerd maar behoef­de bij wiskun­de D niet te kunnen worden gerepro­duceerd. Het is flauw om te eisen dat de leer­ling voor wiskun­de B dat bewijs ineens wel moeten kunnen formule­ren. En dan de verwar­ring die kan ont­staan. Wiskun­de D-leerlin­gen hebben alle­maal ook wiskun­de B. Bij het ene vak mag je de geleer­de stellin­gen gewoon gebrui­ken en bij het andere vak moet je ze ineens eerst bewij­zen. Haal je dat door elkaar, dan kun je tijdens je wiskun­de B-examen door een afspra­kenkwes­tie die niets met wiskun­de te maken heeft, veel punten verlie­zen. Consis­tentie
Er zijn meer situa­ties waarin leerlin­gen lesstof gebrui­ken die ze bij 'een andere wiskun­de' hebben gehad. Zonder daar moei­lijk over te doen, kennen we in die geval­len meestal gewoon alle punten toe. Denk bijvoor­beeld aan leerlin­gen die de over­stap van vwo naar havo hebben gemaakt en in hun toetsen of examen formu­les en stellin­gen gebrui­ken die ze op het vwo zijn tegenge­komen. Een mooi voor­beeld stond in Wiskun­dE-brief 760, waarin Wim van Bunnik de vraag stelde of de formule voor de afstand tussen een lijn en punt ge­bruikt mag worden bij het examen voor havo wiskun­de B. Die formule behoort niet tot de lesstof van havo wiskun­de B maar wordt in sommige metho­den wel gegeven bij wiskun­de D. Bij het examen van havo wiskun­de B 2017 kon deze formule bijvoor­beeld heel mooi door de leer­ling worden ingezet. Ik wed dat geen enkele docent punten heeft afge­trokken omdat deze formule niet eerst door de kandi­daat werd afge­leid. Kort door de bocht
Het pro­bleem van Trudy kan ook de andere kant uit optre­den. Zo zou een wiskun­de B-leer­ling onge­merkt een stel­ling uit de onder­bouw­stof kunnen gebrui­ken waarvan hij of zij nooit het bewijs is tegenge­komen. Neem bijvoor­beeld de stel­ling dat de zwaarte­lijnen van een drie­hoek door één punt gaan. In de onder­bouw wordt deze stel­ling hoog­stens met wat teken­werk aanneme­lijk gemaakt. Pas met wiskun­de D wordt deze stel­ling bewezen. Vindt het CvTE nu echt dat je die stel­ling tijdens het examen pas mag gebrui­ken nadat je deze hebt bewezen? Het ant­woord van het CvTE op de vraag van Trudy Kloos was duide­lijk en kort. Maar volgens mij ook veel te kort door de bocht. Ik hoop van harte dat het CvTE nog eens wat uitge­breider en door­dachter op haar vraag in zal gaan. Tineke van den Berg

Naar aanlei­ding van het artikel 'Teleur­stel­lend examen havo wiskun­de A' in Wiskun­dE-brief 783 wil ik graag twee zaken aan de orde stellen. Ik hoop met mijn opmer­kingen een nuttige discus­sie onder collega's uit te lokken. We werden in het examen havo wiskun­de A gecon­fron­teerd met een correc­tievoor­schrift waarin stond 'Een juiste redene­ring, bijvoor­beeld geba­seerd op de symme­trie van de normale verde­ling, waarbij een getal­lenvoor­beeld is vermeld'. Mis­schien lees ik dit anders dan de meeste collega’s maar er staat hier duide­lijk 'bijvoor­beeld'. Er staat in het correc­tievoor­schrift dus slechts één voor­beeld van de vele mogelij­ke 'juiste redene­ringen'. Bijvoor­beeld
Vanzelf­spre­kend is het ant­woord goed als een leer­ling de symme­trie van de normale verde­ling aan­spreekt en daarbij ook nog eens een getal­lenvoor­beeld geeft. Wat doe je echter wanneer een leer­ling over de symme­trie spreekt maar het getal­lenvoor­beeld niet noemt. Neem bijvoor­beeld een leer­ling die iets schrijft in de zin van 'de afstand links en rechts van de 50% moet gelijk zijn'. Is het ant­woord dan volgens dit correc­tievoor­schrift fout en nul punten waard? Volgens mij niet. Met het woord 'bijvoor­beeld' geeft het correc­tievoor­schrift de examina­tor naar mijn mening de ruimte om de redene­ring te beoorde­len, eventu­eel in overleg met de tweede correc­tor. Maar blijk­baar hebben wij wiskun­digen soms wat moeite met dat woordje 'bijvoor­beeld'. Omdat het correc­tievoor­schrift de moge­lijk­heid van één punt niet biedt, zou ik de leer­ling van mijn voor­beeld gewoon twee punten willen toeken­nen. Lappen tekst
Het is al veel vaker ter sprake ge­bracht. Het examen havo wiskun­de A was zeker aan het begin tekstu­eel een hele kluif. Waar is het nu voor nodig om zoveel tekst te gebrui­ken als inlei­ding voor een paar vragen? Ik vind dat we ons echt een keer goed moeten afvra­gen wat nu de meer­waarde is van al die lappen examen­tekst. Ik heb niets tegen het opvoe­ren van contex­ten maar ik vraag me onder­tussen wel af wat we nu eigen­lijk aan het toetsen zijn: lees­vaardig­heid of wiskun­de. Eric Even
SG De Waerden­borch

De rege­ling toege­stane hulpmid­delen voor 2019 is gepubli­ceerd. Belang­rijkste wijzi­ging ten opzich­te van 2018 is dat de lijst toege­stane grafi­sche rekenma­chines is geactua­liseerd. Hieron­der citeren we dat gedeel­te. Voor het CE van 2019 zijn in ieder geval toege­staan:

1. CASIO fx-9860GII(SD) met examen­stand: OS 2.07 en hoger
2. CASIO fx-CG20 met examen­stand: OS 2.01 en hoger
3. CASIO fx-CG50
4. HP Prime
   mits in de examen­stand de volgen­de instel­lingen zijn gereali­seerd:
   • De time-out is inge­steld op 4 uur.
   • Het geheu­gen is gewist.
   • De knippe­rende LED staat aan.
   • Gebrui­kerstoe­passin­gen zijn uitge­scha­keld.
   • CAS is uitge­scha­keld.
   • Opmer­kingen en program­ma’s zijn gewist en onbe­reik­baar gemaakt.
   • Nieuwe opmer­kingen en program­ma’s aanma­ken is geblok­keerd.
   Wij spreken daarbij de eis uit dat de examen­stand wordt inge­steld door de examina­tor, aange­zien de contro­le óf de machine in examen­stand staat wel kan worden uitge­voerd zonder de leer­ling te storen, maar niet of de machine in de juiste examen­stand staat.
   
   
5. TI-84 Plus T vanaf versie OS 5.1, de basis­versie met LED lampje
6. TI-84 Plus CE-T vanaf versie OS 5.1.5
7. TI-Nspire CX (alleen de versie zonder CAS) vanaf versie OS 4.4.0.532

Oudere types, ook die eerder wel waren toege­staan, zijn NIET meer toege­staan. Het is wel moge­lijk dat te zijner tijd nieuwe types worden toege­staan. Deze lijst is van vooral van belang voor de lich­ting die dit school­jaar in de voor-eindexa­menklas (havo 4 en vwo 5) zit. Voor vwo 4 kan dezelf­de lijst ge­bruikt worden. Examen­klassen
Voor de leerlin­gen die nu in de examen­klas zitten is deze rege­ling van toepas­sing. Let bij het lezen van de rege­ling vooral ook op het onder­scheid dat tussen havo en vwo wordt gemaakt.

Op 14 juli 2017 hebben de minis­ter en de staats­secreta­ris een brief naar de Tweede Kamer ge­stuurd. In die brief staat onder andere het besluit om de resulta­ten van de reken­toets in 2017-2018 niet mee te laten tellen voor vmbo en havo. De resulta­ten die tot dusver­re zijn behaald op de reken­toets geven volgens staats­secreta­ris Sander Dekker nog niet voldoen­de basis om te kunnen beoorde­len of het verant­woord is om het resul­taat op de reken­toets te laten meetel­len voor het behalen van het vmbo- of havodi­ploma. Alterna­tieve reken­toets
Op dit moment is de staats­secreta­ris samen met de Neder­landse Vereni­ging voor Wiskun­delera­ren (NVvW) bezig met de ontwik­keling van een alterna­tief voor de reken­toets. Oor­spronke­lijk zou dit alterna­tief in de vorm van een rapport nog deze zomer naar de Tweede Kamer worden ge­stuurd. Men heeft echter beslo­ten om voor dit alterna­tief wat meer tijd uit te trekken.

	Gabriël Visser

Tijdens de Interna­tionale Wiskun­de Olympia­de, die van 16 tot 23 juli 2017 in Rio de Janeiro plaats­vond, heeft Gabriel Visser (19) uit Spijke­nisse een gouden medail­le behaald. Hij loste drie van de zes opgaven volle­dig op en een vierde opgave bijna. Hiermee bemach­tigde hij bij deze meest presti­gieuze wiskun­dewed­strijd voor middel­bare scholie­ren een plek in de top vijftig van de wereld. Ook de andere Neder­landse deelne­mers zetten goede presta­ties neer. Zo wonnen Mat­thijs van der Poel (16) uit IJssel­stein en Levi van de Pol (15) uit Veenen­daal een zilve­ren medail­le en haalde Ward van der Schoot (18) uit Breda brons. In de top 20
48 van de 615 deelne­mers ontvin­gen een gouden medail­le. 90 deelne­mers verwier­ven een zilve­ren medail­le en 153 deelne­mers wonnen een bronzen medail­le. Het Neder­landse team eindig­de als 18^e van de 111 deelne­mende landen. Zuid-Korea, China en Vietnam voerden het landen­klasse­ment aan. In de afgelo­pen 25 jaar is het slechts één keer eerder voorge­komen dat Neder­land in de top 20 eindig­de. Het Neder­landse team werd bege­leid door Birgit van Dalen (Univer­siteit Leiden en ISW Hooge­land Naald­wijk), Quin­tijn Puite (Techni­sche Univer­siteit Eindho­ven en Hoge­school Utrecht) en Jetze Zoet­hout (Univer­siteit Utrecht). De Wiskun­de Olympia­de wordt georga­niseerd in samen­werking met de Techni­sche Univer­siteit Eindho­ven, Univer­siteit Leiden, Trans­trend, ORTEC en Rabo­bank en wordt mede moge­lijk gemaakt door het Ministe­rie van OCW, ASML, Cen­traal Bureau voor de Statis­tiek, Composi­tio, De Neder­land­sche Bank, Noord­hoff Uitge­vers, Cito, Freuden­thal Insti­tuut, Insti­tuut Archime­des van de Hoge­school Utrecht en de Neder­landse Vereni­ging van Wiskun­delera­ren.

Op de website van Duide­lijk Wiskun­de (www.duide­lijkwis­kunde.nl) staan onge­veer 40 video’s met uitleg voor de brug­klas van vmbo-T en havo/vwo. De video’s zijn niet langer dan 5 minuten per stuk en zijn ge­schikt voor klassi­kale en indivi­duele uitleg. Voor de brug­klasboe­ken van Getal & Ruimte en Moderne Wiskun­de staan de video’s per niveau op hoofd­stuk gerang­schikt, zowel voor de 10^e als voor de 12^e editie. Bij sommige video’s zijn werkbla­den te downloa­den waar­door de leer­ling direct mee kan doen met de video-instruc­tie. Youtube
Er worden regelma­tig nieuwe video’s toege­voegd. Wie zich abon­neert op het YouTube-kanaal van Duide­lijk Wiskun­de krijgt een melding als er een nieuwe video beschik­baar is. M.J. Allis (marijke.duide­lijkwis­kunde@gmail.com

Op vrijdag 17 novem­ber 2017 organi­seert de Univer­siteit Leiden samen met VHTO (Lande­lijk experti­sebu­reau meisjes/vrouwen en bèta/tech­niek) de Informa­tics Ladies’ Day. Op deze dag zijn meisjes met interes­se in Informa­tica en/of Wiskun­de uit de klassen 5 en 6 van het vwo welkom om kennis te maken met de studie Informa­tica. Tijdens deze dag ontmoe­ten de meisjes vrouwe­lijke profes­sionals uit be­drijfs­leven en weten­schap en volgen ze een college over een onder­werp als cyberse­curity. Ook maken ze kennis met studen­tes die nu Informa­tica stude­ren en gaan ze zelf aan de slag met program­meerop­drach­ten. Zo komen ze erach­ter of de studie Informa­tica iets voor hen is. Uw leerlin­gen zijn van harte welkom op deze dag. Volg deze link voor meer informa­tie. Aanmel­den kan via deze link.

Ook dit school­jaar organi­seren het Bèta­steun­punt Zuid-Holland en het Regio­naal Steun­punt Leiden weer diverse activi­teiten voor wiskun­dedocen­ten. In septem­ber en oktober 2017 kunt u de onder­staande bijeen­komsten bijwo­nen. Woens­dag 27 septem­ber: de big data van sport
Informa­tici van de Univer­siteit Leiden doen onder­zoek naar de big data van sport. De grote hoeveel­heden data van prof­spor­ters, sport­clubs en sport­bonden kunnen worden ge­bruikt voor zaken als het verbete­ren van presta­ties, het optima­liseren van trai­nings­schema’s of het in kaart brengen van match­fixing. Met gege­vens over de niet-profes­sionele sportbe­oefe­ning kunnen artsen en onder­zoekers betere voor­stellen maken voor een gezonde leef­stijl voor ver­schil­lende bevol­kings­groepen. Tijdens de bijeen­komst maakt u kennis met lesmate­riaal dat in Leiden wordt ontwik­keld. Volg deze link voor meer informa­tie of om u in te schrij­ven. Donder­dag 28 septem­ber: algebra­ïsche vaardig­heden
Op donder­dag 28 septem­ber zal er met betrek­king tot dit onder­werp een PLG (Profes­sionele LeerGe­meen­schap) worden gevormd die zich geduren­de zes bijeen­komsten inten­sief met dit onder­werp bezig zal houden. We weten natuur­lijk al lang dat het oefenen van algebra­ïsche basis­vaardig­heden alleen niet voldoen­de is om algebra­ïsche proble­men op te lossen. Want hoe vaak gebeurt het niet dat er in de klas veel geoe­fend is met die basis­vaardig­heden terwijl de resulta­ten op het proef­werk toch weer tegen­vallen? In de PLG zullen er opdrach­ten worden ontwik­keld waarmee bij leerlin­gen zowel de 'symbol sense' wordt bevor­derd als de basis­vaardig­heid wordt uitge­breid. Op die manier kunnen leerlin­gen zich naar verwach­ting beter staande houden wanneer zij worden gecon­fron­teerd met nieuwe algebra­ïsche proble­men. Volg deze link voor meer informa­tie of om u in te schrij­ven. Donder­dag 5 oktober: nascho­ling Wiskun­de C
Dit school­jaar wordt voor het eerst het 'echte' eindexa­men volgens het nieuwe program­ma afgeno­men. Daarom zullen er vanaf 5 oktober drie bijeen­komsten worden gewijd aan de nieuwe wiskun­de C. In het nieuwe examen­program­ma zijn de domei­nen 'Logisch redene­ren' en 'Vorm en ruimte' opgeno­men. Tijdens de bijeen­komsten wordt inge­gaan op de inhoud, de achter­grond en de bijpas­sende didac­tiek met betrek­king tot deze domei­nen. Verder wordt er aan­dacht besteed aan de prakti­sche gang van zaken in de les en is er ruimte voor het uitwis­selen van ervarin­gen. Een ideale manier om wiskun­dig goed voorbe­reid te zijn en uw wiskun­de C-leerlin­gen opti­maal te kunnen bedie­nen. Volg deze link voor meer informa­tie of om u in te schrij­ven.

ffLeren Rekenen biedt gratis tijde­lijke licen­ties (2 maanden) voor gebrui­kers en niet-gebrui­kers, zonder enige verdere ver­plich­ting. Stuur een mail naar licen­ties@intra­quest.nl onder vermel­ding van het aantal gewens­te licen­ties en naam en locatie van uw school. Wij nemen uw aan­vraag dan direct in behande­ling.

Thema: Wiskun­dige denkac­tivitei­ten en techno­logie. Leerlin­gen uitda­gen en active­ren. Klik hier voor het volledi­ge program­ma. Of meld u direct aan via deze link.