nummer 781, 25 juni 2017

Op vrijdag 2 en zater­dag 3 februa­ri 2018 worden de 24^e Nationa­le Wiskun­de Dagen (NWD) gehou­den in Congres­centrum de Leeuwen­horst te Noord­wijker­hout. Dit congres richt zich op alle wiskun­delera­ren die les geven aan leerlin­gen van 12 tot 18 jaar van ieder school­type. Als wiskun­dele­raar moet je van tijd tot tijd nieuwe ideeën op kunnen doen en crea­tief en actief met je vak bezig zijn. Dat kan door te luiste­ren naar een goed verhaal, door actief mee te doen in werk­groepen en door met collega's van gedach­ten te wisse­len. Dat kan dus bij uitstek op de Nationa­le Wiskun­de Dagen, die al 24 jaar een begrip in onder­wijs­land zijn. Wiskun­dE-docen­ten­prijs
De stich­ting Wiskun­dE-brief gaat in 2018 met de NWD een sponsor­schap aan. In het bijzon­der spon­sort de Wiskun­dE-brief de moge­lijk­heid voor docen­ten om zelf op de NWD een work­shop te geven. Hieraan wordt in 2018 de zoge­naamde Wiskun­dE-docen­ten­prijs verbon­den. Die prijs bestaat uit de uitnodi­ging om tijdens de Nationa­le Wiskun­de Dagen een work­shop te verzor­gen. Uiter­aard omvat deze prijs ook de gratis deelna­me aan de Nationa­le Wiskun­de Dagen. Uw work­shop moet vanzelf­spre­kend iets te maken hebben met uw prak­tijk als wiskun­dedo­cent of rekendo­cent. Heeft u een bijzon­dere lessen­serie ontwor­pen en wilt u uw succes­sen uitdra­gen naar uw collega's in Neder­land? Heeft u opmerke­lijk lesmate­riaal ontwik­keld of heeft u een authen­tieke ziens­wijze op het wiskun­de-onder­wijs? Dien dan een voor­stel in voor uw NWD-work­shop. Email uw voor­stel, zo volle­dig moge­lijk en inclu­sief de tijdens de work­shop te gebrui­ken materia­len, vóór 30 septem­ber 2017 naar nwd@uu.nl onder vermel­ding van "Wiskun­dE-docen­ten­prijs". Een jury selec­teert na 30 septem­ber 2017 maxi­maal drie bijdra­gen. Zij let daarbij op origina­liteit, wiskun­dige inhoud en bruik­baar­heid binnen het onder­wijs. In de week van 11 septem­ber 2017 wordt de program­mafol­der van de NWD naar alle scholen ge­stuurd. De in­schrij­ving wordt in de week van 25 septem­ber 2017 geopend. Volg deze link voor meer informa­tie over de NWD.

Exponen­tiële en lineai­re groei hebben met name bij wiskun­de A en C een belang­rijke rol in de wiskun­depro­gramma’s. In de Centra­le Eindexa­mens zijn vragen over het berei­ken of over­schrij­den van een bepaal­de grens­waarde bij exponen­tiële en lineai­re groei popu­lair. Juist bij derge­lijke vragen ont­staat er vaak een discus­sie over de juist­heid en volle­digheid van het correc­tievoor­schrift. In het Cen­traal Eindexa­men wiskun­de C, tweede tijdvak, worden vanaf opgave 14 vragen gesteld over een actueel pro­bleem, te weten de ontwik­keling van de popula­tie damher­ten in de Amster­damse Water­leiding­duinen (AWD). In tekst gaat men uitge­breid in op de manier waarop de dieren worden geteld. Verder wordt vermeld dat de telling altijd aan het einde van de winter plaats­vindt. Ook komt het grilli­ge verloop van de jaar­lijkse procen­tuele groei ter sprake. Vervol­gens wordt gesteld dat de gemid­delde jaar­lijkse groei vanaf 2007 gelijk is aan 15%. In 2007 zijn er in de AWD naar schat­ting 53 damher­ten per km². Ge­vraagd wordt in welk jaar de als boven­grens be­schouw­de dicht­heid van 200 damher­ten per km² voor het eerst bereikt zal worden, uitgaan­de van een groei van 15% per jaar. Niet de bedoe­ling
Oplos­sen van een verge­lijking als 53·1,15^t = 200 geeft t ≈ 9,5. Gere­kend vanaf het einde van de winter van 2007 kom je dan uit in het begin van de herfst van 2016. Het ant­woord op de vraag "in welk jaar" wordt dan dus 2016. Maar dat was niet de bedoe­ling. In het ant­woordmo­del wordt "t = 9,5 (of nauwkeu­riger)" meteen gevolgd door "dus in 2017". Naar aanlei­ding van de protes­ten ver­meldt CvTE/Cito dat men daar de groei van de damher­ten als een dis­creet proces ziet. Op het verweer dat de tellin­gen welis­waar dis­creet zijn maar de groei van de popula­tie dat zeker niet is, ant­woordt men het volgen­de:

"U stelt in uw reactie op onze mail dat de groei niet dis­creet is en in uw eerste mail stelt u dat als je aan­neemt dat de groei geleide­lijk door het hele jaar plaats­vindt het eindant­woord 2016 juist is. Deze aanname is zeker niet geldig. In de stam van vraag 17 wordt uitslui­tend gespro­ken over de gemid­delde jaar­lijkse groei. Aan het eind van de winter vinden de tellin­gen plaats om zo de aantal­len damher­ten van jaar tot jaar te kunnen verge­lijken. Dit is dus een dis­creet proces. Het enige juiste ant­woord is 2017."

Dis­creet of continu
Is een proces dis­creet of continu? Deze kwestie speelt in aller­lei vormen al vele jaren een rol in de examen­opgaven. In de prak­tijk gaat het vaak niet zozeer om een funda­menteel ver­schil tussen dis­creet en continu maar meer over de stap­groot­tes waarmee gewerkt moet worden. In het onder­wijs was daar tot voor kort niet veel aan­dacht voor, zo lijkt het. Het is te hopen dat dit onder­scheid, ook buiten de statis­tiek, in de toe­komst bij wiskun­de A en C wat meer aan­dacht zal krijgen. Duide­lijk dis­creet
In bepaal­de contex­ten is het evident dat dat je alleen met gehele waarden moet werken. Als het bijvoor­beeld zeker is dat de begro­ting voor onder­wijs de komende 10 jaar met 5% per jaar zal stijgen en deze voor 2017 40 miljard euro be­draagt, dan is een voor­schrift als B(t) = 40·1,05^t alleen geldig voor gehele waarden van t. De vraag voor welk jaar de begro­ting voor het eerst meer dan 60 miljard euro zal bedra­gen, is dan eendui­dig en heeft als enig juiste ant­woord "voor 2026". Immers, 40·1,05⁸ = 59,098... en 40·1,05⁹ = 62,05.... De bereke­ning 40·1,05^t = 60 geeft het tussen­ant­woord t ≈ 8,31. Dit tussen­ant­woord moet in dit geval naar boven worden afge­rond; pas 9 jaar na 2017 be­draagt de begro­ting voor het eerst meer dan 60 miljard euro. Een ant­woord als "in de loop van 2025" is "not even wrong" want voor niet gehele waarden van t heeft het wiskun­dig model B(t) = 40·1,05^t geen beteke­nis. Duide­lijk continu
Het discre­te karak­ter van de context hierbo­ven is duide­lijk. Maar nemen we als context bijvoor­beeld de ontwik­keling van het bevol­kings­aantal van een stad, dan wordt het verhaal ineens heel anders. Dan kunnen we op elk moment van het jaar name­lijk spreken over het aantal inwo­ners van die stad. Wanneer bekend is dat een stad op 1 januari 2017 778.943 inwo­ners heeft en dat aantal inwo­ners met 5,0% per jaar groeit, dan heeft het wiskun­dig model W(t) = 778943·1,05^t hier ook beteke­nis voor gebro­ken waarden van t. Geboor­te, sterfte en migra­tie vindt het hele jaar door plaats. Wanneer mag worden uitge­gaan van constan­te groei geduren­de het kalen­derjaar kan de formule prima ge­bruikt worden om een schat­ting te maken van de bevol­king op bijvoor­beeld 1 juni 2017. Wordt er in dit geval ge­vraagd wanneer het bevol­kings­aantal voor het eerst de miljoen zal berei­ken, dan moet de bereke­ning 778943·1,05^t = 1000000 → t ≈ 5,12 ver­taald worden naar een datum ergens in februa­ri 2022. Het ant­woord "1 januari 2023" is in deze context uitdruk­kelijk fout. De damher­ten
Dan nu weer terug naar de vraag over de damher­ten in de AWD. In de eerste plaats kun je afvra­gen hoe reëel het is om te werken met een model met een constan­te jaar­lijkse groei van 15% als bekend is dat die jaar­lijks groei fluctu­eert van 10% in het ene jaar tot ruim 40% in het volgen­de jaar. Maar laten we eens ruimhar­tig over dit pro­bleem heen­stappen. Uiter­aard kun je ook buiten de telperi­ode spreken over het aantal damher­ten in een gebied. Je kunt daar met wat feiten­kennis ook uitspra­ken over doen, zoals dat dit aantal geduren­de het voor­jaar sterk zal toene­men en er in de loop van de herfst en de winter weer een afname te verwach­ten is. Je kunt ook, naar analo­gie van wat de examen­makers hebben gedaan, bij gebrek aan feite­lijke kennis, werken met een geleide­lijke groei tussen twee tellin­gen in. Kleine moeite
Wat bete­kent dit nu voor de inter­preta­tie van het de oplos­sing t ≈ 9,5 van de verge­lijking? Op tijd­stip t ≈ 9,5, dus begin herfst 2016, zijn er volgens de formule gemid­deld 200 damher­ten per km² in de AWD aanwe­zig. Als je reke­ning houdt met de geboor­tegolf in de maanden mei tot juli is het zelfs aanneme­lijk dat deze grens al eerder in dat jaar werd bereikt werd. Het zelfs goed denk­baar dat die grens al een of twee jaar eerder aan het begin van de zomer werd bereikt. Het wordt op die manier alle­maal wat ongrijp­baar. Er valt daarom best wat te zeggen voor het stand­punt van CvTE/Cito dat je alleen moet kijken naar de momen­ten dat de dieren geteld worden. Maar waarom wordt de vraag dan niet zo gesteld dat dat vol­strekt duide­lijk is? De toevoe­ging "bij de telling" was al voldoen­de geweest. Een kleine moeite waarmee veel discus­sie zou zijn voorko­men. Gerard Kool­stra

Voor de eindexa­mens lijken havo/vwo en vmbo twee geschei­den werel­den te vormen, met aparte commis­sies voor examen­program­ma's, syllabi en opgaven. Maar in de examens van havo wiskun­de A en vmbo GT zijn zonder veel moeite opgaven en correc­tievoor­schrif­ten te vinden die goed verge­lijk­baar zijn. De vraag dringt zich bij die verge­lijking op in hoever­re vmbo eindexa­menkan­didaten niet stren­ger worden beoor­deeld dan havo eindexa­menkan­didaten. In beide examens spelen opgaven waarbij er tech­nisch danwel contex­tueel correct afge­rond moet worden een belang­rijke rol. Het aantal punten dat een havokan­didaat met afron­den kan verlie­zen, is echter gemaxi­mali­seerd op 2. Een vmbokan­didaat met een beetje pech kan met diezelf­de fouten gemakke­lijk 10 of meer punten verlie­zen. Ik krijg daarbij de indruk dat 'echte' fouten op het vmbo vaak harder worden 'afge­straft' dan op het havo. Dat heeft er ook mee te maken dat er in het correc­tievoor­schrift van het havo eindexa­men vaker aan­dacht is voor te verwach­ten fouten dan in het correc­tievoor­schrift van het vmbo eindexa­men. Vaak kunnen havo­leerlin­gen ook bij vrij ernsti­ge fouten toch nog punten scoren. Op het vmbo zijn de leerlin­gen bij een 'strenge' inter­preta­tie van het correc­tievoor­schrift vaak alle punten kwijt. Een voor­beeld
In een opgave van het laatste 'herexa­men' vmbo GT moest op basis van het aantal auto's in 1960 en een groei van 15% per jaar het aantal auto's in 1900 worden bere­kend. Een voor de hand liggen­de fout is een bereke­ning met de groei­factor 0,85. Het correc­tievoor­schrift laat zich hiet niet over uit. Bij een 'strenge' docent resul­teert deze fout in het verlies van alle drie de punten. De aanpak is immers funda­menteel fout. Minder 'strenge' docen­ten gingen de discus­sie aan en pleit­ten voor een verlies van hoog­stens 1 of 2 punten. In een verge­lijk­baar geval in het havo-examen wiskun­de A eerste tijdvak van 2016 liet het soepele correc­tievoor­schrift voor opgave 15 geen ruimte voor deze discus­sie: gewoon 2 van de 3 punten toeken­nen. Scrip­tie of artikel
Het zijn slechts wat observa­ties langs de zijlijn. Onder onze lezers zijn er echter vast en zeker collega's die zowel erva­ring hebben met havo-examens als met vmbo-examens en die eens wat willen schrij­ven over dit thema. Dit onder­werp is wel­licht ook ge­schikt voor een scrip­tie op een leraren­oplei­ding. We horen het graag van u. gk

In Wiskun­dE-brief 778 stelde Trudy Kloos de vraag of de examen­makers wel voldoen­de zicht hebben op de diverse in omloop zijnde wiskun­demetho­des. In Wiskun­dE-brief 780 reageer­de Simon Biesheu­vel, naar de mening van Cito terecht, dat de sylla­bus leidend is bij het maken van de examens en niet de metho­des. Als toets­deskun­digen van Cito willen wij graag onder de aan­dacht brengen dat wij van het CvTE de op­dracht krijgen om een examen te maken met nieuwe vragen die passen bij de sylla­bus. De toets­deskun­digen beschik­ken hierbij over de meest recente edities van de diverse gebruik­te metho­des, als "naslag­werk" en om na te kunnen gaan of een potenti­ële vraag niet al in een methode voor­komt. Geen invloed
De metho­den hebben verder geen invloed op de samen­stel­ling van het examen. Overi­gens zijn bij de con­struc­tie van de examens diverse docen­ten betrok­ken die in hun lessen uiter­aard niet alle­maal gebruik maken van dezelf­de methode. Ger Limpens, Jos Remijn en Ruud Stol­wijk
Toets­deskun­digen wiskun­de Cito

De tussen­doelen voor de kernvak­ken Neder­lands, Engels en wiskun­de zullen geen wette­lijke status krijgen. SLO meldt dat in de Nieuws­brief onder­bouw vo van juni 2017. Deze tussen­doelen zijn voor­beeldma­tige uitwer­kingen van de kerndoe­len, te behalen aan het eind van de tweede klas vmbo en de derde klas havo/vwo, zoals die ook voor de andere vakken zijn beschre­ven. Zie ook de website Leer­plan in beeld van SLO. DTT
De tussen­doelen voor de kerndoe­len werden door SLO ontwik­keld met het oog op de Diagnos­tische Tussen­tijdse Toets (DTT). Nu de pilot DTT eind 2017 wordt afge­rond en er geen ver­plichte tussen­tijdse toets zal komen, is er geen aanlei­ding om een wette­lijke status aan deze tussen­doelen toe te kennen.

De Werk­groep Geschie­denis van de Neder­landse Vereni­ging van Wiskun­dedocen­ten organi­seert op zater­dag 7 oktober 2017 in het Acade­miege­bouw in Utrecht een symposi­um over de geschie­denis van de wiskun­de bij het meten van aarde en heelal. Het program­ma bestaat uit vier lezin­gen en een bijzon­der optre­den van een histori­sche landme­ter. De eerste lezing gaat over het beroem­de planeta­rium van Eise Eisinga. In welke tradi­tie stond Eisinga? Hoe is hij begre­pen door zijn tijdge­noten? Hoe past dit alles binnen de wijze waarop de wiskun­de in die tijd werd beoe­fend? Op derge­lijke vragen geeft Arjen Dijk­stra u in zijn lezing een ant­woord. De mysteri­euze zeekaar­ten van het Middel­landse Zeege­bied die in de dertien­de eeuw versche­nen, de zoge­naamde Porto­laan­kaarten, vormen het onder­werp van de lezing van Roel Nicolai. Kibla en astrono­mie
Voor Moslims is de rich­ting naar Mekka, de 'kibla', van groot belang. Bij de bouw van moskee­ën en bij het aanleg­gen van islami­tische begraaf­plaat­sen wordt altijd uitdruk­kelijk reke­ning gehou­den met de kibla. Maar hoe bepaal je deze kibla? Lidy Wesker-Elzinga gaat hier in de derde lezing op in. In de lezing van Viktor Blasjö komen tenslot­te de metho­den aan bod die in de loop van de geschie­denis in Grieken­land, in het Midden-Oosten en in Neder­land zijn ontwik­keld om afstan­den tussen hemelli­chamen en de afmetin­gen van die hemelli­chamen te bepalen. Program­ma

tijd	onder­deel
10:00−10:30	Ont­vangst met koffie en thee.
10:30	Opening door dagvoor­zitter Jeanine Daems.
10:45−11:30	Arjen Dijk­stra: De context van het Frane­ker Planeta­rium van Eise Eisinga.
11:30−12:00	koffie en thee.
12:00−12:45	Roel Nicolai: Porto­laan­kaarten, een histo­risch, carto­gra­fisch en geode­tisch raadsel.
12:45−13:30	Lunch met optre­den van een histori­sche landme­ter.
13:30−14:15	Lidy Wesker-Elzinga: Hoe vind je weg naar Mekka?
14:15−15:30	Viktor Blasjö : Een cultuur­geschie­denis van de goniome­trie.
15:00	Slui­ting door de dagvoor­zitter.
15:10−15:40	Drankje met nog­maals het optre­den van de histori­sche landme­ter.

Er wordt voor het symposi­um een bijdra­ge ge­vraagd van € 40,=. Leden van de NVvW en de NVORWO betalen een tientje minder. Volg deze link om u nu al in te schrij­ven.

De prijs­uitrei­king van de Onder­bouwWis­kunde­Dag 2017 vormde de laatste van de drie "Wiskun­de voor Teams"-activi­teiten van dit school­jaar. Aan deze activi­teiten, de Wiskun­de A-lympia­de, de Wiskun­de B-dag en de Onder­bouwWis­kunde­Dag, deden in totaal meer dan 3000 leerlin­gen­teams mee. De Onder­bouwWis­kunde­Dag, een activi­teit voor teams uit de derde leer­laag van het havo en vwo, werd op 8 februa­ri 2017 gehou­den en had als thema "Meer ruimte voor het festi­val!". De teams moesten de "herin­rich­tings­kosten" bereke­nen voor een festi­valorga­nisatie die meer festi­valruim­te in een gemeen­tepark wilde hebben. De goed­koopste oplos­sing voldeed niet aan de rand­voor­waarden van de gemeen­te en dus moesten de teams voor de festi­valorga­nisatie een goed onder­bouwd alterna­tief plan ontwer­pen. De prijzen voor de Onder­bouwWis­kunde­Dag werden als volgt ver­deeld:

prijs	school
Eerste prijs	U­trechts Stede­lijk Gymnasi­um
Tweede prijs	Haarlem­mermeer­lyceum, Hoofd­dorp
Derde prijs	2Colle­ge Duren­dael, Oister­wijk

Volg deze link voor de bijbeho­rende juryrap­porten. De volgen­de Onder­bouwWis­kunde­Dag zal plaats­vinden op 7 februa­ri 2018. De Wiskun­de A-lympia­de en de Wiskun­de B-dag zullen plaats­vinden op 17 novem­ber 2017. Volg deze link voor nadere informa­tie. Dédé de Haan
Freuden­thal Insti­tuut, Univer­siteit Utrecht

De tentoon­stel­ling Imagina­ry maakt dit school­jaar een tour langs univer­siteits­steden. Als laatste univer­siteits­stad wordt Nijme­gen aange­daan. De tentoon­stel­ling is tot 7 juli 2017, ook met school­klassen, gratis te bezoe­ken in het Huygens­gebouw van de Radboud Univer­siteit. De komende week is de de tentoon­stel­ling niet toegan­kelijk van dinsdag 27 juni tot en met donder­dagmor­gen 29 juni. Op de andere dagen bent u de gehele dag welkom. Ope­nings­tijden zijn van maandag tot en met vrijdag van 6:30 uur tot 21:30 uur en op zater­dag van 9:30 uur tot 16:00 uur. Wiskun­de en kunst
De tentoon­stel­ling omvat talrij­ke topkwa­liteit posters, een hele reeks 3D-prints van wiskun­dige objec­ten en een reeks softwa­revisua­lisa­ties en softwa­resimu­laties waarmee de bezoe­ker op grote touch­screens interac­tief aan de slag kan gaan. Op grote puzzel­tafels kan er ge­speeld worden met zoge­naamde Penrose betege­lingen. Neem uw smart­phone met QR-reader mee en bekijk de mooie film­pjes die horen bij de posters en 3D-model­len. Geniet van wiskun­de die je mee­neemt in verwon­dering en bewonde­ring. Geniet van een tentoon­stel­ling waar wiskun­de en kunst elkaar zo prach­tig ontmoe­ten. Via deze link kunt u meer informa­tie inwin­nen en in contact treden met de organi­satoren.

Bent u bevlo­gen en kunt u leerlin­gen motive­ren en helpen om zich­zelf te ontwik­kelen? Dan is 2Colle­ge Duren­dael, een middel­bare school voor vmbo, havo en vwo in Oister­wijk, naar u op zoek. Wij zijn op zoek naar een collega docent wiskun­de met eerste­graads bevoegd­heid die vooral les gaat geven in de havo/vwo boven­bouw. Volg deze link voor meer informa­tie.

Als vernieu­wing en innova­tie érgens thuisho­ren, dan is dat wel in het onder­wijs. Voor wiskun­dedocen­ten en leerlin­gen was er al de HP Prime rekenma­chine; de snelste en meest innova­tieve grafi­sche rekenma­chine op de markt met een uniek touch­screen. Nu kunt u dezelf­de grafi­sche kracht ook op uw Windows, Android en Apple iOS devices instal­leren. Alleen HP geeft u een CvTE-goedge­keurde grafi­sche rekenma­chine in combina­tie met een app (app zelf niet toege­staan bij CE) op het plat­form van úw keuze. En dat voor een fractie van de kosten bij een concur­rent! Blijf niet achter in een verande­rende (wiskun­de)wereld en leer meer over hoe HP’s onder­wijsop­lossin­gen u nu en in de toe­komst verder kunnen helpen. Mail voor meer informa­tie en demon­statie­moge­lijkhe­den naar info@hp-prime.nl.