nummer 780, 18 juni 2017

Het lijkt erop dat er maar weinig examen­kandida­ten op het vwo zijn 'gezakt op de reken­toets'. Een onder­zoek onder onze abon­nees wijst in die rich­ting. Voor ons onder­zoek hebben we aselect 1000 abon­nees van de Wiskun­dE-brief aange­schre­ven. Zoals wij al hadden ver­wacht, was de respons niet groot. In ons abonnee­bestand staan geen scholen bij de abon­nees vermeld; veel van de aselect gekozen geadres­seerden waren dus hele­maal niet verbon­den aan een vwo-oplei­ding en vielen al meteen af. Verder zitten er in zo'n aselec­te steek­proef natuur­lijk 'dubbe­len'; ver­schil­lende docen­ten die aan dezelf­de school zijn verbon­den. We hebben de antwoor­den van deze abon­nees natuur­lijk niet dubbel meege­teld. Gege­vens van 4000 kandida­ten
Vanaf afgelo­pen woens­dag kwamen de antwoor­den binnen van bijna 50 vwo-oplei­dingen. We kregen zo de beschik­king over gege­vens van ruim 4000 examen­kandida­ten, zo'n 10% van het totale aantal. Van deze 4000 kandida­ten waren er meer dan 500 nog niet ge­slaagd of defini­tief gezakt. Niet ieder­een meldde het aantal (niet)geslaag­den. We telden slechts drie kandida­ten die niet ge­slaagd waren maar wel ge­slaagd zouden zijn als de reken­toets geen kernvak was geweest. Beeld duide­lijk
Ondanks het het betrek­kelijk kleine aantal reac­ties ontwik­kelt zich een duide­lijk beeld. Was er eerder nog sprake van de vrees dat het ging om procen­ten (denk aan het vangnet bij meer dan 5 procent­punt extra gezak­ten van vorig jaar), nu lijkt het eerder om één of twee promil­le te gaan. Als we de 4000 kandida­ten uit ons onder­zoek beschou­wen als een aselec­te steek­proef uit de onge­veer 38.000^*) examen­kandida­ten op het vwo, dan kunnen we een betrouw­baar­heidsin­terval bereke­nen voor het aantal kandida­ten dat op de reken­toets is gezakt. Het 95% betrouw­baar­heidsin­terval, uitge­drukt in aantal leerlin­gen, komt dan uit op onge­veer [7 ; 79]. Uitge­drukt in een promil­lage krijgen we dan [0,2‰ ; 2,1‰]. We kregen veel (sponta­ne) meldin­gen van scholen waar alle vwo-leerlin­gen een voldoen­de voor de reken­toets hadden. Enkele leerlin­gen maakten de ER versie van de reken­toets, bedoeld voor leerlin­gen met ernsti­ge reken­proble­men of dyscal­culie. *) In de persmap van het CvTE is sprake van ruim 40.000 eindexa­menkan­didaten vwo (voor Engels en Neder­lands) maar dit zijn overschat­tingen, geba­seerd op de aantal­len bestel­de examens.

Trudy Kloos vraagt zich in in Wiskun­dE-brief 778 af of examen­makers eigen­lijk wel voldoen­de zicht op de in Neder­land gebruik­te wiskun­demetho­des hebben. Ik wil daar graag op reage­ren. Laat ik voorop­stellen dat ik geen examen­maker ben. Als docent weet ik intus­sen echter wel het een en ander over examens. Examen­makers zijn docen­ten en kennen dus tenmin­ste één methode. Maar de opgaven die ze beden­ken, moeten voldoen aan wat er in de sylla­bus staat. Die sylla­bus is te vinden op www.examen­blad.nl, de officië­le site van het CvTE. Zij hebben dus niet de plicht om te onder­zoeken of de in de examens getoets­te wiskun­dige vaardig­heden wel in alle metho­des te vinden zijn. Geluk­kig maar want dat zou de examen­makers de beper­king opleg­gen om alleen vragen te stellen over de doorsne­deverza­meling van al die metho­des. Je moet er als docent dus reke­ning mee houden dat zowel examen­makers als boeken­schrij­vers, door­gaans ook docen­ten, zich onafhan­kelijk van elkaar op de sylla­bus baseren. Er ont­breekt iets in het boek
Moest volgens het in 2007 gelden­de program­ma bij wiskun­de A vwo nu wel of niet de horizon­tale lijnver­menig­vuldi­ging worden behan­deld? In ons boek werd die lijnver­menig­vuldi­ging niet behan­deld maar op mijn school dachten we dat het wel moest. Daarom hebben we dat toen zelf toege­voegd. Dat is een lastige taak; je moet maar net in de gaten hebben dat er in het boek een onder­deel niet wordt behan­deld. Het gebruik van enkello­garit­misch papier wordt in de nieuwe boeken van Getal & Ruimte op een heel andere manier behan­deld dan in de nieuwe boeken van Moderne Wiskun­de. Omdat ik in de afgelo­pen jaren beide manie­ren op de examens ben tegenge­komen, zocht ik in de sylla­bus op voor welke manier ik moet kiezen. In de sylla­bus staat "een leer­ling kan een logarit­mische schaal­verde­ling gebrui­ken". Daarmee kunnen beide manie­ren worden bedoeld en dus gaan we op onze school ook beide manie­ren behande­len. Er staat te veel in het boek
Een teveel aan stof is geen pro­bleem zo lang je tijd genoeg hebt. In het verle­den hadden we tijd­nood bij havo wiskun­de B. We hebben toen de para­graaf met lineair interpo­leren en extrapo­leren hele­maal ge­schrapt want dat stond niet in de sylla­bus. Ook met kansre­kenen gaan schrij­vers wel eens "hele­maal los". We schrap­pen dan een aantal overbo­dige en te moeilij­ke opgaven. Dat doen we naar eigen inzicht. Mail het CvTE
Bij onduide­lijk­heid over de sylla­bus kun je gewoon een mailtje sturen naar het CvTE. Zo kreeg ik laatst als reactie terug dat met het woord herscha­len in de sylla­bus van wiskun­de A vwo gewoon de horizon­tale en vertica­le lijnver­menig­vuldi­ging wordt bedoeld. Op mijn vraag wat er precies onder een rechts­scheve verde­ling moet worden ver­staan, moet ik nog ant­woord krijgen. Volgens de boeken beoor­deel je dat op het plaatje. Maar we begre­pen niet hoe je dan kunt weten dat het gemid­delde rechts van de mediaan ligt. Zo'n verde­ling moet dan wel aan bepaal­de eisen voldoen. Maar welke? Als docent moet je zelf meeden­ken met je boek en met de sylla­bus. Dat is lastig maar noodza­kelijk. Simon Biesheu­vel, s.biesheu­vel@wdz.nl

In Wiskun­dE-brief 779 hebben wij aan­dacht besteed aan twee apps van VUSTAT (Visual Under­stan­ding for Statis­tics). Het waren de apps 'Data-analyse' en 'Steek­proeven­verde­ling'. Deze apps zijn gratis en kunnen op hoege­naamd alle compu­terplat­forms, waaron­der smart­phones, worden ge­bruikt. Hieron­der vertel­len we u graag wat meer over twee andere apps en over ons blog. Steek­proeven uit ja-nee popula­tie
In deze app wordt de popula­tie voorge­steld als een verzame­ling rode en groene balle­tjes, model voor een situa­tie waarbij mensen alleen voor of tegen iets kunnen zijn. Uit deze popula­tie kun je, met of zonder terug­leggen, steek­proeven nemen. Theore­tisch is de steek­proeven­verde­ling een binomia­le verde­ling. Uit didac­tisch oogpunt is deze app een goede start van de inferen­tiële statis­tiek, die zich bezig houdt met de vraag welke conclu­sies je uit steek­proeven kunt trekken over de popula­tie. De relatie tussen steek­proef, steek­proeven­verde­ling en popula­tie is hier elemen­tair goed te zien, te volgen en te begrij­pen. De popula­tie is ook te verber­gen, zodat de gebrui­ker is aangewe­zen op de steek­proef­verde­ling. Een goede start om uit te zoeken of een bepaal­de steek­proef­uit­komst past bij een gekozen hypothe­se (nulhypo­these). Met schui­ven kun je een gebied van de steek­proeven­verde­ling kiezen en daarbij een conclu­sie formule­ren. Voor een klassie­ke benade­ring zijn er de opties 'Betrouw­baar­heidsin­terval­len' en 'Hypothe­se toetsen'. Verde­lingen
Met deze app kun je van aller­lei bekende en minder bekende kansver­delin­gen een grafiek maken door de parame­ters op te geven. Veran­der de parame­ters en zie hoe de grafiek veran­dert. Ver­schuif een grens en zie hoe de grootte van een gebied onder de grafiek wijzigt. Spelen met een verde­lings­grafiek geeft inzicht in bijvoor­beeld een concept als de over­schrij­dings­kans. Een tabel­lenboek of ingewik­kelde procedu­re is niet meer nodig. Blog VUSTAT
Op ons blog publice­ren we onder meer sugges­ties voor lessen en techni­sche informa­tie over onze apps. Zo is in het blog bijvoor­beeld beschre­ven hoe je een eigen excelbe­stand kunt inlezen in de app 'Data-analyse', hoe je eigen data­sets kunt bewaren op Google Drive en waar je interes­sante data­sets kunt vinden. Lesmate­riaal met inzet van de apps zie je in de blog aange­kondigd. De Titanic, statis­tisch onder­zoek met kruista­bellen, is binnen­kort beschik­baar. Ook biedt ons blog de moge­lijk­heid om te reage­ren, om vragen te stellen en om vragen (met antwoor­den) en opmer­kingen van anderen te raadple­gen. Piet van Blok­land en Carel van de Giessen

De Konink­lijke Neder­landse Akade­mie van Weten­schap­pen (KNAW) looft ieder jaar prijzen uit voor profiel­werk­stukken van vwo eindexa­menkan­didaten. Op 13 juni 2017 werden de onder­wijs­prijzen voor 2017 in Amster­dam uitge­reikt. Voor elke vwopro­fiel werden er dit jaar drie prijzen beschik­baar gesteld. Onder de bekroon­de werk­stukken bevon­den zich er drie met een sterk wiskun­dige compo­nent. Daan In de Braekt (4^e Gymnasi­um, Amster­dam) schreef, geïnspi­reerd door het boek Gödel, Escher, Bach van Douglas Hofstad­ter, een profiel­werk­stuk over machine­verta­lingen. Hij program­meerde met Python modules om ver­schil­lende verta­lingen met elkaar te verge­lijken. Daan won met zijn werk­stuk de derde prijs voor het profiel Natuur & Tech­niek. Het werk­stuk zat niet alleen wiskun­dig goed in elkaar maar zou volgens de jury vanwege het literai­re gehalte ook zo genomi­neerd kunnen worden voor het profiel Cultuur & Maat­schap­pij. Een specia­le vermel­ding was er voor de begelei­der. Wiskun­dedo­cent Sven Aerts bege­leidde al vier keer eerder een genomi­neerde leer­ling. Zoekma­chines
De tweede prijs binnen het profiel Natuur & Tech­niek ging naar Lüke van den Witten­boer (Bataafs Lyceum, Hengelo). Zij onder­zocht de ontwik­keling van zoekma­chines en verge­leek de ver­schil­lende zoekal­gorit­mes. Lüke liet in haar profiel­werk­stuk goed zien dat zoekma­chines daadwer­kelijk een evolu­tie hebben doorge­maakt en dat het vertrou­wen in zoekre­sulta­ten op gespan­nen voet staat met commer­ciële overwe­gingen. Steen-papier-schaar
Ook het werk­stuk van Ábel Putnoki (Christi­aan Huygens College, Eindho­ven), dat de tweede prijs won in het profiel Econo­mie & Maat­schap­pij, is wiskun­dig georiën­teerd. Ábel stelde de vraag: "Hoe kun je de volgen­de zet van je tegen­stander in het spel steen, papier, schaar met behulp van statis­tiek voor­spellen?". Hij ontwik­kelde een compu­terpro­gramma om deze vraag te beant­woorden. Zijn conclu­sie is dat je de volgen­de zet van je tegen­stander met het spelle­tje 'steen, papier, schaar' statis­tisch goed kan voor­spellen door te kijken naar herha­lende patro­nen in de speel­stijl van je tegen­stander, naar het ge­slacht en de leef­tijd van je tegen­stander en naar nog heel veel andere zaken. Met de uitkom­sten van zijn onder­zoek kan goed worden geïllu­streerd dat een statis­tische analyse van spelge­drag heel effec­tief kan zijn.

Het is weer examen­tijd en dat levert voor de examina­toren een tijde­lijke piekbe­lasting op. Op zich is dat niet erg; je bent er als docent op inge­steld en je bent be­nieuwd hoe je pupil­len het ervan af brengen. Met het inleve­ren van je eerste correc­tie op het examen­secreta­riaat begint er echter ook een erger­lijke bureau­cratie. Dan volgt er een admini­stratie­ve romp­slomp met veel overbo­dige handte­kenin­gen en contro­les. Examen­besluit
Ik heb even het examen­besluit erbij gepakt. Wat betreft de admini­stratie rondom de eindexa­mens worden er in dat examen­besluit maar heel weinig eisen gesteld. In artikel 36.4 lees ik: "De gecom­mitteer­de voegt bij het gecorri­geerde werk een verkla­ring betref­fende de verrich­te correc­tie. Deze verkla­ring wordt mede onderte­kend door het bevoegd gezag van de gecom­mitteer­de". In artikel 41 lees ik iets over een score­lijst en daarmee zijn in feite alle ver­plichte admini­stratie­ve zaken gedekt. De kous is daarmee dus af, zou je zeggen. Proto­collen
Maar nee, naast dit examen­besluit heeft de VO-raad nog het docu­ment 2017_Proto­collen­Centra­leExa­mens gepubli­ceerd. In dit aanvul­lende docu­ment staat het een en ander geschre­ven over de vrijhe­den die een school zich mag permit­teren met betrek­king tot de procedu­res en proces­sen betref­fende het eindexa­men. Zo kan de school de examina­tor volgens deze publica­tie bijvoor­beeld ver­plich­ten om te werken met WOLF. Ook kan de school voor­schrij­ven dat de scores per opgave in de kant­lijn van het examen­werk moet worden geno­teerd. Volgens het examen­besluit hoeft de examina­tor het werk alleen na te kijken en een score­lijst aan het examen­werk toe te voegen. In het proto­collen­docu­ment van de VO-raad wordt de scholen geadvi­seerd om daar min­stens een onderte­kende verkla­ring aan toe te voegen dat de examina­tor het werk 'eerlijk' heeft nageke­ken. Zo'n beetje alle scholen doen dat en wat mij betreft is dat een handte­kening teveel. DI-200
Tot enige jaren terug werd vanuit DUO het DI-200 formu­lier beschik­baar gesteld en was het gebruik van dat formu­lier ver­plicht. Nu mag de school zelf een derge­lijke lijst maken en is de ver­plich­ting verval­len. Toch wordt dat formu­lier op de meeste scholen nog steeds ge­bruikt. Dat formu­lier moet van twee ook weer overbo­dige handte­kenin­gen van de examina­tor worden voor­zien. Natuur­lijk moet je voor het zetten van je handte­kenin­gen dan eerst de scores op het DI-200 formu­lier goed contro­leren. Die overbo­dige vermel­ding van de scores moet immers wel overeen­komen met de vanuit het examen­besluit ver­plichte score­lijst voordat deze in het leer­ling volgsys­teem worden inge­voerd. Bij mij dringt zich dan onmid­dellijk de vraag op wie er dan eigen­lijk contro­leert of de cijfers vanaf het DI-200 formu­lier wel goed zijn inge­typt... Ik erger mij enorm aan die bureau­cratie. En met het tweede tijdvak begint dat hele circus gewoon weer opnieuw. Dat terwijl het alle­maal veel effici­ënter kan en het gereed­schap hier­voor voor ieder­een beschik­baar is. Het program­ma WOLF. WOLF
Het program­ma WOLF biedt de moge­lijk­heid om het gehele admini­stratie­ve proces rondom de examens te automa­tiseren. Alle examina­toren kennen dat program­ma al jaren. WOLF heeft qua ontwik­keling de laatste twee jaar echter grote stappen gemaakt. Zo is WOLF nu 'web­based' en dus op alle compu­terplat­forms te gebrui­ken. Vorig school­jaar draaide er een WOLF 'pilot' waarbij de examina­tor en de gecom­mitteer­de binnen het program­ma, voor het beeld­scherm, over de scores konden overleg­gen om ze uitein­delijk gezamen­lijk te fiatte­ren. Die pilot is goed verlo­pen en deze functie is daarom voor examen­jaar 2017 vrijge­geven. Het overleg­onder­deel van WOLF werkt eenvou­dig en soepel. Door in te loggen zet je in feite je digita­le handte­kening. Daarna treed je in overleg met je tweede correc­tor of, als je zelf de tweede correc­tor bent, met de examina­tor. Nadat je met zijn tweeën de scores defini­tief hebt vastge­steld, hoeft de gecom­mitteer­de enkel het docu­ment dat wordt bedoeld in artikel 36.4 van het examen­besluit te onderte­kenen en kunnen de scores in het leer­ling volgsys­teem worden overge­nomen. Het examen­secreta­riaat hoeft niet op de terugge­stuurde examens te wachten en wordt verlost van heel veel tikwerk en contro­lewerk. En, belang­rijk, er is heel veel minder kans op fouten. Met WOLF kan een school heel veel bureau­cratie voorko­men. Er behoe­ven maar één of twee handte­kenin­gen te worden gezet. Het DI-200 formu­lier is overbo­dig gewor­den en het geloop meer naar het examen­secreta­riaat is verdwe­nen. Marc van der Nat

Auteur:	Willem Bouman
Uitgeve­rij:	Epsilon
Aantal pagina's:	260
ISBN:	978-90-5041-164-6
Prijs:	€ 25,=

Het rekenta­lent van Willem Bouman (1939) viel al vroeg op. Als 9-jarige kon hij al alle verme­nigvul­digin­gen van getal­len van twee cijfers uit zijn hoofd uitreke­nen. Op de middel­bare school wist hij de kwadra­ten van alle getal­len tot 1000 en de derde machten van alle getal­len tot 100 uit het hoofd. Ook rekende hij toen al vier­kants­wortels van getal­len van 10 cijfers en derde­machts­wortels van getal­len van vijf­tien cijfers uit. Tegen alle verwach­tingen in ging hij na de lagere school niet naar hbs-B maar naar hbs-A, met talen, econo­mie en handels­rekenen. Na de hbs ging hij naar het Insti­tuut voor de autohan­del. Vervol­gens is hij werk­zaam geweest als automon­teur, verte­genwoor­diger vracht­autoban­den en cursus­leider bij het trai­nings­centrum van Miche­lin. Laat­bloeier
Pas na zijn pensi­oen begon Bouman aan zijn actieve reken­prak­tijk. In 2006 nam hij, volko­men onvoor­bereid, deel aan het wereld­kampi­oen­schap hoofdre­kenen en werd meteen zevende. Inmid­dels heeft hij drie wereld­records op zijn naam staan en ontving hij in 2014 de 'Prix d’Excel­lence'. Hij is zich steeds verder gaan verdie­pen in de metho­des van het hoofdre­kenen. Daarbij staat modulo-rekenen cen­traal. Volgens zijn reken­vrien­den is er wereld­wijd niemand die zo crea­tief is met modulo-rekenen als hij. De vraag om zijn fabuleu­ze kennis van het hoofdre­kenen en de daarbij gebruik­te metho­des in een boek neer te leggen, hebben tot de ver­schij­ning van dit werk geleid. Verbluf­fende metho­des
Willem Bouman behoort tot de beste hoofdre­kenaars ter wereld. Het is fascine­rend om kennis te nemen van de metho­des die hij ge­bruikt, bijvoor­beeld om grote getal­len te ontbin­den in priemge­tallen of daarvan de wortel te nemen. Dit en vele andere verbluf­fende rekenme­thodes worden in het boek op enthou­siaste en toegan­kelijke wijze gepre­sen­teerd. Het boek van Willem Bouman wordt van harte aanbevo­len door profes­sor Henk Tijms, voorzit­ter van de Stich­ting Goed Rekenon­derwijs. Het boek wordt op dinsdag 20 juni 2017 om 16:00 uur gepre­sen­teerd in boekhan­del Haas­beek te Alphen a/d Rijn, de woon­plaats van Willem Bouman.

OMO scholen­groep Tonger­lo Norber­tuscol­lege te Roosen­daal is per 1 augus­tus 2017 op zoek naar een tweede­graads docent wiskun­de LB. Reage­ren op deze vacatu­re kan via deze link.

Vanaf novem­ber 2017 zijn de eerste vmbo-delen beschik­baar als beoorde­lings­exem­plaar, voor gebruik vanaf school­jaar 2018/2019. Voor een eerste indruk kunt u alvast proefka­ternen aanvra­gen van Getal & Ruimte 12^e editie vmbo-bk leer­jaar 1 en vmbo-kgt leer­jaar 1 via getalen­ruimte.noord­hoff.nl.

Als vernieu­wing en innova­tie érgens thuisho­ren, dan is dat wel in het onder­wijs. Voor wiskun­dedocen­ten en leerlin­gen was er al de HP Prime rekenma­chine; de snelste en meest innova­tieve grafi­sche rekenma­chine op de markt met een uniek touch­screen. Nu kunt u dezelf­de grafi­sche kracht ook op uw Windows, Android en Apple iOS devices instal­leren. Alleen HP geeft u een CvTE-goedge­keurde grafi­sche rekenma­chine in combina­tie met een app (app zelf niet toege­staan bij CE) op het plat­form van úw keuze. En dat voor een fractie van de kosten bij een concur­rent! Blijf niet achter in een verande­rende (wiskun­de)wereld en leer meer over hoe HP’s onder­wijsop­lossin­gen u nu en in de toe­komst verder kunnen helpen. Mail voor meer informa­tie en demon­statie­moge­lijkhe­den naar info@hp-prime.nl.

Thema: Wiskun­dige denkac­tivitei­ten en techno­logie. Leerlin­gen uitda­gen en active­ren. Klik hier voor het volledi­ge program­ma. Of meld u direct aan via deze link.