nummer 779, 11 juni 2017

Grafi­sche rekenma­chines bezit­ten moge­lijkhe­den die in examen­situa­ties niet altijd wense­lijk zijn. Dat is onder­tussen alge­meen bekend. De examen­makers probe­ren aan dat oneigen­lijke gebruik paal en perk te stellen door de manier van vraag­stel­ling en met name het gebruik van woorden als algebra­ïsch en exact. Eén vorm van oneigen­lijk gebruik van moderne rekenma­chines blijft echter vaak onder de radar. Het betreft hier de moge­lijk­heid om regres­sieana­lyse te plegen op statis­tische data. Deze statis­tische functie kan erg gemakke­lijk worden 'mis­bruikt' om bijvoor­beeld formu­les bij een lineair of exponen­tieel verband op te laten stellen. Voor­beelden uit actuele examens
Vooral in het examen van wiskun­de A vind je veel opdrach­ten waarbij het opstel­len van formu­les voor lineai­re en exponen­tiële verban­den een rol speelt. Een goed voor­beeld hiervan is vraag 11 uit het examen 2017 vwo wiskun­de A eerste tijdvak. Deze vraag naar een exponen­tieel verband, die vier punten kan opleve­ren, kan met behulp van exponen­tiële regres­sie op eenvou­dige maar oneigen­lijke wijze worden beant­woord. In het havo examen wiskun­de A (2017 eerste tijdvak) is vraag 21 een mooi voor­beeld. In die vraag, die ook vier punten kan opleve­ren, moet de leer­ling het lineai­re verband tussen opper­vlakte en nummer van een serie papier­forma­ten achter­halen. Van de nummers 1 en 5 zijn de afmetin­gen gegeven. Daarbij is gegeven dat het verband tussen opper­vlakte en nummer van de vorm O = a·n + b en dus lineair is. Deze vraag wordt met lineai­re regres­sie wel erg eenvou­dig. Niet alleen de grafi­sche rekenma­chine
Een leer­ling die ver­trouwd is met de moge­lijkhe­den van de regres­sieana­lyse op zijn of haar rekenma­chine hoeft bij derge­lijke vragen alleen maar de twee benodig­de datapa­ren in te vullen om daarna met het juiste type functie de gevraag­de parame­ters tevoor­schijn te toveren. Het is voor de leer­ling die dit trucje, bijvoor­beeld tijdens een examen­trai­ning, heeft geleerd, werke­lijk een fluitje van een cent. De moge­lijk­heid om verban­den via regres­sieana­lyse te bepalen, is tegen­woordig ook op veel 'gewone' rekenma­chines aanwe­zig. Je zou dus kunnen denken dat het beschre­ven 'mis­bruik' ook voor de examens vmbo geldt. Maar omdat in de vmbo eindexa­mens vaak uitdruk­kelijk wordt ge­vraagd om je bereke­ning op te schrij­ven, lijkt het pro­bleem daar minder te spelen. In de vraag­stel­ling wordt op havo en vwo echter meestal vol­staan met de op­dracht 'bereken' en dan is volgens de lijst van examen­werk­woorden de wijze van bereke­nen vrij. Dan mogen dus alle moge­lijkhe­den van de grafi­sche rekenma­chine worden ingezet, ook als dat duide­lijk niet de bedoe­ling was van de opgave. Snelle succes­sen
Is het door mij hierbo­ven beschre­ven 'mis­bruik' van de al dan niet grafi­sche rekenma­chine alom bekend? Op examen­fora wordt regelma­tig verrast gerea­geerd door docen­ten die dit soort oplos­singen voor het eerst zien, bijvoor­beeld bij de tweede correc­tie. Dat zou ook een indica­tie kunnen zijn dat de omvang van het pro­bleem meevalt. Maar wat wordt er in de prak­tijk al stil­zwij­gend getole­reerd? De nadruk op 'snelle' succes­sen neemt gaande­weg toe. Deze komt bijvoor­beeld tot uiting in de toene­mende popula­riteit van de vlak voor de examen­periode aangebo­den examen­trainin­gen. Derge­lijke 'sluipwe­gen' zouden ondanks het verzet van veel docen­ten weleens snel een stuk popu­lairder kunnen gaan worden. Dat vraag mijns inziens om een aanpak op natio­naal niveau. Er moet opnieuw worden nage­dacht over aanpas­singen van de vraag­stel­ling in examens. En mis­schien moet het examen­werk­woord 'bereke­nen' grondig worden geher­formu­leerd. Het vervan­gen van de grafi­sche rekenma­chine door een 'gewone' rekenma­chine biedt bij de huidige stand van de techno­logie voor dit pro­bleem geen soelaas. Gerard Kool­stra

Gerard kaart in zijn bijdra­ge hierbo­ven het oneigen­lijke gebruik van de regres­sieana­ly­tische func­ties van de grafi­sche rekenma­chine aan. Laat ik die gelegen­heid eens aanpak­ken om vraag 11 uit het examen 2017 vwo wiskun­de A eerste tijdvak op alterna­tieve wijze, met behulp van de TI-84 grafi­sche rekenma­chine, uit te werken. De volgen­de gege­vens zijn in de context te vinden:

zoog­dier	levens­duur L (jaren)	hart­slag H (slagen per minuut)
walvis	60	25
hamster	3	450

De op­dracht is om het exponen­tiële verband tussen H en L te vinden. In de formule H = b·g^L moet de parame­ter g in drie decima­len en moet de parame­ter b in gehelen worden gegeven. Uitwer­king

Op mijn rekenma­chine vul ik in lijst L1 de waarden 60 en 3 in. In lijst L2 vul ik de waarden 25 en 450 in. Nu gebruik ik de functie ExpReg en ik vul voor Xlist 'L1' en voor Ylist 'L2' in. Mijn rekenma­chine geeft a = 523.9375051 en b = .9505559296. Mijn ant­woord: g = 0,951 en b = 524.

Deze uitwer­king ont­wijkt zo'n beetje alle vaardig­heden die het examen met deze vraag wil toetsen. Toch heb ik als examina­tor of tweede correc­tor geen keuze. Ik kan uit de 'Regels voor de beoorde­ling' alleen maar opmaken dat ik alle vier de punten van het correc­tievoor­schrift zal moeten toeken­nen. Ton Groene­veld

Voor de leerlin­gen die komend school­jaar in de vierde klas van het havo of vwo zitten, is de 'Medede­ling hulpmid­delen CE 2019 en 2020' van belang. We besteed­den in Wiskun­dE-brief 769 al aan­dacht aan die medede­ling, die het gebruik van de grafi­sche rekenma­chine op het Cen­traal Examen betreft. Onlangs is die medede­ling iets aange­past De extra aanvul­lende eis die in eerdere instan­tie voor TI-appara­ten werd geformu­leerd, blijkt te zijn verval­len. In de nieuwe versie wordt alleen bij HP Prime nog de opmer­king gemaakt dat de examen­stand moet worden inge­steld door de "examina­tor". Verder is aan de tekst over de goedge­keurde TI-Nspire CX (versie zonder CAS) de opmer­king "vanaf versie OS 4.4.0. 532" toege­voegd.

Aan­staande woens­dag, 14 juni, worden de uitsla­gen van de eindexa­mens bekend gemaakt. Dan wordt ook duide­lijk welke vwo-ers er (mede) door de reken­toets niet ge­slaagd zijn. Een vijf voor de reken­toets in combina­tie met een vijf voor een van de vakken wiskun­de, Engels of Neder­lands is dit jaar voor het eerst 'dode­lijk' voor de eindexa­menkan­didaat. Per school is vrij gemakke­lijk na te gaan hoeveel leerlin­gen er mede door de reken­toets nog niet zijn ge­slaagd. Wanneer daar lande­lijk duide­lijk­heid over komt, is onzeker. Vorig jaar was het vanwege de toen gelden­de 'vangnet­rege­ling' zaak om ruim voor de bekend­making van de N-termen duide­lijk­heid te hebben over het percen­tage extra gezak­ten vanwege de reken­toets. Rond deze tijd werd toen door staats­secreta­ris Dekker een Stand van zaken rekenen en taal in vo en mbo naar de Tweede Kamer ge­stuurd. Het is maar zeer de vraag of dat ook dit jaar weer zal gaan gebeu­ren. Onder­zoek?
Mocht dat niet het geval zijn, dan over­weegt de redac­tie van de Wiskun­dE-brief een onder­zoek hier­naar. Mis­schien wilt u aan­staande woens­dag daarom voor uw school alvast letten op het aantal geslaag­de en gezakte vwo-leerlin­gen? Noteer vooral het aantal gezakte leerlin­gen die zonder reken­toets wél ge­slaagd zouden zijn. gk

De pilotfa­se van de Diagnos­tische Tussen­tijdse Toets (DTT) voor wiskun­de, Neder­lands en Engels loopt ten einde. Eerdere plannen om deze toets ver­plicht te maken, zijn van de baan. Vanaf volgend jaar wordt de toets aangebo­den door twee zoge­naamde 'markt­partij­en'. De DTT is een digita­le, adaptie­ve toets die aan het eind van de onder­bouw wordt afgeno­men. Leerlin­gen maken de toets op één van de vijf niveaus vmbo BB, vmbo KB, vmbo GT, havo of vwo. De toets is adap­tief en past zich dus aan het ant­woordge­drag van de leer­ling aan. De DTT analy­seert het kennis­niveau en de onder­liggen­de vaardig­heden van de leer­ling. Deze manier van toetsen sluit aan bij de ontwik­keling van geperso­nali­seerd leren en datage­stuurd werken in het onder­wijs. De afgelo­pen jaren is de DDT op honder­den scholen uitge­pro­beerd in een omvang­rijk project waarbij naast diverse univer­sitei­ten en het commer­ciële bureau Regio­plan het Cito, de SLO en het CvTE zijn betrok­ken. Ruim een jaar geleden ver­scheen in het blad Didac­tief een zeer kri­tisch artikel over dit project. Zie ook Wiskun­dE-brief 727. Twee gegadig­den
Deze week ver­scheen het bericht dat twee organi­saties de DDT vanaf het komende school­jaar gaan aanbie­den, te weten het bedrijf Dedact en een samen­wer­kings­verband van A-VISION en de Univer­siteit Maas­tricht. Dedact gaat de DDT aanbie­den in het kader van het program­ma Learn­beat. A-VISION lijkt zich vooral te richten op de Limburg­se markt. Voor scholen in die provin­cie wordt de DTT geïnte­greerd in de Onder­wijsMo­nitor Limburg. Opmerke­lijk is dat Cito (voorlo­pig?) de toets niet gaat aanbie­den. gk

Het team dat Neder­land deze zomer zal verte­genwoor­digen bij de Interna­tionale Wiskun­de Olympia­de in Brazi­lië is dit weekend geselec­teerd. Zes zeer getalen­teerde jonge­ren hebben in een zware selec­tie ruim 10.000 deelne­mers achter zich gelaten. Alle teamle­den hebben al eerder wed­strijd­erva­ring opge­daan en staan klaar om op deze zeer presti­gieuze, interna­tionale wed­strijd hoge ogen te gaan gooien. In de laatste, door de Rabo­bank gespon­sorde trai­nings- en selec­tieweek in Valkens­waard werden onlangs uit de vijf­tien win­naars van de Neder­landse Wiskun­de Olympia­de de zes leden voor het Neder­landse team geselec­teerd. Die selec­tie vond plaats aan de hand van deze drie selec­tietoet­sen. Dit is de uitein­delijke selec­tie:

• Nils van de Berg,17 jaar, Ooster­hout (NB), 5 vwo, Sint-Oelbert­gymnasi­um Ooster­hout NB.
• Wietze Koops,16 jaar, Meppel, 6 vwo, RSG Stad & Esch Lyceum Meppel.
• Mat­thijs van der Poel, 16 jaar, IJssel­stein, 4 vwo, Christe­lijk Gymnasi­um Utrecht.
• Levi van de Pol, 15 jaar, Veenen­daal, 4 vwo, Ichthus College Veenen­daal.
• Ward van der Schoot, 18 jaar, Breda, 6 vwo, Stede­lijk Gymnasi­um Breda.
• Gabriel Visser, 19 jaar, Spijke­nisse, 6 vwo, Stede­lijk Gymnasi­um Schie­dam.
• Lammert Wester­dijk, 15 jaar, Earne­wald, 5 vwo, Stede­lijk Gymnasi­um Leeuwar­den.

Lammert Wester­dijk gaat mee als winnaar van de aanmoe­digings­prijs, de prijs voor jong en aanstor­mend talent die door het Freuden­thal Insti­tuut van de Univer­siteit Utrecht beschik­baar is gesteld. Trai­nings­kamp
Het Neder­landse team ver­trekt op 7 juli 2017 van Schip­hol naar Rio de Janeiro en bezoekt daar eerst nog een trai­nings­kamp om in topvorm aan de wed­strijd te kunnen begin­nen. Van 16 tot 23 juli vindt vervol­gens de Olympia­de plaats. Op elk van de twee wed­strijd­dagen moeten de leerlin­gen drie opgaven van hoog wiskun­dig niveau uitvoe­ren. Zij krijgen daar steeds precies vier en een half uur de tijd voor. Het Neder­landse team wordt bege­leid door Birgit van Dalen (Univer­siteit Leiden en ISW Hooge­land Naald­wijk), Quin­tijn Puite (Techni­sche Univer­siteit Eindho­ven, Hoge­school Utrecht) en Jetze Zoet­hout (Univer­siteit Utrecht).

Het statis­tiekon­derwijs op het voortge­zet onder­wijs heeft tot doel om belang­rijke statis­tische concep­ten voor de leer­ling inzich­telijk te maken. Maar hoe doe je dat? Hoe maak je moderne statis­tische metho­den en inzich­ten voor het voortge­zet onder­wijs toegan­kelijk? Wij denken dat de 'apps' van VUSTAT u kunnen helpen bij het realise­ren van de genoem­de doel­stel­ling. De apps van VUSTAT zijn gratis beschik­baar en zijn in alle gangba­re brow­sers op alle compu­terplat­forms te gebrui­ken. Over twee apps van VUSTAT, data-analyse en steek­proeven­verde­ling, vertel­len wij u hieron­der graag wat meer. Data-analyse
De app 'Data-analyse' biedt de leer­ling alles wat nodig is om met data­sets om te gaan, zowel op elemen­tair als op gevor­derd niveau. De app is ge­schikt voor onder­bouw en boven­bouw. De dotplot de boxplot en veel andere bekende diagram­men zijn op een eenvou­dige manier tevoor­schijn te toveren. En ook zaken als frequen­tieta­bellen, kruista­bellen en kental­len kunnen heel eenvou­dig worden verkre­gen. Deze app biedt naast voor de hand liggen­de zaken ook verder­gaande opties. Denk daarbij aan het indelen in klassen, aan het groepe­ren en aan het verge­lijken van groepen. Verder biedt de app aller­lei voor­beeld data­sets, zoals de dataset begin.json die alle typen variabe­len bevat voor een vinger­oefe­ning met data-analyse en het verge­lijken van groepen. Steek­proeven­verde­ling
De steek­proeven­verde­ling is een belang­rijk statis­tisch concept dat ook in de eindter­men van havo wiskun­de A is opgeno­men. De steek­proeven­verde­ling is met de app 'Steek­proeven­verde­ling' uitste­kend te simule­ren, wat onont­beer­lijk is voor een goed begrip. Je ziet met deze app wat je doet en je kunt het proces goed volgen. Het begrip wordt lang­zaam opge­bouwd maar de resulta­ten worden snel bere­kend. Je ziet met deze app onmid­dellijk dat een steek­proeven­verde­ling vaak klokvor­mig ver­deeld is, waarbij de √n-wet geldt, ook wanneer de popula­tie bij lange na niet normaal ver­deeld is. Het schat­ten van een p-waarde of het vast­stellen van een betrouw­baar­heidsin­terval werkt in deze app heel eenvou­dig. Dat gebeurt zelfs in omstan­dighe­den waar het toepas­sen van de formu­les niet verant­woord is. De app biedt de leer­ling diverse popula­ties om steek­proeven uit te trekken. De leer­ling kan ook eenvou­dig zelf popula­ties samen­stellen om deze daarna met behulp van steek­proeven te onder­zoeken. De apps zijn te vinden op www.vustat.eu Piet van Blok­land
Carel van de Giessen

Het Huij­gens College is wegens ziekte op zoek naar een wiskun­dedo­cent voor vervan­ging op het vmbo. De omvang van de aanstel­ling be­draagt 0,6−0,8 fte. De ingangs­datum is 1 augus­tus 2017. Inlich­tingen kunt u verkrij­gen bij de heer H. Klaas­sen, waarne­mend rector, tele­foon (072) 576 57 00. Wilt u sollici­teren? Dan ontvan­gen wij uw sollici­tatie­brief en CV graag zo spoedig moge­lijk, uiter­lijk op 22 juni 2017.

Het Sint-Vitus­college in Bussum zoekt met ingang van school­jaar 2017-2018 een eerste­graads of tweede­graads bevoeg­de docent wiskun­de voor 0,6−0,8 fte. Meer informa­tie over de school, de vacatu­re en de sollici­tatie­procedu­re vindt u op www.vitus­college.nl.

OSG Willem Blaeu heeft een vacatu­re wiskun­de met een omvang van 0,6−1,0 fte. Het gaat om een tijde­lijke aanstel­ling (vervan­ging wegens ziekte) tot het einde van het school­jaar. U gaat les geven aan examen­klassen havo/vwo, aan havo/vwo onder­bouw en aan de Taal­klas NT2. Bij geble­ken ge­schikt­heid is er uit­zicht op een vaste aanstel­ling. Inscha­ling in LD is moge­lijk. Sollici­taties graag via www.sovon.nu/vacatu­res.

Vrije­school Zutphen VO (locatie Weerd­slag en Dieser­straat) heeft een vacatu­re voor 0,4−0,6 fte in 7, 8, 9 H/V. Vrije­school Zutphen VO is een school voor voortge­zet onder­wijs waar leerlin­gen vanuit het antropo­sofisch mens­beeld tot volwas­senheid worden bege­leid. De school telt onge­veer 1200 leerlin­gen. Wij bieden een tijde­lijke aanstel­ling van één jaar met uit­zicht op een vaste aanstel­ling. Inlich­tingen worden ver­strekt door de heer Marc Bouman, docent Wiskun­de, tele­foon 0575-538720. Uw gemoti­veerde sollici­tatie, voor­zien van een Curricu­lum Vitae, ontvan­gen wij graag vóór 22 juni 2017, bij voor­keur via het e-maila­dres lwil­lems@vszut­phen.

Als vernieu­wing en innova­tie érgens thuisho­ren, dan is dat wel in het onder­wijs. Voor wiskun­dedocen­ten en leerlin­gen was er al de HP Prime rekenma­chine; de snelste en meest innova­tieve grafi­sche rekenma­chine op de markt met een uniek touch­screen. Nu kunt u dezelf­de grafi­sche kracht ook op uw Windows, Android en Apple iOS devices instal­leren. Alleen HP geeft u een CvTE-goedge­keurde grafi­sche rekenma­chine in combina­tie met een app (app zelf niet toege­staan bij CE) op het plat­form van úw keuze. En dat voor een fractie van de kosten bij een concur­rent! Blijf niet achter in een verande­rende (wiskun­de)wereld en leer meer over hoe HP’s onder­wijsop­lossin­gen u nu en in de toe­komst verder kunnen helpen. Mail voor meer informa­tie en demon­statie­moge­lijkhe­den naar info@hp-prime.nl.

Wiskun­dedocen­ten, met vele jaren erva­ring met examen­groepen, geven in Zwolle op 16, 17 en 18 juni 2017 weer drie­daagse trainin­gen voor het herexa­men vwo Wiskun­de A/C en Wiskun­de B. Ga voor meer informa­tie naar www.mathema­ticus.nl.

Voor de ontwik­keling van de nieuwe editie van de Tweede Fase komen wij graag in contact met docen­ten die hieraan mee willen werken. Heeft u een kriti­sche geest en creatie­ve ideeën, neem dan contact op met Rob Houten­bos, uitge­ver Moderne Wiskun­de, via r.houten­bos@noord­hoff.nl.

De grafi­sche rekenma­chine is een mooi leermid­del voor explora­tie in de wiskun­deles. Hoe onder­zoek je de grafie­ken van deze func­ties zoals y = a·sin(b·x) op je grafi­sche rekenma­chine? Voor de TI-Nspire™ CX gaat het om het gebruik van schuif­balken en het instel­len ervan. Voor de TI-84 PLus gaat het om het gebruik van de meegele­verde app Trans­formati­on Graph­ing. In­schrij­ven kan via info@t3neder­land.nl. U ont­vangt een duide­lijke instruc­tie voor het volgen van het webinar. Doel­groep en techno­logie
Docen­ten wiskun­de boven­bouw (eventu­eel onder­bouw om te gebrui­ken als demon­stratie op een Smart­bord). Er wordt ge­bruikt gemaakt van de TI-84 en de TI-Nspire.

Cursus­sen

• Oplei­ding tot rekenco­ördina­tor: 6 bijeen­komsten. Start 24 novem­ber 2017.
• Motive­ren voor rekenen: 2 bijeen­komsten. Start 9 oktober 2017.
• Werken met passen­de perspec­tieven in het VMBO: 2 bijeen­komsten. Start 9 oktober 2017.

Voor­beelden van maat­werk

Wiskun­de Effec­tief inzet­ten van DWO. Vernieu­wing program­ma’s havo/vwo.	Rekenen Over­gang PO/VO. Rekenen in de vakken.
Alge­meen Diffe­rentië­ren in de klas.

We werken samen met:

Numworx (voor­heen DWO). Ernst Rijn­berg, advi­seur/coach.

www.ecrw.nl
Jenne­ken van der Mark, Ellen Schoo­nen, Madelei­ne Vlie­gent­hart, Peter van Wijk.
info@ecrw.nl