Er komen met ingang van 2019
nieuwe
lijsten van examenwerkwoorden voor wis- en natuurkunde havo/vwo. De
bestaande lijsten worden hiermee meer op elkaar afgestemd. Hoewel er rond de
zomervakantie er nog een uitgebreide toelichting zal worden gepubliceerd,
lijkt het mij zinnig om nu al wat aandacht aan die examenwerkwoorden te
besteden.
Het gaat bij die lijsten van examenwerkwoorden om lijsten waarin nader wordt
beschreven wat bij de Centrale Examens de betekenis is van opdrachten als
bereken,
bepaal en
toon aan. De bestaande lijsten voor
natuur- en wiskunde vertonen een grote overlap. Er zijn echter ook verschillen,
waarvoor bij natuurkunde ook nadrukkelijk wordt gewaarschuwd.
Verschillen
Kijken we voor wiskunde naar de verschillen met de huidige versie, dan valt
op dat het vooral gaat om andere, vaak iets uitvoeriger formuleringen. Voor een
deel is dat een taalkundige kwestie. Vaak wordt er echter, in navolging
van natuurkunde, nog eens uitdrukkelijk vermeld dat "
uit de uitwerking moet
blijken welke stappen zijn gezet".
Zoekend naar meer inhoudelijke verschillen met de huidige lijst,
vielen mij de volgende punten op:
| |
 |
| |
- Bepalen wordt nu expliciet omschreven als Het gevraagde vaststellen
en/of uitrekenen.
- Bij aantonen dat en onderzoeken of kan behalve een redenering
en/of een berekening ook gebruik gemaakt worden van het vaststellen van zaken. Wat
het werkwoord vaststellen, een in discussies vaak gebruikt woord, precies
omvat, wordt verder niet beschreven.
- In navolging van natuurkunde wordt nu ook bij wiskunde geëist dat bij aantonen dat
en onderzoeken of het antwoord wordt afgesloten met een conclusie.
- Er wordt, ook bij wiskunde, uitdrukkelijk gesproken van het afleiden van
bijvoorbeeld een eenheid naast het afleiden van een formule.
- Het werkwoord aflezen komt niet meer in de lijst voor.
- Nieuw zijn de werkwoorden noemen en (aan)geven (wat, welke,
wanneer, hoeveel). Bij gebruik van een van deze woorden wordt geen toelichting
vereist, tenzij daar uitdrukkelijk om gevraagd wordt.
- Bij aantonen of en bewijzen dat wordt gewezen op de mogelijkheid
dat het geven van een tegenvoorbeeld afdoende is.
- Bij wiskunde B behoeven de tekens in de oplossing van een ongelijkheid niet
verantwoord te worden. Als voorbeeld wordt de ongelijkheid
5/x < x genoemd, waarbij alleen
5/x = x exact moet worden opgelost.
De suggestie wordt gewekt dat na het oplossen van
x2 = 5 een antwoord als −√5 < x < 0
of x > √5 niet verder toegelicht hoeft te worden. Helemaal
duidelijk is dit echter niet.
Zinnig?
Ik kan me voorstellen dat niet elke wiskundedocent staat te trappelen om dit
soort lijsten uitgebreid te bestuderen, laat staan te behandelen met leerlingen.
Het lijkt af en toe op een poging om vanzelfsprekendheden precies te beschrijven,
zonder dat het echt duidelijker wordt. Wat levert het op om
berekenen
te vertalen in
uitrekenen. En ook "
uit de uitwerking moet blijken
welke stappen zijn gezet" lijkt veel op het intrappen van een open deur.
Iets dergelijks geldt misschien ook voor de beschrijving van
aantonen
of
afleiden van een formule, hoewel de praktijk leert dat sommige
docenten tot coulance geneigd zijn als leerlingen in plaats van een goede
afleiding of bewijsvoering met een voorbeeld komen aandragen.
Algebraïsch of exact
De begrippen
algebraïsch en
exact worden alleen bij wiskunde B
als bekend verondersteld. Dat betekent natuurlijk niet dat er bij wiskunde A
en C geen algebra voorkomt. Bij activiteiten als het herleiden van een formule of
het bepalen van een afgeleide wordt zeker enige algebraïsche vaardigheid verlangd.
Algebraïsch en
exact zijn bij het CE wiskunde A en C echter geen
bekend veronderstelde begrippen.
Een berekening is
algebraïsch wanneer deze wordt uitgevoerd "
zonder gebruik te
maken van specifieke opties van de grafische rekenmachine; tussenantwoorden en het
eindantwoord mogen benaderd opgeschreven worden". Ter toelichting staat nog
vermeld dat "
daarmee wordt aangegeven dat de grafische rekenmachine als
gewone rekenmachine mag worden ingezet en niet voor meer dan dat". Bij
het
herleiden van een formule, ook van belang bij wiskunde A, wordt
ook deze formulering gebruikt, in combinatie met de aanduiding
stap voor stap.
Technologische definitie
Opmerkelijk, maar niet nieuw, is dat het begrip
algebraïsch wordt gekoppeld
aan de mogelijkheden van een gewone rekenmachine. Een definitie van die gewone
rekenmachine wordt niet gegeven. Ik neem aan dat er een rekenmachine bedoeld
wordt zoals deze is toegestaan op het Centraal Examen bij de niet-wiskundevakken.
| |
 |
| | Wat is een gewone rekenmachine? |
| |
De mogelijkheden van deze rekenmachines zijn vaak behoorlijk groot. Het herleiden en
optellen van wortelvormen is vaak geen probleem.
Klik hier maar eens
voor een mooi voorbeeld. Mijn indruk is dat niet alle docenten op de hoogte zijn
van alle mogelijkheden van de nieuwste generatie gewone rekenmachines. En wie weet wat
ons wat betreft die gewone rekenmachines de komende jaren nog allemaal te wachten staat.
De onzekerheid op dit punt heeft meegewogen bij het verbieden op het Centraal Examen
van het gebruik van een gewone rekenmachine naast een grafische rekenmachine. Je kunt
je afvragen in hoeverre een aan beschikbare technologie gekoppelde omschrijving van het
begrip
algebraïsch voldoende houvast biedt voor de toekomst.
Vragen
Bij de omschrijving van
exact / op exacte wijze lees ik:
Zonder gebruik te maken van een specifieke optie van de grafische rekenmachine;
tussenantwoorden en het eindantwoord mogen niet benaderd opgeschreven worden.
Het onderscheid tussen
exact en
algebraïsch zit hem dus in het het
al dan niet mogen benaderen. Dit lijkt helder maar (b)lijkt in de praktijk niet altijd
voldoende houvast te geven bij het beoordelen van eindantwoorden. Ik noem een paar
voorbeelden van vragen die regelmatig gesteld worden, bijvoorbeeld op examenfora.
- Is 0,5 ook exact?
- Moet een antwoord als 24/60 in plaats van 2/5
ook goed gerekend worden?
- Moeten wortelvormen altijd herleid worden? En hoe ver? Denk aan de verschillende
notaties voor niet rationale antwoorden van tweedegraads vergelijkingen of aan vormen als
2a√(2 + √3) en het gelijkwaardige
a(√2 + √6).
- Is sin(π/6) ook toelaatbaar als exact antwoord? en sin(π/15)?
Vaak geeft het antwoordmodel bij een examen houvast door gelijkwaardige uitdrukkingen
ook goed te rekenen. Maar wordt daarmee het probleem niet alleen maar verschoven? Want wat
is gelijkwaardig? Verder geldt natuurlijk dat docenten het correctievoorschrift niet
willen afwachten en vooraf graag willen weten waar ze aan toe zijn, zodat ze hun
leerlingen goed kunnen instrueren.
Meer regels of meer ruimte?
Het uitbrengen van nieuwe lijsten examenwerkwoorden met betere afstemming tussen
natuurkunde en wiskunde is een sympathiek ogende poging tot meer duidelijkheid.
Wellicht is het de moeite waard om ook de examentermen eens af te stemmen met een vak als
economie of m&o. Het is echter de vraag in hoeverre dit discussies over
de beoordeling van examenwerk voorkomt.
Je kunt je ook afvragen hoe belangrijk en hoe wenselijk het is dat alles rond
het Centraal Examen ondubbelzinnig wordt geregeld. Sommige collega's vinden dat
er teveel in regels wordt vastgelegd, en en de professionaliteit van de
wiskundedocent te weinig ruimte krijgt.
gk
