nummer 752, 9 oktober 2016

Op woens­dag 28 septem­ber 2016 vond de confe­rentie "Hier havo..., hbo hoort u mij?" over de aanslui­ting havo-hbo plaats. Zie ook Wiskun­dE-brief 747. De bijeen­komst stond in het teken van de nieuwe examen­program­ma’s bij de natuur­weten­schappe­lijke vakken en bij wiskun­de. In de discus­sies kwamen algeme­ne thema’s echter veel meer aan de orde. Hieron­der wat indruk­ken en overwe­gingen. De in­stroom in het hbo is zeer divers, varië­rend van mbo tot vwo. De eisen van het hbo zijn wat betreft de vakken­pakket­ten niet altijd robuust te noemen. Ook binnen het tech­nisch hbo is wiskun­de-A vaak voldoen­de voor toela­ting. Wiskun­de D wordt nergens geëist en lijdt op havo dan ook een wat kwij­nend bestaan. De uitval in het eerste jaar van het hbo is groot. Onge­veer een kwart van de havo-in­stroom begint binnen een jaar aan een andere studie. Ruim 10 procent van de studen­ten stopt geduren­de het eerste jaar zelfs hele­maal. Posi­tief over nieuwe ontwik­kelin­gen
Tegen welke proble­men loopt men op het hbo dan zoal op? Desge­vraagd werden ener­zijds de onvol­doende aanwezi­ge wiskun­dige basis­vaardig­heden genoemd. Maar ook het ontbre­ken van andere vaardig­heden, zoals het correct kunnen formule­ren of het logisch kunnen redene­ren, werden genoemd. Er werd vanuit het hbo dan ook overwe­gend posi­tief gerea­geerd op de grotere aan­dacht in de examen­program­ma’s voor de algebra­ïsche vaardig­heden en de wiskun­dige denkac­tivitei­ten. Vanuit het voortge­zet onder­wijs werd er hier en daar weer gewaar­schuwd voor te hoge verwach­tingen van de nieuwe program­ma’s met hun mooi geformu­leerde doel­stellin­gen. Ik hoorde in een voor­dracht over de nieuwe natuur­kunde-examens in dat verband een tref­fend verhaal. De bedoe­ling was dat er bij de nieuwe examens meer aan­dacht zou zijn voor redene­ren en dat er minder gere­kend zou worden. Om dit te 'borgen', werd er vastge­legd dat maxi­maal 50% van de punten met reken­werk behaald zou moeten kunnen worden. In 2015 lukte dat bijna bij het eerste nieuwe examen. Bij het tweede examen in 2016 lukte dat ineens totaal niet meer; meer dan 80% van het examen was 'reken­werk'. Korte termijn
Eén van de grote proble­men bij de over­stap naar het hbo is volgens veel deelne­mers dat er binnen het voortge­zet onder­wijs erg veel aan­dacht is voor korte termijn resulta­ten. Voor het goed scoren op het school­examen en vooral op het Centra­le Examen worden steeds meer lapmid­delen ingezet. Denk hierbij aan examen­trainin­gen en aan aller­lei advie­zen om met zo weinig moge­lijk inspan­ning zoveel moge­lijk punten te verzame­len. Volgens sommige deelne­mers zou het goed zijn om minder naar de eindexa­menre­sulta­ten van scholen en meer naar resulta­ten van de geslaag­den in het vervolg­onder­wijs te kijken. Grafi­sche rekenma­chine
Ook de grafi­sche rekenma­chine, hoewel niet geagen­deerd, kwam te sprake. De GR illu­streert op treffen­de wijze de 'kloof' tussen het voortge­zet onder­wijs en hbo. Op het hbo wordt veel van ICT gebruik gemaakt. De GR wordt buiten de leraren­oplei­ding op het hbo echter maar zelden ge­bruikt. Veel verba­zing oogstte de medede­ling dat de grafi­sche rekenma­chine in alle natuur­weten­schappe­lijke vakken uit de nieuwe program­ma's is verban­nen maar bij het vak wiskun­de nog steeds wordt ingezet. gk

In het nieuwe examen­program­ma wiskun­de A komt ook het begrip 'betrouw­baar­heidsin­terval' voor. Werken met het betrouw­baar­heidsin­terval­len wordt ook op het Cen­traal Examen ge­toetst. Het bepalen van een betrouw­baar­heidsin­terval op basis van steek­proefge­gevens zit echter in veel grafi­sche rekenma­chines inge­bouwd. Hoe moet je hiermee omgaan? In het pilot­examen van 2016, 2^e tijdvak, komt de volgen­de vraag voor: In het correc­tievoor­schrift staat het volgen­de: 1−Prop ZInter­val
Ik vraag me af of deze betrouw­baar­heidsin­terval­len niet bere­kend mogen worden met de grafi­sche rekenma­chine. Op de toege­stane CASIO fx-CG20 krijg je door in het Statis­tics menu te kiezen voor INTR>Z>1-PROP een scherm waar je alleen de relevan­te gege­vens hoeft in te vullen om de grenzen van het betrouw­baar­heidsin­terval te laten bereke­nen. Voor andere merken en types geldt iets derge­lijks. Het beoorde­lingsmo­del volgend, mis je moge­lijk de bolle­tjes 1 en 3. Maar dan is er nog steeds algeme­ne regel 2.3.3, die luidt:

"indien een ant­woord op een open vraag niet in het beoorde­lingsmo­del voor­komt en dit ant­woord op grond van aantoon­bare, vakin­houde­lijke argumen­ten als juist of gedeel­telijk juist aange­merkt kan worden, moeten score­punten worden toege­kend naar analo­gie of in de geest van het beoorde­lingsmo­del;"

Ik vind dat als een leer­ling met de grafi­sche rekenma­chine het betrouw­baar­heidsin­terval bere­kent en op­schrijft wat hij of zij precies op die machine heeft gedaan, je hier­voor alle punten zou moeten toeken­nen. Graag zou ik reac­ties van collega's willen krijgen. Een reactie van CvTE of CITO zou natuur­lijk hele­maal mooi zijn. Judith Brands­ma

Na het plenai­re debat in de Tweede Kamer lijkt het er op dat regi­stratie in het leraren­regis­ter binnen­kort ver­plicht gaat worden. Bezwa­ren van de Raad van State hebben onvol­doende indruk op de Kamerle­den gemaakt. Het verzoek om eerst het draag­vlak eens nader te onder­zoeken, krijgt zo te zien onvol­doende steun in het parle­ment. Het wordt steeds duide­lijker dat docen­ten in hun mening ver­deeld zijn over het nut en de nood­zaak van het Leraren­regis­ter. Vooral in en rond bestu­ren van vakbon­den en vakvere­nigin­gen tref je mensen die het Leraren­regis­ter zien als een manier om de positie van leraren te verster­ken. Anderen zien het Leraren­regis­ter als een manier om (aspi­rant) goede docen­ten te ontmoe­digen met aller­lei bureau­crati­sche regels. Nascho­ling
Met name de rege­ling van de ver­plichte nascho­ling is een bron van erger­nis. Met het bijwo­nen van presti­gieuze evene­menten en mooi vormge­geven, dure 'events' kunnen de benodig­de puntjes bij elkaar worden gesprok­keld terwijl belang­rijke zaken als het bijhou­den van vaklite­ratuur en deelna­me aan inhoude­lijke discus­sies met vakgeno­ten niet in het Leraren­regis­ter worden gehono­reerd. Sommige critici beweren dan ook dat het leraren­regis­ter er voorna­melijk is voor de, vaak commer­ciële, aanbie­ders van aller­lei cursus­sen of work­shops. Informa­tie over de aanbie­ders van nascho­ling en het bijbeho­rende aanbod is uitdruk­kelijk vertrou­welijk. Het is dan ook lastig om te achter­halen welke nascho­ling nu wel of juist niet is goedge­keurd. Ook de redenen van goed- of afkeu­ring kunnen niet worden achter­haald. Dit terwijl het voor ieder­een, ook aanbie­ders, juist weer wel heel gemakke­lijk is om na te gaan of een docent geregis­treerd is en hoeveel geregi­streer­de docen­ten er verbon­den zijn aan een bepaal­de school. Draag­vlak?
Staats­secreta­ris Dekker vertel­de tijdens het debat in de Tweede kamer dat bijna een kwart van de leraren zich hebben inge­schre­ven. Onder­zoek door wiskun­decolle­ga Frans van Haandel laat zien dat dit aantal veel lager ligt. Daarbij moet bedacht worden dat dat regi­stratie nu al ver­plicht is voor de aan­vraag van bijvoor­beeld een leraren­beurs. Voor wiskun­dedocen­ten in het voortge­zet onder­wijs ligt de regis­tratie­graad volgens mij op zo'n 15%. In het verle­den was er naar mijn indruk binnen het bestuur van de NVvW veel steun voor het Leraren­regis­ter. De laatste tijd hoor ik daar echter niet zo veel meer over. Wel wordt er tijdens de komende NVvW studie­dag een work­shop over de Onder­wijscoö­peratie georga­niseerd. De Onder­wijscoö­peratie is de organi­satie achter het leraren­regis­ter. Opmerke­lijk is het dat recente­lijk ook de sector­raden, waaron­der de VO-raad, zich kri­tisch hebben uitgela­ten over het wets­voor­stel. gk Enkele bronnen:

• www.regis­terle­raar.nl
• Ik weiger het leraren­regis­ter.
• Advies Raad van State.
• Bijdra­ge sector­raden.

Afgelo­pen vrijdag heeft het bestuur van de Neder­landse Vereni­ging van Wiskun­delera­ren (NVvW) een reactie gepubli­ceerd op het rapport "Ons Onder­wijs 2032". Eerder ging het om kriti­sche kantte­kenin­gen; nu wordt er duide­lijk stel­ling genomen tegen een aantal kernpun­ten van het rapport. De reactie begint met de consta­tering dat de verdie­pingsfa­se, inge­steld om de betrok­kenheid van docen­ten bij Onder­wijs 2032 te vergro­ten, is mislukt. De actieve bijdra­ge van docen­ten aan discus­sies over dit thema is mini­maal geweest. Vervol­gens wordt er inge­gaan op recente ontwik­kelin­gen met betrek­king tot de curricu­la van de diverse wiskun­devak­ken. Ook wordt in navol­ging met het Delta­plan voor de wiskun­de gepleit voor een perma­nente curricu­lumcom­missie die verder vernieu­wing van het wiskun­decurri­culum kan begelei­den en initië­ren. De groots opgezet­te curricu­lumver­nieu­wing van Onder­wijs 2032 wordt uitdruk­kelijk afgewe­zen. "Stop met deze groots opgezet­te curricu­lum vernieu­wing", is de eerste van drie aanbeve­lingen. De tweede is: "Laat de vernieu­wing vanuit de vakken komen." Vakover­stij­gend
Vakover­stijgen­de activi­teiten vormen een wezen­lijk onder­deel van de voor­stellen van Onder­wijs 2032. Het bestuur van de NVvW is hier zeer kri­tisch over:

"Daarmee gaat het rapport voorbij aan het feit dat leerlin­gen nog in een fase van hun leven zitten waarin zij een vak aan het leren zijn. Uit onder­zoeken, zowel in Neder­land als in het buiten­land, blijkt dat trans­fer van de kennis opge­daan bij een vak in de context van een ander vak heel erg moei­lijk is."

Ruimte voor de wiskun­dele­raar
De NVvW maakt zich grote zorgen over het te verwach­ten leraren­tekort en de mogelij­ke verla­ging van de onder­wijskwa­liteit. Er moet een werkom­geving gecre­ëerd worden waarin een docent effici­ënt en effec­tief onder­wijs kan voorbe­reiden en verzor­gen volgens profes­sionele stan­daarden. Ook wordt gepleit voor de invoe­ring van een ver­plichte lesuren­tabel per vak om zo voldoen­de onder­wijs­tijd te garande­ren. Binnen deze uren zou de vrij­heid van docen­ten groter moeten worden dan nu. Aardig, waardig en vaardig
Ook met een ander kern­punt van Onder­wijs 2032, te weten het idee dat door middel van een curricu­lumver­nieu­wing invul­ling gegeven moet worden aan het opvoe­den van leerlin­gen, wordt korte metten gemaakt.

"Hier slaat het rapport de plank volle­dig mis. Het is kenne­lijk in de aanloop van het tot stand komen van het rapport niet duide­lijk gewor­den dat leraren juist de hele dag óók bezig zijn met de opvoe­ding van de leerlin­gen. Het idee dat hier middels een curricu­lumver­nieu­wing invul­ling aan gegeven moet worden, vinden we een misken­ning van het werk van de leraren op het gebied van de opvoe­ding van de leerlin­gen."

gk

Ik wil graag kort reage­ren op de bijdra­ge van Simon Biesheu­vel in Wiskun­dE-brief 751. Want wie mijn stukjes "Vastge­roest" in Eucli­des regelma­tig leest, moet het opgeval­len zijn dat het altijd stukjes met een knipoog zijn. Zeker, ik wil graag een discus­sie uitlok­ken. In een wereld die door de compu­ter steeds exacter wordt, worden we tegelij­kertijd steeds slordi­ger. Alleen het resul­taat telt; hoe het resul­taat verkre­gen wordt, is minder belang­rijk. Wiskun­de is een exact vak met een eigen taal en met een eigen taalge­bruik. Ik zou dat aspect best eens wat meer gehono­reerd willen zien. Ter gerust­stel­ling: Als ik de cursus "Hoe kijk je een examen na" geef, volg ik, net als bij het nakij­ken van examens, uiter­aard altijd de richt­lijnen van het CvTE zoals die zijn ver­woord in het artikel Gelijke monni­ken gelijke kappen. Ab van der Roest

In tegen­stel­ling tot wat Simon Biesheu­vel in Wiskun­dE-brief 751 schreef, heb ik met genoe­gen het artikel van Ab van der Roest in Eucli­des jaar­gang 92 nummer 1 gelezen. Het ging in dat artikel over de inter­preta­tie van het correc­tievoor­schrift in het geval dat er een grafi­sche rekenma­chine moet worden ge­bruikt. Wat Ab in zijn artikel schreef, is mij uit het hart gegre­pen. Ik zou zelfs nog wel een stapje verder willen gaan, zoals ik ook schreef in mijn artikel "een toelich­ting is vereist" in Eucli­des jaar­gang 88 nummer 4, dat in aange­paste vorm via deze link te vinden is. Snij­punt bereke­nen
Bij de vraag "Bereken in 2 decima­len de x-coördi­naat van dit snij­punt" geeft het correc­tievoor­schrift een eerste punt voor het op­schrij­ven van de verge­lijking. Het tweede punt kan worden behaald met een be­schrij­ving van hoe deze verge­lijking met de grafi­sche rekenma­chine kan worden opge­lost en het derde punt is voor het uitein­delijke ant­woord op de vraag. Simon Biesheu­vel stelt in zijn bijdra­ge in Wiskun­dE-brief 751:

"Het correct be­schrij­ven hoe je met de grafi­sche rekenma­chine aan de oplos­sing komt, moet volgens mij dan ook meteen al de eerste twee punten opleve­ren."

Hoewel het correc­tievoor­schrift het tot twee maal toe over een verge­lijking heeft, vindt Simon het dus voldoen­de dat een leer­ling de procedu­re op de grafi­sche rekenma­chine en de taal van de grafi­sche rekenma­chine ge­bruikt om dit pro­bleem op te lossen, zonder die verge­lijking te noemen. Ik vind dat geen wiskun­de meer. Zeker bij havo wiskun­de B mag je verwach­ten dat een leer­ling kan aange­ven wat de algebra­ïsche procedu­re is om het snij­punt van twee grafie­ken te bepalen, ook al kan hij of zij die procedu­re niet zonder grafi­sche rekenma­chine voltooi­en. Als alleen iets als Y₁, Y₂ en Inter­sect of Solve voldoen­de is voor de eerste twee punten, dan wordt er volgens mij alleen knoppen­vaardig­heid en geen wiskun­de meer ge­toetst. Ik zou om die reden zelfs het tweede punt, het be­schrij­ven van welke knoppen je indrukt, willen schrap­pen uit het correc­tievoor­schrift. Binomia­le verde­ling
Hoewel ik het ook in het geval van de opgave over de binomia­le verde­ling uit het havo wiskun­de A examen meer met Ab dan met Simon eens ben, kan ik daar wél een eind met Simon meegaan als hij vindt dat met binom­cdf(15,1/6,2) = 0,53 volle­dig aan het correc­tievoor­schrift voldaan wordt. Mis­schien moet je een havo wiskun­de A leer­ling het niet benoe­men en gebrui­ken van een kansva­riabele in dat geval niet te zwaar aanreke­nen. Blijft de vraag hoe vrij een correc­tor met het correc­tievoor­schrift kan en mag omsprin­gen. Waar ligt ergens de grens tussen de Algeme­ne regel 2.3.3 en de NB1 (zie voet­noot)? Naar mijn gevoel ligt die grens dichter bij Ab dan bij Simon. Erik Korthof Algeme­ne regel 2.3.3: indien een ant­woord op een open vraag niet in het beoorde­lingsmo­del voor­komt en dit ant­woord op grond van aantoon­bare, vakin­houde­lijke argumen­ten als juist of gedeel­telijk juist aange­merkt kan worden, moeten score­punten worden toege­kend naar analo­gie of in de geest van het beoorde­lingsmo­del; NB1: Het College voor Toetsen en Examens heeft de correc­tievoor­schrif­ten bij rege­ling vastge­steld. Het correc­tievoor­schrift is een zogehe­ten alge­meen verbin­dend voor­schrift en valt onder wet- en regelge­ving die van over­heidswe­ge wordt ver­strekt. De correc­tor mag dus niet afwij­ken van het correc­tievoor­schrift.

De knipoog van Ab van der Roest is best aardig. Je hebt er echter niet zoveel aan als je tweede correc­tor vindt dat er een punt van de score af moet omdat de leer­ling verge­ten is op te schrij­ven welke wiskun­dige gedach­te er achter zijn of haar rekenma­chine­taal verscho­len zit. Het pro­bleem zit hem volgens mij ten diepste in het feit dat we binnen de wiskun­de de grafi­sche rekenma­chine een te grote rol hebben toebe­deeld. De produ­centen van de rekenma­chines hebben ons daar­voor beloond met de produc­tie van steeds geavan­ceerde­re rekenma­chines. En dat geeft weer nieuwe proble­men; volg bijvoor­beeld de discus­sie over de examen­stand maar. Over de twee voor­beelden van Ab van der Roest wil ik het onder­staande opmer­ken. Verge­lijking oplos­sen
Als een leer­ling een verge­lijking oplost door op te schrij­ven Y₁=..., Y₂=... en Inter­sect, dan geeft de leer­ling daarmee volgens mij duide­lijk aan dat hij of zij een verge­lijking oplost. Het eerste bolle­tje is daarmee ge­scoord. Maar inder­daad, het is wel rekenma­chine­taal en geen wiskun­de. Binomia­le verde­ling
De uitwer­king binom­cdf(15,1/6,2) = 0,53 geeft in één uitdruk­king aan wat er in het correc­tievoor­schrift staat. Binom­cdf staat voor "ik gebruik de cumula­tieve binomia­le verde­ling". De parame­ters n, p en k zijn genoemd en het ant­woord is correct gegeven. Maar ook hier is het weer rekenma­chine­taal en geen correc­te wiskun­dige notatie. In beide geval­len kan de leer­ling punten missen of juist wel krijgen omdat de examina­tor en de gecom­mitteer­de het niet eens zijn over hoe het een en ander beoor­deeld moet worden. En welke van de twee docen­ten, de examina­tor of de gecom­mitteer­de, haalt dan zijn of haar gelijk binnen? De eerste stap
Leerlin­gen slaan vaak de eerste stap van het correc­tievoor­schrift over en begin­nen direct met het noteren van de uitwer­king op de grafi­sche rekenma­chine. De uitwer­king van de opgave is dan in rekenma­chine­taal geno­teerd maar geeft meestal wel goed aan wat de leer­ling heeft gedaan en hoe de leer­ling heeft gedacht. Moeten we deze niet wiskun­dige notatie een leer­ling dan aanreke­nen? De grafi­sche rekenma­chine heeft binnen de wiskun­de onder­tussen zo'n promi­nente plaats gekre­gen dat ik best kan begrij­pen dat een leer­ling een eerste stap, zoals bijvoor­beeld het op­schrij­ven van een verge­lijking, vergeet. Is dat zo belang­rijk? Gaat het bij de wiskun­de dan niet vooral om de denk­stappen van de leer­ling? Moet je dan werke­lijk met akelige preci­sie het correc­tievoor­schrift toepas­sen? Beschei­den rol
Net als veel collega's zou ook ik van die rekenma­chine­taal verlost willen worden. Dat bete­kent dat we de rol van de grafi­sche rekenma­chine binnen ons vak moeten terug­dringen en dat we ons weer met echte wiskun­de moeten gaan bezig­houden. Dat vraagt veel aanpas­singen in metho­des en examens. Voorlo­pig zie ik dat helaas nog niet gebeu­ren. Totdat de grafi­sche rekenma­chine weer de gewens­te, beschei­den rol heeft gekre­gen, zou Cito in het correc­tievoor­schrift mis­schien wat extra aanwij­zingen moeten geven voor de beoorde­ling van vragen die met de grafi­sche rekenma­chine kunnen of moeten worden opge­lost. Tineke van den Berg

Het nieuwe program­ma van Jan Beuving toert door het hele land: Raak­lijn. Boorde­vol wiskun­de, van Fermat tot Freuden­thal, van de tangens tot de reken­toets. Marjo­lein Kool na de eerste avond­vullen­de try-out: Komt het zien! Jan is wéééér goed!!! Kijk voor de speel­lijst op www.janbeu­ving.nl, of klik hier.

Bij Moderne Wiskun­de is er volop nage­dacht over de verdere digita­lise­ring van de methode. Geperso­nali­seerd leren is hierbij een sleutel­begrip. Geperso­nali­seerd leren vindt u in de adapti­viteit van onze nieuwe 12^e editie onder­bouw terug. Wilt u graag een presen­tatie 'op maat' ontvan­gen? Stuur dan een e-mail naar r.houten­bos@noord­hoff.nl.

Op woens­dag 16 novem­ber 2016 organi­seert Noord­hoff Uitge­vers het Wiskun­deCon­gres in het NBC Congres­centrum in Nieuwe­gein. Dit jaar met als thema: de nieuwe genera­tie! Ontdek alles over deze dag op www.nuwis­kunde­congres.nl en schrijf u alvast in!