nummer 741, 29 mei 2016

Afron­den blijft een heikele kwestie, Dat geldt niet alleen bij de reken­toets maar ook zeker op het Cen­traal Examen. Met name is dat bij het vak wiskun­de A/C het geval. Daarom leek het zo goed dat het CvTE aan het begin van dit school­jaar een algeme­ne toevoe­ging aan het correc­tievoor­schrift publi­ceerde over dit thema. In die toevoe­ging staat uitdruk­kelijk vermeld dat in het ant­woord van de kandida­ten de kansen moeten worden vermeld met min­stens 2 decima­len of als een geheel percen­tage, met de toevoe­ging: "Meer decima­len zijn vereist als dat nodig is om af te wijken van 0 of 1". Nu valt er op de zinnig­heid van deze algeme­ne afrond­instruc­tie best wat af te dingen. Maar de instruc­tie geeft in ieder geval duide­lijk­heid. Daarom heeft de redac­tie in Wiskun­dE-brief 712 en Wiskun­dE-brief 735 ook uitdruk­kelijk aan­dacht besteed aan deze nieuwe, algeme­ne afrond­instruc­tie. Op het Cen­traal Examen wiskun­de A vwo bleek echter meteen al dat het hante­ren van de eigen regels klaar­blijke­lijk erg moei­lijk is. Vraag 8 luidde:

"Bereken, uitgaan­de van de genoem­de normale verde­ling, de kans dat de gemid­delde reactie­tijd van een groep van 22 wille­keurig gekozen mannen 631 millise­conde of meer is."

Een bereke­ning met behulp van de normale verde­ling levert hier een ant­woord op van onge­veer 0,00053. Bij het hante­ren van de conti­nuï­teits­correc­tie, dat hier goed verde­digbaar is, kom je op een kans van onge­veer 0,00062. Volgens het algeme­ne voor­schrift voor­schrift mag die kans niet afge­rond worden op twee decima­len omdat het resul­taat dan niet afwijkt van 0. Afron­den op drie decima­len levert echter 0,001 op en dat ant­woord voldoet wel aan de regels. Boven­dien is dat ant­woord dan zowel met als zonder conti­nuï­teits­correc­tie in orde. In alle opzich­ten een prima ant­woord dus. In het binden­de correc­tievoor­schrift staat echter:

• De kans is 0,0005 (of 0,05%) (of nauwkeu­riger)

Met daarbij als opmer­king: "Als de stan­daardaf­wijking wordt afge­rond op 11 en de kandi­daat hier­door uitkomt op een kans van 0,0004, hier­voor geen score­punten in minde­ring brengen". Veel collega's vroegen zich enigs­zins vertwij­feld af wat nu wel en wat niet goed gere­kend mocht worden. Uitein­delijk kwam het CvTE bijna een week later met het verlos­sende woord: ook 0,001 mag worden goedge­rekend, hoewel dit getal onge­veer het dubbele is van het beoogde ant­woord. Percen­tages of frac­ties?
Vaak wordt in de vraag­stel­ling het vereis­te aantal decima­len opgeno­men maar ook dat geeft soms verwar­ring. Bij vraag 4 van het havo wiskun­de A examen moest de kans ¹/₂₁₆ worden afge­rond op drie decima­len. Uiter­aard geeft dat het ant­woord 0,005. Maar een kansen mag ook in een percen­tage worden gegeven. Het correc­tievoor­schrift schrijft in dat geval het ant­woord 0,463% voor. Maar zou het ant­woord 0,5% daar niet ook moeten worden goedge­rekend? Een kandi­daat kan immers best eerst de kans als fractie hebben bere­kend en afge­rond en er daarna pas een percen­tage van hebben gemaakt. Soms doet de gevraag­de nauwkeu­righeid wat potsier­lijk aan. Bij vraag 18 van het vwo-examen wiskun­de A moet op basis van drie uit een diagram af te lezen verande­rings­percen­tages een totaal verande­rings­percen­tage worden bere­kend dat in twee decima­len nauwkeu­rig moet worden vermeld. De toege­stane toleran­tie bij het aflezen is echter 0,1% waar­door die antwoor­den kunnen varië­ren van 8,47% tot 9,03%. Zelfs als je uitgaat van opti­maal aflezen, heb je drie keer met een een onnauw­keurig­heid te maken van 0,05%, wat 'optelt' tot bijna 0,15%. Het blijft ploete­ren... gk

Ik wil graag protest aanteke­nen tegen de hoeveel­heid aanvul­lingen op de correc­tievoor­schrif­ten en de inhoud ervan. Ik bespeur name­lijk een exponen­tiële toename in het aantal aanvul­lingen op het correc­tievoor­schrift. Die toename wekt bij mij de indruk dat de kwali­teit van de examens die Cito en het CvTE aanleve­ren, een dalende trend ver­toont. Dat zal toch niet waar zijn en kan toch niet de bedoe­ling zijn? Het is daarbij buiten­gewoon verve­lend om, als je nét klaar bent met corrige­ren, nog­maals de hele stapel door te moeten werken om de aanvul­lingen op het correc­tievoor­schrift te verwer­ken.

Kritiek op aanvul­lingen Ik ben het verder niet eens met de inhoud van de aanvul­lingen van dit jaar. Bij vwo wiskun­de A wordt een vraag afge­keurd waar volgens mij niets op aan te merken is, alleen omdat er tijdens een examen­bespre­king opmer­kingen zijn gemaakt over de vraag­stel­ling. Hoe stevig staat het CvTE in zijn schoe­nen? Durft het CvTE ook "nee" te verko­pen als het werk­veld iets ter discus­sie stelt? Ook wordt een afron­ding van 0,0005 naar 0,001 goedge­keurd; een afron­ding die neer­komt op een verdub­beling. Hoewel signifi­cantie bij wiskun­de een heel andere rol speelt dan bij natuur­kunde, vind ik dit een ver­keerd signaal naar toekom­stige eindexa­menkan­didaten.

Tussen­tijds afron­den
Bij havo wiskun­de A wordt tussen­tijds afron­den toege­staan waar­door het ant­woord flink kan afwij­ken van het ant­woord in het correc­tievoor­schrift. Dit terwijl we toch leerlin­gen willen leren om onafge­rond door te blijven rekenen met de tussen­tijds verkre­gen antwoor­den om al te grote afwij­kingen in het eindre­sultaat tegen te gaan. Als we deze afron­dings­prak­tijk toe­staan, waar blijven we dan? Moeten we dan straks een afron­ding voor een groei­factor van 1,024 naar 1,02 ook goed gaan rekenen? Met de uiter­aard grote gevol­gen voor een uit­komst van bijvoor­beeld 1,02⁵⁰? Bert Kraai, Vrije­school Zutphen VO

De redac­tie heeft nog geen berich­ten ontvan­gen over inciden­ten rond de ver­plichte instel­ling (examen­stand of reset) van de grafi­sche rekenma­chines tijdens het afgelo­pen Centra­le Examen. Wel lijkt het erop dat sommige leerlin­gen de dupe zijn gewor­den van het terug­sprin­gen naar de graden-instel­ling tijdens de reset van de grafi­sche rekenma­chine. Het niet goed inge­steld zijn van de grafi­sche rekenma­chine bij goniome­trische opgaven is een bekend pro­bleem. Vaak komt dat omdat kort daar­voor (bijvoor­beeld bij natuur­kunde of wiskun­de D) met graden is gere­kend. Bij het afgelo­pen examen wiskun­de B havo waren er berich­ten dat sommige leerlin­gen blijk­baar niet in de gaten hebben gehad dat bij een reset de stan­daardin­stel­ling worden her­steld en de machine dan op graden wordt inge­steld. Ook als de grafi­sche rekenma­chine een examen­stand heeft, kan dit pro­bleem optre­den. bij het instel­len van de examen­stand vragen niet alle grafi­sche rekenma­chines uitdruk­kelijk om de gewens­te hoek­maatin­stel­ling.

Volgend jaar zullen op het havo de eindexa­mens volgens het nieuwe program­ma plaats­vinden. Het lijkt daarom zinnig om wat meer aan­dacht te beste­den aan de pilotex­amens die al een reeks van jaren op een beperkt aantal scholen worden afgeno­men. Eén van de grote verande­ringen bij wiskun­de A/C is de aanpak van de statis­tiek en kansre­kening. Op het vwo wordt dit onder­werp alleen op het school­examen ge­toetst; op het havo is uitein­delijk beslo­ten het onder­werp ook op het Centra­le Examen aan de orde te laten komen. Ik was be­nieuwd hoe dit zeer interes­sante maar ook verra­derlij­ke onder­werp in het havo-examen aan­dacht zou krijgen. Geluk­kig zijn ook de opgaven en correc­tievoor­schrif­ten van de pilotex­amens via Cito voor ieder­een beschik­baar. Ik ben niet ver gekomen. Bij opgave 3 ging bij mij reeds de alarm­bel af:

"Voor het onder­zoek 'Sociale samen­hang' in 2013 werden gege­vens verza­meld onder de Neder­landse bevol­king. Er deden 7400 aselect getrok­ken perso­nen aan dit onder­zoek mee. Van de deelne­mers gaven 4292 perso­nen aan vertrou­wen te hebben in de mede­mens. Op basis van deze gege­vens worden de volgen­de twee uitspra­ken gedaan over het percen­tage Neder­landers dat (in 2013) vertrou­wen had in de mede­mens: Het is meer dan 95% zeker dat het percen­tage Neder­landers dat vertrou­wen had in de mede­mens, in het inter­val [56,6 ; 59,4] ligt. Het is minder dan 95% zeker dat het percen­tage Neder­landers dat vertrou­wen had in de mede­mens, in het inter­val [56,6 ; 59,4] ligt. Eén van deze twee uitspra­ken is juist."

Het is goed dat er aan­dacht wordt besteed aan betrouw­baar­heidsin­terval­len, waar­door een gevon­den steek­proef­percen­tage (in dit geval 58) wat "in perspec­tief" wordt gezet en niet wordt verward met percen­tage in de popula­tie. Maar de inter­preta­tie van betrouw­baar­heidsin­terval­len die hier wordt ge­bruikt, is een bekende en beruch­te, onjuis­te inter­preta­tie. De beden­ker van de betrouw­baar­heidsin­terval­len (J.Neyman) wees hier al op. Je kunt niet zeggen dat de echte waarde met 95% kans binnen een 95%-betrouw­baar­heidsin­terval ligt. Mooi maar weerbar­stig
Een inhoude­lijke behande­ling van juiste en onjuis­te inter­preta­ties van betrouw­baar­heidsin­terval­len zou te ver gaan¹). Waar het me om gaat, is dat de vakin­houde­lijke juist­heid van lessen en examens gegaran­deerd moeten zijn, juist als het gaat om rela­tief nieuwe onder­werpen. Statis­tiek is een mooi maar ook weerbar­stig onder­werp, ook omdat er bij statis­tisch onder­zoek vaak grote belan­gen op het spel staan. Dat maakt het extra belang­rijk dat leerlin­gen op een juiste manier worden voorge­licht. Dat is alleen moge­lijk als docen­ten en examen­makers zelf heel goed op de hoogte zijn van alle valkui­len. Daar­over maak ik me eerlijk gezegd wat zorgen. gk ¹Ik verwijs kort­heids­halve naar dit artikel van dr. R Hoek­stra van de RUG en de Engelse Wikipe­dia. Er bestaat een vracht aan litera­tuur over dit onder­werp.

Mede naar aanlei­ding van de discus­sies over de eerste en tweede correc­tie (zie bijvoor­beeld Wiskun­dE-brief 709) wordt er nu door Cito een uitge­breide lande­lijke enquête naar de correc­tieprak­tijk in het voorge­zet onder­wijs georga­niseerd. Voor de enquête zijn twaalf examen­vakken uitgeko­zen, waaron­der wiskun­de op vmbo gl en tl. Het gaat om een enquête per (fysieke) post. De papie­ren vragen­lijsten zijn vorige week verzon­den naar de scholen, gericht aan de sectie­leiders. De scholen moeten voor de verdere distri­butie zorgen. Vraag de brief op
Cito ver­zoekt u vriende­lijk om, als u één of meer examen­groepen wiskun­de vmbo gt heeft, de vragen­lijst zo nodig op uw school op te vragen en dan in te vullen en op te sturen. Het invul­len kost u onge­veer een kwar­tier. De NVvW onder­steunt dit verzoek maar heeft wel wat beden­kingen tegen de opzet van de enquête. Het negeren van de havo/vwo wiskun­devak­ken in dit onder­zoek vindt de NVvW onver­teer­baar. Uit aller­lei reac­ties, bijvoor­beeld op het examen­forum van de NVvW, blijkt dat daar met name tal van 'pijnpun­ten' zitten.

De Radboud Docen­ten Acade­mie organi­seert in het komend cursus­jaar een DOT (Docent­Ontwik­kelTeam) met als thema Analyti­sche meetkun­de vol varia­tie. In deze DOT ontwer­pen docen­ten gezamen­lijk lessen analyti­sche meetkun­de. Analyti­sche meetkun­de is de samen­komst van de wereld van de meetkun­de en de wereld van de algebra door de intro­ductie van het coördi­naten­stelsel. Proble­men in de analyti­sche meetkun­de zijn hier­door vaak op ver­schil­lende manie­ren op te lossen. In deze DOT richten we ons in het bijzon­der op het in de les gebrui­ken van proble­men waar meerde­re oplos­singsme­thoden voor zijn. Hoe gebruik je derge­lijke proble­men in je les om de leerlin­gen aan te zetten tot wiskun­dig denken? Veer­tien bijeen­komsten
In de cycli­sche methode van ontwerp­onder­zoek (ontwerp, uitvoe­ring, evalua­tie) gaan we gezamen­lijk aan de slag met deze vraag. We beste­den uitge­breid aan­dacht aan het evalue­ren van de lessen door de klassen­gesprek­ken te filmen en te analyse­ren. In de periode septem­ber 2016 tot en met juni 2017 zijn er op de donder­dagmid­dagen tien bijeen­komsten van twee uur en vier langere bijeen­komsten van vier uur gepland. De exacte data worden nog bekend gemaakt. De prijs voor deelna­me is € 495,= per persoon. Meer informa­tie vindt u via deze link.

De over­gang van primair naar voortge­zet onder­wijs is wat betreft wiskun­de en rekenen voor veel leerlin­gen een grote stap. Naast algeme­ne, proces­matige aspec­ten speelt bij deze aanslui­ting ook de vakin­houde­lijke aanslui­ting een grote rol. Om die aanslui­ting te onder­zoeken, hebben wij een vragen­lijst ontwor­pen waar­voor wij graag uw aan­dacht vragen. Natuur­lijk speelt het over­gangs­pro­bleem ook voor andere vakken. Ons onder­zoek richt zich echter alleen op de reken­kundige en wiskun­dige aanslui­ting tussen primair en voortge­zet onder­wijs. Met het invul­len van onze vragen­lijst geeft u ons inzicht in de knelpun­ten die u ziet bij de over­gang van po naar vo wat betreft rekenen en wiskun­de. Op basis van uw reac­ties zullen we een prakti­sche publica­tie maken die ingaat op de door u gesigna­leerde knelpun­ten en de door u geventi­leerde wensen met betrek­king tot dit onder­werp. Kwar­tiertje werk
Onze vragen­lijst is via deze link bereik­baar. Het invul­len kost u een klein kwar­tiertje. De vragen­lijst staat tot en met vrijdag 7 juni 2016 open. De resulta­ten worden uiter­aard geheel anoniem ver­werkt. Alvast enorm bedankt voor uw medewer­king. Francis Meester, voorzit­ter NVORWO
Swier Garst, voorzit­ter NVvW
Anneke Note­boom, project­leider vanuit SLO

In hoofd­stuk K van Getal & Ruimte editie 2011 wordt behan­deld hoe func­ties van de vorm kunnen worden geprimi­tiveerd. Het boek doet geen moeite om de drie ver­schil­lende resulta­ten die horende bij een discri­minant die groter is dan 0, gelijk is aan 0 en kleiner is dan 0 met elkaar te vereni­gen. Het blijkt zeer de moeite waard, en het is mijns inziens ook didac­tisch verant­woord, om dat wel te doen. In dit artikel­tje laat ik zien dat de primi­tieven meer op elkaar lijken dan je in eerste instan­tie mis­schien zou verwach­ten. Bij het door­zien van het onder­liggen­de verband speelt de ar(c)tanh een crucia­le rol. Het primiti­veren van dit type gebro­ken func­ties maakt dit jaar in vwo 5, helaas voor de laatste maal, deel uit van het school­examen. Rik Snel, Oost­vaar­ders College, Almere

Het brede regiona­le steun­punt Arnhem/Nijme­gen is een samen­wer­kings­verband van de Radboud Pre-Univer­sity College of cience en het HAN College of Techno­logy. Het huis­vest vak­steun­punten voor biolo­gie, natuur­kunde, schei­kunde, informa­tica, wiskun­de D en NLT. Als steun­punt willen wij via een behoef­tepei­ling nagaan of er voor havo moge­lijkhe­den en wensen zijn voor leer­lingac­tivitei­ten voor de vakken wiskun­de A, B en D. Wij denken hierbij aan diverse onder­werpen, gerela­teerd aan diverse, zowel hardere als zachte­re, techni­sche oplei­dingen. Wij willen van wiskun­desec­ties van scholen in de omge­ving Arnhem-Nijme­gen met een havo-afde­ling heel graag weten of zij aan derge­lijke activi­teiten zouden willen deelne­men. Ook willen wij graag weten of u aan de ontwik­keling ervan deel zou willen nemen in de vorm van een zoge­naamd DOT (Docent­Ontwik­kelTeam). Wiskun­de-D-online voor havo?
Ook zijn we erg be­nieuwd of wiskun­de-D-online, dat momen­teel functio­neert voor vwo-scholen, een interes­sante optie zou zijn voor uw havo-afde­ling. Indien dit idee door uw vaksec­tie wordt onder­steund, zou de HAN hier moge­lijk een facili­terende rol in kunnen spelen. De enquete met toelich­ting is hier te vinden. U kunt deze enquête downloa­den, digi­taal invul­len en vervol­gens weer retour­neren aan hcot@han.nl. Doe dat dan wel graag voor 24 juni 2016. Heeft u andere ideeën of wensen omtrent het vak­steun­punt? Wij ontvan­gen uw ideeën heel graag op hcot@han.nl. Christi­aan Boudri, coördi­nator Vak­steun­punt Wiskun­de HAN

NHL Hoge­school zoekt een Leraren­oplei­der Wiskun­de (0,6−1,0 normbe­trek­king). Meer informa­tie over deze vacatu­re vindt u via deze link.

Scholen­gemeen­schap Marken­hage te Breda zoekt tweede­graads docen­ten wiskun­de voor een vacatu­re van 1,7 fte in de onder­bouw. Marken­hage is een Dalton school voor vmbo-TL, havo en vwo met een cultuur­profiel. Informa­tie is te verkrij­gen bij de heer D. Boots, conrec­tor, via d.boots@marken­hage.nl of 076-5141152.

Verande­ringen in de examen­eisen beteke­nen verande­ring van (grafi­sche) rekenma­chine. Waarom dan niet meteen voor de beste machine kiezen? Als docent kunt u de nieuwe grafi­sche rekenma­chine van HP nu koste­loos testen. Neem contact op met p.scha­dron@hp-prime.nl voor meer informa­tie en ontvang een HP Prime voor u en/of de sectie. Zeer snelle, nieuwe proces­sor. Een touch­screen met kleur en hoge resolu­tie. Het is tenslot­te 2016. Door het CvTE goedge­keurde examen­modus. Volledi­ge support van Noord­hoff voor G&R en MW online beschik­baar. Neem ook eens een kijkje op www.hp-prime.nl voor veel meer informa­tie over de HP Prime rekenma­chine en voor Neder­lands lesmate­riaal.