nummer 725, 17 januari 2016

In Wiskun­dE-brief 724 liet ik zien dat de ontwik­keling van de cijfers voor het Cen­traal Examen vrij grillig en de ontwik­keling van de school­examen­cijfers juist heel stabiel was. In beide geval­len is er sprake van een duide­lijke opwaart­se trend maar de ontwik­keling van de CE-cijfers is ronduit specta­culair. Bij het bekij­ken van mogelij­ke oorza­ken keken we naar de roem­ruchte N-termen. Die spelen inciden­teel een rol maar vormen geen afdoen­de verkla­ring voor de ontwik­keling. Hieron­der ga ik wat verder in op andere mogelij­ke verkla­ringen voor de ontwik­keling van de examen­cijfers. Ik beperk me hierbij hoofdza­kelijk tot havo en vwo. Strenge­re selec­tie?
Over dit onder­werp is al veel gespecu­leerd. Wordt er de laatste jaren stren­ger geselec­teerd door gewij­zigd beleid van scholen? Of selecte­ren leerlin­gen zich­zelf stren­ger? Is er sprake van een vlucht van 'moeilij­kere' naar 'gemakke­lijke' wiskun­devak­ken? Dat laatste is nu goed te contro­leren met de beschik­bare cijfers. De afgelo­pen jaren is er op havo en vwo een lichte ver­schui­ving van onge­veer 2 procent­punten te zien geweest van wiskun­de B naar wiskun­de A. Die ver­schui­ving lijkt echter van tijde­lijke aard te zijn want in 2015 was het percen­tage examen­kandida­ten met wiskun­de B op het havo name­lijk alweer terug op het niveau van 2010. En ook op het vwo is de weg omhoog weer ingezet. Wiskun­de A is de afgelo­pen jaren welis­waar flink ge­groeid maar dat ging vooral ten koste van wiskun­de C en de 'niet-kiezers' op het havo. Het weg­vluch­ten van het vak wiskun­de of het weg­vluch­ten van een moeilij­kere wiskun­devari­ant lijkt geen goede verkla­ring voor de betere examen­resulta­ten te zijn. Wel is er sinds onge­veer 2010 een lichte ver­schui­ving van vwo naar havo waar te nemen, na eerst een forse ver­schui­ving naar de andere kant. Meer aan­dacht voor het Cen­traal Examen?
Veel scholen hebben de kernvak­kenrege­ling onder­tussen ver­taald in hun bevorde­rings­normen. Dat heeft waar­schijn­lijk geleid tot meer aan­dacht, van leerlin­gen en van scholen, voor het vak wiskun­de. Die aan­dacht ver­taalt zich onder andere in extra intern of extern verzorg­de examen­trainin­gen. Boze tongen beweren dat die extra aan­dacht mis­schien ook ten koste gaat of is gegaan van de aan­dacht voor de voorge­schre­ven onderde­len die niet op het Cen­traal Examen worden ge­toetst. Het vereist een grondig onder­zoek om over al deze aspec­ten goede uitspra­ken te kunnen doen. Gemakke­lijkere examens?
Er zijn gelui­den dat in het Centra­le Examen de grote vraag­stukken tegen­woordig veel vaker worden opge­hakt in kleine­re, beter te behap­pen brokjes onderde­len. Daarbij richt de kritiek zich vaak op vwo wiskun­de B¹. Het opsplit­sen van grote vraag­stukken neemt de leer­ling veel denk­werk uit handen. Het CvTE beweert echter met klem dat dat de hogere cijfers op het Cen­traal Examen het gevolg zijn van hogere presta­ties en dus niet van niveau­verla­ging van examens². Een ander aspect is dat het erop lijkt dat docen­ten en leerlin­gen zich tegen­woordig veel beter op het examen kunnen prepare­ren omdat de examens rela­tief veel stan­daard­vragen en rela­tief weinig origine­le vragen bevat­ten. Examens zijn bij een nieuw program­ma dan slechts heel even 'lastig' en worden al snel voor­spel­baar en dus beter te maken. Bewijs­materi­aal
De kwestie van het niveau van de wiskun­de eindexa­mens ligt gevoe­lig. De vermoe­dens van ervaren docen­ten staan soms haaks op de bewerin­gen van CvTE-Cito. In het laatste examen­nummer van Eucli­des laten Cito-medewer­kers zien dat er concre­te aanwij­zingen voor bestaan dat de niveaus van de eindexa­menkan­didaten bij vmbo KB en vwo A tegen­woordig hoger liggen. Met name op de rela­tief gemakke­lijke vragen wordt er hoger ge­scoord dan vroeger (zie Wiskun­dE-brief 712). Daar staat tegen­over dat de cijfers van het Cen­traal Examen steeds verder weglo­pen van de school­examen­cijfers. Neem je alle wiskun­devak­ken bij elkaar, dan blijkt dat het gemid­delde van het Cen­traal Examen in 2010 nog ruim 0,1 punt onder het gemid­delde school­examen­cijfer lag. In 2015 ligt het gemid­delde van het Cen­traal Examen daar maar liefst 0,4 punt boven. Net als het cijfer voor het Cen­traal Examen stijgt ook het school­examen­gemid­delde maar dat gaat in een aanmer­kelijk rusti­ger tempo. De school­examens als anker
Uitgaan­de van de 'wisdom of the crowds' kun je verdedi­gen dat het gemid­delde school­examen­cijfer het niveau van de eindexa­menkan­didaten beter meet dan het gemid­delde cijfer van het Cen­traal Examen. Maar ook die school­examen­cijfers staan bloot aan kritiek. School­examen­cijfers werden vroeger mis­schien weleens wat 'opge­hoogd' om een buffer te creëren voor verwach­te lage uitsla­gen van het Cen­traal Examen. Maar dat lijkt nu niet meer rele­vant. Wel rele­vant is het vermoe­den dat school­examen­cijfers wel­licht vaak kunstma­tig stabiel worden gehou­den. Je hoort mensen soms zelfs praten over van te voren door de school­leiding gesugge­reerde of platweg voorge­schre­ven gemid­delden. En als je kijkt naar de ontwik­keling van de school­examen­cijfers over de laatste zes jaar, dan zie je dat er inder­daad scholen zijn waar bepaal­de school­examen­gemid­delden van jaar op jaar nauwe­lijks fluctue­ren. Het gaat hierbij echter duide­lijk om een kleine minder­heid; de school­examen­gemid­delden van de laatste zes jaar verto­nen op de meeste scholen een gezonde sprei­dings­breedte van 0,5 tot 1,0 punt. Gezien de grotere overlap in examen­program­ma's ligt een nauwe samen­hang tussen CE-cijfers en SE-cijfers voor de hand. Ik beschik niet over de gege­vens van alle examen­kandida­ten. Ik kan in mijn cijfers dus alleen 'scholen' als eenheid nemen. De samen­hang tussen de CE- en SE-gemid­delden vari­eert van jaar tot jaar en van vak tot vak maar de correla­tie (r schom­melt meestal zo rond de 0,4. Dat is een vrij zwakke correla­tie. Kijk je naar de ontwik­keling van de CE- en SE-gemid­delden van alle kandida­ten over de laatste 6 jaar, dan kom je op een correla­tie tussen 0,4 en 0,5. Ook niet bepaald hoog dus. De ontwik­keling van de school­examen­cijfers is veel regelma­tiger en daar­door ook 'voor­spel­baarder' dan de ontwik­keling van de cijfers van het Cen­traal Examen. Dat kun je eenvou­dig contro­leren door de trend­lijnen over de jaren 2010 tot en met 2014 door te trekken naar 2015 en het op die manier voor­spelde gemid­delde met de werke­lijke data te verge­lijken. Die waarne­ming ver­sterkt nog eens mijn opvat­ting dat het school­examen­cijfer een heel rede­lijk beeld geeft van de wiskun­dige vaardig­heden van de examen­kandida­ten, met alle kantte­kenin­gen die je daarbij kunt maken. Conclu­sies
Ik conclu­deer voor­zichtig dat er door gerich­tere trai­ning en door meer aan­dacht voor de wiskun­de als kernvak sprake is van enige verbete­ring van het wiskun­dige niveau van de eindexa­menleer­ling. De cijfers voor het Cen­traal Examen over­drijven die verbete­ring echter behoor­lijk. Ik denk dat het op zich sympa­thieke streven om leerlin­gen niet massaal de dupe te laten worden van de aange­scherp­te slaag-zakrege­ling hierbij een grote rol speelt. Het CvTE wijst derge­lijke sugges­ties van de hand² maar heeft naar mijn mening wel wat uit te leggen. Gerard Kool­stra

1. Wim Caspers: Bespre­king examen vwo wiskun­de B 2014.
2. www.hetcvte.nl/item/voor­lich­tings­film_centra­le_examens.

Alle scholen zijn in septem­ber 2015 in havo 4 en vwo 4 begon­nen met de ver­nieuwde wiskun­depro­gramma’s. In verband hiermee organi­seert SLO op woens­dag 16 maart 2016 in Amers­foort een informa­tiebij­een­komst met werk­groepen waarin wat dieper wordt inge­gaan op de onder­werpen analyti­sche meetkun­de, logisch redene­ren, vorm en ruimte, statis­tiek en wiskun­dige denkac­tivitei­ten. Het program­ma van de informa­tiebij­een­komst ziet er als volgt uit:

tijd	onder­deel
15:00 uur	Ont­vangst en welkom.
15:15 uur	Start van de ver­schil­lende werk­groepen.
17:30 uur	Napra­ten en afron­ding met een lichte maal­tijd.

Hieron­der vindt u een toelich­ting bij de ver­schil­lende werk­groepen: Vorm en Ruimte, wiskun­de C
Wat staat er in domein G van de sylla­bus wiskun­de C? En hoe komt dit domein terug in de examen­opgaven? Welke kennis heb ik als docent nodig om dit onder­deel te kunnen geven? Tijdens deze work­shop zullen we deze vragen samen beant­woorden. Logisch redene­ren, wiskun­de C
Wat houdt dit nieuwe domein binnen het ver­nieuwde wiskun­de C in? Samen kijken we naar de eindter­men in de sylla­bus en een aantal opdrach­ten uit het lesmate­riaal dat door de pilot­scholen is ge­bruikt. Verder gaan we aan de slag met een aantal examen­opdrach­ten om te zien hoe en op welk niveau dit domein in de pilotex­amens is uitge­werkt. Wiskun­dige denkac­tivitei­ten (WDA)
Wat zijn eigen­lijk wiskun­dige denkac­tivitei­ten? Hoe bevor­der je het wiskun­dig denken van leerlin­gen? Welke vragen en activi­teiten van de wiskun­dedo­cent bevorde­ren een stimule­rende leerom­geving? In deze werk­groep gaan we voor­beelden van WDA’s bekij­ken. We ontwer­pen zelf een WDA en kijken wat een stimule­rende leerom­geving inhoudt. Wat vraagt een wiskun­dig denk-actieve leerom­geving van de docent? Statis­tiek bij wiskun­de A (voorna­melijk gericht op havo)
In de nieuwe examen­program­ma's wiskun­de A kent de statis­tiek een volko­men nieuwe opzet. Die gaat uit van grote data­sets en de inzet van ICT om daar iets verstan­digs over te kunnen zeggen. Tijdens de work­shop zal de nieuwe opzet van de statis­tiek worden toege­licht waarbij de nieuwe sylla­bus, het pilotma­teriaal, de voor­beeld­examen­opgaven en de formule­kaart aan de orde komen. Analyti­sche meetkun­de
In de nieuwe examen­program­ma’s wiskun­de B (havo en vwo) is het domein meetkun­de analy­tisch van aard. Maar bete­kent dit dat er alleen nog maar algebra­ïsch hoeft te worden gere­kend? Of is er ook ruimte voor de synthe­tische aanpak? Wat zijn de ver­schil­len tussen havo en vwo? Aan de hand van enkele opgaven uit pilotex­amens zullen we in deze werk­groep een ant­woord op deze vragen geven. De kosten bedra­gen € 75,-. In­schrij­ven kan via deze link. Peter van Wijk

De leraren­oplei­ding wiskun­de van de TU Twente ver­zorgt de komende maanden een nascho­lings­cursus Analyti­sche Meetkun­de. Dit wordt gedaan in samen­werking met TU Delft en TU Eindho­ven. De cursus Analyti­sche Meetkun­de is aange­meld bij het Leraren­regis­ter. Analyti­sche meetkun­de is vanaf dit school­jaar ver­nieuwd terugge­komen in het Wiskun­de B program­ma. In de cursus van vier dagde­len gaan we daarom con­creet werken aan pro­bleem­stellin­gen met een effec­tief gebruik van meetkun­de, analyse en algebra. Het gaat ons daarbij niet alleen om het rekenen in een coördi­naten­systeem maar ook om vaardig­heden met betrek­king tot de pro­bleem­aanpak en om de wissel­werking tussen de synthe­tische, analyti­sche en algebra­ïsche stappen in het oplos­sings­proces. De cursus vindt plaats op de donder­dagen van 18 februa­ri, 10 maart, 31 maart en 21 april 2016, telkens van 16:00 tot 20:00 uur. Voor nadere gege­vens en voor de in­schrij­ving kunt u hier terecht.

Op vrijdag 29 april 2016 zal de jaar­lijkse nascho­lings­dag voor wiskun­dedocen­ten weer worden georga­niseerd op het Mathema­tisch Insti­tuut van de Univer­siteit Leiden. Een hele dag heer­lijk met alleen wiskun­de bezig zijn! Natuur­lijk is ieder­een van harte welkom. Maar met name de wat minder ervaren docen­ten worden nadruk­kelijk uitgeno­digd om deel te nemen. Mocht de hieruit voort­vloeien­de lesuit­val een onover­kome­lijk pro­bleem voor de school­leiding zijn, dan onder­bouw ik het belang van deze dag graag persoon­lijk. Nadere informa­tie kunt u vinden op mijn website: www.math.leidenu­niv.nl/~hfinkeln/nascho­ling.htm Als voorbe­reiding zou u alvast eens kunnen naden­ken over het volgen­de: Elas­tiekje
Be­schouw het inter­val [0,1] in ℚ of in ℝ. We beschou­wen dit inter­val (in ℚ of ℝ) als een 'elas­tiekje' en we lijmen de uitein­den 0 en 1 vast. Is het nu moge­lijk op conti­nue (!) wijze het elas­tiekje zo uit te rekken (zonder het elas­tiekje te laten knappen) dat het volle­dig op de uitein­den terecht komt en er op ⟨0,1⟩ dus geen elas­tiek meer ligt? Anders gezegd: bestaat er een conti­nue afbeel­ding f van [0,1] naar {0,1} zodanig dat f(0)=0 en f(1)=1? Kan dit in ℚ? Kan dit in ℝ? Graag tot ziens op 10 april. Dr. Hans Finkeln­berg, hfin­keln@math.leidenu­niv.nl

In mijn zoek­tocht naar nascho­ling voor docen­ten kwam ik via Steven Wepster van de Univer­siteit Utrecht in contact met Bas Edixho­ven, voorzit­ter van Master­math. Het blijkt dat Master­math niet alleen bezig is met een vernieu­wing van het program­ma voor zij-instro­mende leraren maar dat zij ook delen van dit program­ma aanbie­den als nascho­ling voor alle docen­ten. De cursus­sen worden eens per week gegeven, bijvoor­beeld op een woens­dag­avond, vrijdag­ochtend of vrijdag­middag. Er worden ook video-opnames online gezet. Informa­tie over wat wordt aangebo­den, is hier te vinden. Kijk hier­voor onder 'leraren­vakken'. Het is moge­lijk om een heel vak (kosten € 300,= ) of een half vak te volgen. Master­math wil de nascho­ling nog verder uitbrei­den maar zijn daarbij op zoek naar input van docen­ten. Men vraagt zich bijvoor­beeld af welke colle­ges men zou willen volgen hoe vaak die colle­ges dan moeten worden gegeven. Als er voldoen­de belang­stel­ling is, dan kunnen de wiskun­de-institu­ten van de univer­sitei­ten in samen­werking met de hoge­scholen wel­licht iets aanbie­den. Ideeën, vragen en tips kun je mailen aan master­math@math.leidenu­niv.nl. Marloes Kloos­terboer

De Lande­lijke Werk­groep HBO-Wiskun­de, een werk­groep van de NVvW, organi­seert op 9 maart 2016 de confe­rentie 'Learn to Use!'? waarin wordt onder­zocht welke eisen het gebruik van huidige en toekom­stige reken­soft­ware stelt aan algeme­ne en wiskun­dige kennis, inzich­ten en vaardig­heden van afgestu­deerde mbo-ers en hbo-ers. Men hoopt met deze confe­rentie een bijdra­ge te kunnen leveren aan de verster­king van het wiskun­decurri­culum van de toekom­stige techni­sche en economi­sche mbo en hbo oplei­dingen. De confe­rentie vindt plaats op de Hoge­school Domstad in Utrecht. De doel­groep bestaat uit docen­ten (mbo, hbo, vo, wiskun­de, toepas­sings­vakken en betavak­ken) en curricu­lumont­wikke­laars. Globaal program­ma
Om 12:00 uur staan er soep en brood­jes voor u klaar. Na deze lunch worden er twee plenai­re presen­taties gehou­den over wiskun­de en ICT in de beroeps­prak­tijk:

1. John Poppe­laars (Bearing­Point) geeft de aftrap van de confe­rentie vanuit zijn 25 jaar lange advies­carriè­re waarin hij klanten uit een ver­schei­denheid aan secto­ren heeft onder­steund met wiskun­de bij het verbete­ren van hun beslis­singen.
2. Natha­lie van der Wal (Avans Hoge­school, promo­venda Freuden­thal-Insti­tuut) vertelt over haar promo­tieon­derzoek naar het gebruik van wiskun­de in de beroeps­prak­tijk van hbo-ingeni­eurs.

Daarna volgen er een aantal paral­lelle work­shops per sector, waarin aan de hand van concre­te casus het onder­werp verder wordt uitge­diept en wordt ver­taald naar het mbo- en hbo-curricu­lum. De work­shops worden inge­leid door mensen uit de beroeps­prak­tijk. Tenslot­te worden in een panel­discus­sie, geleid door Swier Gast (voorzit­ter NVvW), conclu­sies getrok­ken over de rich­ting die het wiskun­deonder­wijs aan het mbo en hbo moet inslaan om te voldoen aan de vereis­te vaardig­heden. Daarna sluiten we om onge­veer 17:00 uur af met een gezelli­ge borrel. Voor uitge­breide­re informa­tie en in­schrij­ving kunt u hier terecht. Christi­aan Boudri
Voorzit­ter LWHW

De afkor­ting NVORWO staat voor 'Neder­landse Vereni­ging voor de Ontwik­keling van Reken-Wiskun­deOnder­wijs'. De NVORWO is een in 1982 opge­richte, onafhan­kelijke vereni­ging die de ontwik­keling van reken-wiskun­deonder­wijs bevor­dert. De vereni­ging richt zich daarbij op de basis­scholen en op de Pabo's. De NVORWO voert momen­teel gesprek­ken met de Neder­landse Vereni­ging van Wiskun­delera­ren (NVvW). Hierbij wordt er onder meer gepraat over de aanslui­ting van rekenen in het basison­derwijs en het rekenen in het vervolg­onder­wijs. Ook wordt er waar­schijn­lijk een gezamen­lijk een boekje uitgege­ven over het reken-wiskun­deonder­wijs aan leerlin­gen van 10 tot 14 jaar. Samen­werking
De NVORWO en de NVvW hebben de inten­tie om samen te werken op terrei­nen waar beide partij­en mee te maken hebben, zoals rekenen in voortge­zet onder­wijs en het mbo, de aanslui­ting van rekenen in het primair onder­wijs en het voortge­zet onder­wijs en rekenen en '21^st century skills'. Reken­spel maken
De NVORWO organi­seert op dit moment een reken­spellen-wed­strijd. Deelna­me is openge­steld voor leerlin­gen uit het basison­derwijs, het middel­baar onder­wijs en voor Pabo-studen­ten. Zij worden uitgeno­digd om een reken­spel te ontwer­pen en hun onder­werp bij NVORWO in te dienen. Als hoofd­prijs wordt het winnen­de spel profes­sioneel gemaakt, geprodu­ceerd en ver­kocht in de (web)winkel. Meer informa­tie over deze wed­strijd kunt u vinden op www.bestere­kenspel.nl. Let op: op de site is abusie­velijk (nog) niet vermeld dat deelna­me ook is openge­steld voor leerlin­gen van de middel­bare school.

Wie belang­stel­ling heeft voor een digita­le versie van de nieuwe voor­beeldre­kentoet­sen uit 2015 van het Cito kan mij even een mailtje sturen. Ze zijn te gebrui­ken in de de DWO (www.dwo.nl). Wim Groshei­de, groshei­de@gmail.com

De digita­le lesme­thode better­marks zoekt auteurs voor het ontwik­kelen van nieuwe content en het verbete­ren van de huidige content. Meer informa­tie op de website van better­marks.

De examen­stand voor de Casio fx-CG20 en fx-9860GII is vanaf nu beschik­baar. Ga voor downloa­den en instal­leren naar www.casio-educa­tie.nl/examen­stand. Ontdek zelf de eenvoud van de Casio Examen­stand:

• Geen contro­le rekenma­chines vooraf­gaand aan het examen.
• Direct begin­nen, zonder gedoe.
• Eén contro­le is genoeg!

Vraag via help­desk@ffleren­rekenen.nl nadere informa­tie aan. ffLeren Rekenen (www.ffleren­rekenen.nl) is de eerste digita­le rekenme­thode met micro-adapti­viteit in een doorlo­pende leer­lijn van 1F t/m 3F. Daar­naast zijn er aanvul­lende activi­teiten­boeken. Aantrek­kelijk rekenon­derwijs voor ieder lesroos­ter. ffLeren Rekenen biedt een laagste-prijs garan­tie!

Vraag vrij­blij­vend informa­tie aan via help­desk@ffleren­rekenen.nl. Bij ffLeren Rekenen zijn aanvul­lende activi­teiten­boeken (2F en 3F) beschik­baar. Met gratis handlei­dingen waarin u per opgave sugges­ties voor extra aan­dachts­punten, verdie­pings­stof en doe-opdrach­ten aan­treft. Maak uw onder­wijs flexi­bel met ffLeren Rekenen. ffLeren Rekenen biedt een laagste-prijs garan­tie!