nummer 724, 10 januari 2016

De grafiek hierbo­ven zou ge­bruikt kunnen worden om te adstrue­ren dat het met het wiskun­deonder­wijs in Neder­land steeds beter gaat. Om jaar­lijkse fluctua­ties te onder­drukken, zijn de drieja­rige gemid­delden bere­kend. De cijfers van 2015 hebben dus betrek­king op de jaren 2013 t/m 2015. Met name bij wiskun­de B en op het vwo zijn de gemid­delden de laatste tijd onge­kend hoog.

Uiter­aard zijn er ook gelui­den die de vreugde wat tempe­ren. 'Te gemakke­lijke examens', 'vlucht naar lichte­re examen­vakken' en 'gesjoe­mel met N-termen' zijn veelge­hoorde uitspra­ken. Mis­schien is het daarom goed om eens te kijken welke mogelij­ke verkla­ringen voor die enorm hoge gemid­delden verwor­pen kunnen worden en welke commen­taren houd­baar zijn. Vlak voor kerst zijn er door de Dienst Uitvoe­ring Onder­wijs (DUO) van alle vo-scholen interes­sante cijfers gepubli­ceerd. Zo zijn er per school naast de sla­gings­percen­tages en de vakken­keuzes per vak ook de CE- en SE-gemid­delden vrijge­geven. Deze cijfers vormen een goede aanvul­ling op de Cito-gege­vens en kunnen wel­licht helpen om een beter beeld te verkrij­gen van de ontwik­kelin­gen in de cijfers van de laatste jaren. Hier­naast ziet u de ontwik­keling van de examen­cijfers wiskun­de op de diverse onder­wijsty­pen. Het gaat in dit geval om echte jaarcij­fers en dus niet om voort­schrij­dende gemid­delden. Het blijkt dat de SE-gemid­delden vrij stabiel zijn. Met name op het vmbo is er weinig ontwik­keling in de cijfers te zien. Op havo en vwo zien we in de SE-cijfers een heel geleide­lijke, positie­ve ontwik­keling. De CE-cijfers gedra­gen zich echter vrij grillig. Ze schie­ten plotse­ling omhoog en soms ook weer wat terug. Wat zit er achter deze bewegin­gen?

Aan­scher­ping
Vaak hoor je dat de aan­scher­ping van de slaag/zakrege­ling die grillig­heid ver­klaart. In 2012 werd de maatre­gel van kracht dat het gemid­delde CE-cijfer min­stens 5,50 moest zijn en een jaar later trad op havo en vwo de kernvak­kenrege­ling in werking. Je ziet inder­daad, vooral op het vmbo, de CE-cijfers in 2012 omhoog gaan. Op het vwo zie je dit ook maar daar lijkt het effect van de kernvak­kenrege­ling groter. Op havo is er een groot ver­schil tussen wiskun­de A en B. De ontwik­keling van de laatste twee jaar lijkt hier op het eerste gezicht weinig met de aan­scher­ping van doen te hebben. Belang­rijker is mis­schien het punt dat de aan­scher­ping van de slaag/zakrege­ling als verkla­ring te vaag is. Gaat het om maatre­gelen die vooraf of achter­af zijn genomen door organi­saties die een rol spelen bij de afname van de Centra­le Examens? Of denken we aan leerlin­gen en scholen die reage­ren of antici­peren op de maatre­gelen? En over welke (re)acties hebben we het dan con­creet? Strenge­re (zelf)selec­tie, serieu­zere voorbe­reiding, makke­lijker examens, ge­schuif met N-termen ? N-termen
In 2012 waren de CE-scores bij wiskun­de niet hoger dan de twee jaar ervoor. De hogere gemid­delden (en de lagere percen­tages onvol­doendes) zijn het gevolg van de hogere N-termen. Echter, in de laatste drie jaar lagen de scores wel duide­lijk hoger en speelde de N-termen geen bepalen­de rol. In 2013 waren de N-termen globaal genomen juist aan de lage kant en het afgelo­pen jaar waren zij rede­lijk normaal. Dat neemt niet weg dat de N-term inciden­teel, voor een bepaald vak wel van belang kan zijn. Kijk bijvoor­beeld eens naar het CE vwo wiskun­de B van 2015. Maar er speelt meer. In de periode 2000-2009 werden CE-gemid­delden met behulp van behoor­lijk fluctue­rende N-termen rede­lijk con­stant gehou­den. Uitgaan­de van de hypothe­se dat de ver­schil­lende lichtin­gen examen­kandida­ten voor een bepaald vak onge­veer even 'vaardig' zijn, is goed te verdedi­gen dat de CE-gemid­delden per vak door de jaren onge­veer gelijk moeten blijven. Ander­zijds kun je je afvra­gen of er geen sprake is van normver­vaging wanneer stij­gend scores op het CE worden wegge­poetst met dalende N-termen. Ik heb hier in 2006 (Wiskun­dE-brief 387) al eens over gepubli­ceerd. In de bericht­geving van het CvTE (en voorgan­gers) wordt de laatste jaren meer aan­dacht besteed aan de moge­lijk­heid dat kandida­ten in ver­schil­lende leerja­ren beter of juist slech­ter zijn dan in andere jaren. De N-term zou ervoor moeten waken dat kandida­ten het cijfer krijgen waarop ze recht op hebben. Bij het laatste examen lagen de N-termen gemid­deld net iets lager dan het jaar ervoor terwijl de examen­cijfers vaak bedui­dend hoger uitkwa­men. Het lijkt er sterk op dat de N-termen tegen­woordig minder een rol spelen dan een jaar of tien geleden. (wordt ver­volgd) gk

Het wordt tijd dat het afhande­len van klach­ten over het Cen­traal Examen geen onder­onsje meer kan zijn van CvTE en Cito. We pleiten voor een beroeps­procedu­re waarbij de argumen­ten door een onafhan­kelijke instan­tie inhoude­lijk worden gewogen. In mei 2012 hebben de wiskun­dedocen­ten die deelna­men aan Centra­le Bespre­king (in Utrecht) van het Cen­traal Examen vwo wiskun­de A/C unaniem een klacht inge­diend over een vraag die in beide examens voor kwam. Deze vraag was er een in een reeks, gemaakt naar aanlei­ding van een weten­schappe­lijk artikel over de kwestie hoe je kunt bepalen of een bepaald spel een kans­spel dan wel een behen­dig­heids­spel is. De vraag was volgens de docen­ten onjuist gesteld. Dat oordeel werd onder­steund door de auteur van het artikel waarop deze opgave was geba­seerd. De klacht is door het toenma­lige College voor Examens afgewe­zen. Naar ons oordeel en het oordeel van diverse geraad­pleegde deskun­digen was die afwij­zing ten onrech­te. Geen adequa­te procedu­re
Beroep na het afwij­zen van een klacht is wel moge­lijk maar loopt via de Ombuds­man. Dat is een langdu­rige en inten­sieve procedu­re waarbij niet inhoude­lijk wordt ge­toetst. Een adequa­te beroeps­procedu­re, waarbij de klacht inhoude­lijk wordt beoor­deeld, ont­breekt. Daarom hebben we een petitie opge­steld, gericht tot de staats­secreta­ris en de leden van de vaste commis­sie voor Onder­wijs, Cultuur en Weten­schap. In die petitie pleiten wij voor een adequa­te beroeps­procedu­re na het afwij­zen van een klacht over het examen. Deze petitie wordt onder­steund door alle docen­ten die in 2012 de klacht indien­den. Onderte­ken onze petitie
We nodigen u uit om de petitie te lezen. Wilt u de petitie onder­steunen, dan kunt u dat doen via deze link of door naar peti­ties.nl te gaan en daar te zoeken op centra­le eindexa­mens. Grada Fokkens en Harry Schut­jes

Ton Groene­veld liet in Wiskun­dE-brief 723 wat mooie (of vrese­lijke) staal­tjes antwoor­den van de (grafi­sche) rekenma­chine zien, waaron­der fouten in de functie binom­cdf die ik zelf nog nooit heb opge­merkt. Heel instruc­tief om daar met de leerlin­gen naar te kijken. Hij schets­te ook hoe de TI-84 omgaat met (−2)^0.889 en (−2)^0.888 en hoe verwar­rend dat is. Mooie voor­beelden! Maar wat bete­kent dit voor uitdruk­kingen als (−2)^4/5? Moet je die hele­maal uitban­nen? In het onder­wijs waarin ik les geef (interna­tionale school, Interna­tionaal Bacca­laure­ate Diplome Program­me en IGCSE-program­ma) zijn uitdruk­kingen als (−8)^1/3 onder­deel van de sylla­bus. In de midden­bouw leren leerlin­gen dat dit gelijk is aan de derde­machts­wortel van −8 en dat die gelijk is aan −2 is omdat geldt dat (−2)³ = −8. In de boven­bouwboe­ken staan ook grafie­ken afge­beeld van func­ties als f(x)=x^1/3 en f(x)=x^4/3 op inter­vallen die symme­trisch zijn rond de y-as, bijvoor­beeld −1 < x < 1. Discus­sie
Omdat ik het niet eens was met de oplos­sing van Ton Groene­veld om maar gewoon te zeggen dat gebro­ken machten van negatie­ve getal­len in de wiskun­de niet zijn gedefi­nieerd, stuurde ik een reactie. Deze leidde tot een interes­sante discus­sie met de redac­tie die ik hieron­der puntsge­wijs samen­vat.

• Het echt bespre­ken van de beteke­nis van een macht met gebro­ken expo­nent van een nega­tief getal vraagt wel wat voorken­nis. Wanneer com­plexe getal­len bekend zijn, kan er gewerkt worden met de hoofd­waarde van de betref­fende n-de­machts­wortel. Maar dat is niet altijd de meest voor de hand liggen­de waarde. De derde­machts­wortel van −8 komt dan op 2e^1/3πi, één van twee niet reële oplos­singen van z³=−8.
• Als een leer­ling de breuk 1/3 bena­dert als 0,333 of 0,3333, komt deze zeker in een moeras terecht. Probeer op een rekenma­chine maar eens (−8)^0,333 en daarna (−8)^0,3333 uit te rekenen en neem er dan steeds eens een extra 3 bij.
• Een pro­bleem bij het toe­staan van (−8)^1/3 is dat (−8)^1/3 niet gelijk­waardig is aan (−8)^2/6 als je de gangba­re regel x^m/n = de n-de machts wortel van x^m ge­bruikt. Uiter­aard kun je je hieruit redden door af te spreken dat de breuk eerst zo veel moge­lijk moet worden vereen­voudigd.
• Er lijken geen alge­meen geaccep­teerde afspra­ken te zijn. Dat wordt weer­spie­geld in ver­schil­lende softwa­re-oplos­singen. Wolfram Alpha geeft bij het laten plotten van de grafiek van y = x^1/3 keuzemo­gelijk­heden die resulte­ren in diverse plaat­jes: In de linker grafiek heeft (−1)^1/3 de waarde ½+½√3 i ofwel e^1/3πi. In de middel­ste grafiek is de waarde −1 en in de rechter grafiek is (−1)^1/3 niet gedefi­nieerd.

Uitda­ging
We zouden leerlin­gen mis­schien (ook al in de onder­bouw) moeten zeggen dat gebro­ken machten van negatie­ve getal­len in de wiskun­de niet eendui­dig zijn gedefi­nieerd. Dit daagt leerlin­gen wel­licht uit om extra vragen te stellen en dat kunnen we natuur­lijk alleen maar toejui­chen. Geertje Hek

In het voortge­zet onder­wijs wordt het woord 'reeks' weinig ge­bruikt. Dat is niet zonder reden¹). In het hoger onder­wijs wordt het woord wel veel ge­bruikt. Maar of het begrip altijd helder gedefi­nieerd wordt, is een andere kwestie^2,3. Is er beteke­nisver­schil tussen de woorden 'reeks' en 'rij'? En zo ja, hoe is dat ver­schil onder woorden te brengen? Er zijn wat dat betreft tenmin­ste drie visies:

1. 'Reeks' is een wat in onbruik geraakt woord voor 'oneindi­ge (getal­len)rij'. In 1821 gaf Cauchy aan de term 'série' simpel­weg de beteke­nis: 'suite indéfi­nie' (oneindi­ge rij). Verder introdu­ceerde hij het woord 'conver­GENT' voor het hebben van een som, naast het al bestaan­de 'conver­GEREN' voor het hebben van een limiet.
2. 'Reeks' komt wel voor in de aandui­ding "rij Y is de reeks van rij X", die syno­niem is met "rij Y is de parti­eelsom­menrij van rij X". Dat bete­kent echter niet dat de termen 'parti­eelsom­menrij' en 'reeks' een bepaal­de sóórt rij aandui­den.
3. De 'reeks' bij een gegeven oneindi­ge rij is de optel­ling van de termen van die rij, te onder­schei­den van de parti­eelsom­menrij en de som van de rij. De vraag is of er een sluiten­de om­schrij­ving voor te vinden is, passend bij het prak­tijkge­bruik van het woord.

Wikipe­dia
De Neder­landse Wikipe­dia geeft momen­teel als defini­tie: De bij een oneindi­ge rij behoren­de formele som (uitdruk­king die een som voor­stelt). De inmid­dels omvang­rijke discus­sie is hier te bekij­ken. Mis­schien zijn er lezers die willen mee-overleg­gen of mee-bewer­ken? Hessel Pot, h.n.pot@hetnet.nl Bronnen:

1. P.G.J. Vreden­duin, Rij en reeks in Eucli­des 43-1 pg. 22-23.
2. H.N. Pot, Wat reeksen zijn, is niet te zeggen in Nieuw Archief voor Wiskun­de 5/9 nr 4 pg. 285-286.
3. Arnoud van Rooij, Reactie op artikel van Hessel Pot in Nieuw Archief voor Wiskun­de 5/10 nr 1 pg. 63.

Op de jaarver­gade­ring van de NVVW van 2015 presen­teerde Koeno Grave­meijer zijn visie op de '21^st century skills', een project van enkele Amerika­nen en bedrij­ven dat ook de aan­dacht van de OESO en Paul Schna­bel van Onder­wijs2032.nl getrok­ken heeft. Grave­meijer pleitte hier al voor in zijn oratie van 2001, gepubli­ceerd in Nieuw Archief voor Wiskun­de van maart 2002. Zijn visie lijkt nogal op het 'realis­tisch wiskun­deonder­wijs' (RWO). Terwijl Neder­land van RWO pro­beert te herstel­len, dreigt het via deze omweg weer terug te komen. Laten we daar­voor oppas­sen. Laten we onze aan­dacht richten op de compu­teralge­bra, die wel van groot belang is. De rekenma­chine is een hulpmid­del zoals vroeger de rekenli­neaal was. De situa­tie veran­dert funda­menteel wanneer je wiskun­de gaat doen op de compu­ter. Dit heet 'compu­teralge­bra'. Deze compu­teralge­bra is inder­daad een revolu­tie die verge­lijk­baar is met de uitvin­ding van het wiel of het alfabet. Het enthou­siasme hier­over is dan ook zeer terecht. Het is echter onjuist om de compu­teralge­bra te misbrui­ken om het 'realis­tisch wiskun­deonder­wijs' via een omweg weer in te voeren. Een verband tussen compu­teralge­bra en de '21^st century' is ook niet logisch want de ontwik­keling van de compu­teralge­bra is al in 1963 begon­nen met Project MAC op MIT. Laat Grave­meijer erken­nen dat RWO niet werkt
Grave­meijer is een vroege en langdu­rige voor­stander van het RWO. Hij heeft nog niet expli­ciet erkend dat dit onder­wijs niet werkt. Er worden nu extra reken­toetsen inge­voerd om voor de leerlin­gen nog iets te herstel­len. Er zou veel gewon­nen zijn wanneer het onder­wijs­veld gezamen­lijk aan de minis­ter meldt dat je het paard achter de wagen spant wanneer je het primair onder­wijs niet aanpakt. Zoals het nu dreigt te gaan, vormen die '21^st century skills' een vlucht­heuvel voor het grote gelijk van RWO. En het is bizar om te implice­ren dat RWO plotse­ling wel zou gaan werken voor en door de compu­ter. Het rapport van de Onder­wijsin­spectie 2002 over ICT voor het rekenon­derwijs, dat ver­wijst naar die oratie van Grave­meijer, toont ons een nieuw schan­daal van verspil­de onder­wijsgel­den, met veel java applets en nauwe­lijks compu­teralge­bra of trainin­gen daar­voor. Nu in 2016 presen­teert de 'Digita­le Wiskun­de Omge­ving' (www.dwo.nl) een zoge­naamd 'nieuwe' aanpak waarin applets geïnte­greerd worden; een omslach­tige aanpak van wat via de compu­teralge­bra al vanaf het begin gedaan had kunnen worden. Pas ook op voor slechte econo­mie
Behalve leraar wiskun­de ben ik ook econome­trist. Econome­trie is geen specia­lisatie maar een genera­lisatie waarin je iets van econo­mie, wiskun­de en statis­tiek leert. Grave­meijer is geen econoom en verwees naar enkele van mijn vakbroe­ders die uitspra­ken doen over een grotere dyna­miek op de arbeids­markt in de komende eeuw. Die dyna­miek bestaat echter allang. Wie had dertig jaar geleden bijvoor­beeld kunnen verzin­nen dat sommige mensen nu hun brood verdie­nen met het compone­ren van 'ringto­nes'? Daarbij moet hier gewaar­schuwd worden voor slechte econo­mie. De techno­logie en de handel met lagelo­nenlan­den zijn het pro­bleem niet: dat zijn bronnen van wel­vaart. Het pro­bleem is de over­heid: met verkeer­de belas­tingen en regule­ringen en met falende wiskun­deonder­wijs.

• Lees mijn uitge­breide artikel over compu­teralge­bra en 21^st century skills via deze link.
• Deze link naar mijn website 'boycott­holland' gaat over hetzelf­de onder­werp.

Thomas Coligna­tus

Bent u gepromo­veerd en werk­zaam als bèta- en/of tech­niekdo­cent op een MBO- of VO-school? En wilt u bijdra­gen aan de school­ontwik­keling door het uitvoe­ren van een toege­past vakdi­dac­tisch weten­schappe­lijk onder­zoek? Dan is een tijde­lijke aanstel­ling als postdoc-onder­zoeker op uw school wel­licht iets voor u. Per septem­ber 2016 zijn er nieuwe postdoc-posi­ties beschik­baar. De omvang is 0,4 fte voor de duur van twee of drie jaar. De aan­vraag­procedu­re ver­loopt in twee stappen. Eerst is er een vooraan­vraag en daarna volgt een volle­dig uitge­schre­ven onder­zoeks­plan. De dead­line voor het indie­nen van een vooraan­vraag is maandag 8 februa­ri 2016. De vooraan­vragen worden beoor­deeld door een externe review­commis­sie op relevan­tie, aanslui­ting van de methode op de onder­zoeks­vraag, innova­tivi­teit en inbed­ding in de onder­zoeksli­tera­tuur. Uiter­lijk op maandag 22 februa­ri volgt dan de uitslag. Bij positie­ve beoorde­ling wordt u daarna uitgeno­digd om een onder­zoeks­voor­stel te schrij­ven. De onder­zoeks­plannen worden door de audit­commis­sie van project Postdoc-VO beoor­deeld op kwali­teit en haal­baar­heid. Het Postdoc-VO project maakt deel uit van de Lera­renagen­da 2015-2020 en wordt uitge­voerd door het Freuden­thal Insti­tuut van de Univer­siteit Utrecht. Meer informa­tie vindt u via www.uu.nl/onder­zoek/onder­zoek-op-scholen.

Als aanvul­ling op het bericht in Wiskun­dE-brief 723 kan worden gemeld dat de centra­le examens voor wiskun­de A en B ook na 2017 tege­lijk afgeno­men zullen worden. Gezien alle eisen en wensen aan het rooster ziet men bij het CvTE geen kans om wiskun­de A en B op ver­schil­lende dagen te plannen. Men heeft geluk­kig wel toege­zegd dat er zal worden gepro­beerd om wiskun­de vroeg in het schema op te nemen. De moge­lijk­heid om wiskun­de A en B te combine­ren, noodza­kelij­kerwij­ze dus met behulp van het tweede tijdvak, blijft bestaan en wordt zelfs wette­lijk vastge­legd. gk

CSW Van de Perre is op zoek naar een Docent Wiskun­de m/v. Het gaat om een tijde­lijke vacatu­re voor ca. 20 lessen (onder­bouw havo/vwo) van maart tot juni 2016. Voor inlich­tingen kunt u contact opnemen met Wendy Hul­steijn, teamlei­der, via tele­foonnum­mer 0118-652100 of via hus@cswal­cheren.nl. Meer informa­tie over de vacatu­re en de school kunt u vinden op www.cswal­cheren.nl.

Het Freuden­thal Insti­tuut van de Univer­siteit Utrecht heeft een vacatu­re voor een Univer­sitair Docent Wiskun­dedidac­tiek (0,8 – 1,0 fte). Meer informa­tie.

Na een succes­vol symposi­um vragen wij nu uw aan­dacht voor ons work­shoppro­gramma zoals dat is aange­meld op www.regis­terle­raar.nl. Iedere work­shop levert dus een certifi­caat op. De eerst­volgen­de work­shops zijn: Statis­tiek
Normale verde­ling
5 januari 2016, Isen­doorn College, Warns­veld. Wiskun­dige denkac­tivitei­ten
Intro­ductie goniome­trische func­ties
15 februa­ri 2016, Sophia­num, Gulpen. Advi­seer een modebe­drijf
Statis­tiek met grotere data­sets
9 maart 2016, Gymnasi­um Zorg­vliet, Den Haag Inspira­tieses­sie Werken met senso­ren
De grafi­sche rekenma­chine, ingezet als middel om de leerlin­gen tot meer begrip te laten komen.
10 maart 2016, KSG De Breul, Zeist Klik op deze link voor meer informa­tie of om u aan te melden.

De examen­stand voor de Casio fx-CG20 en fx-9860GII is vanaf nu beschik­baar. Ga voor downloa­den en instal­leren naar www.casio-educa­tie.nl/examen­stand. Ontdek zelf de eenvoud van de Casio Examen­stand:

• Geen contro­le rekenma­chines vooraf­gaand aan het examen.
• Direct begin­nen, zonder gedoe.
• Eén contro­le is genoeg!

Zwanger­schap of ziekte kwalita­tief hoog­waardig opvan­gen? Ervaren eerste­graads­docent is vanaf maart inzet­baar op zzp-basis.

Werkge­bied:	Rand­stad en omge­ving.
Informa­tie:	wiskun­deinte­rim@gmail.com.

U-Talent (Freuden­thal Insti­tuut (UU) en Hoge­school Utrecht) biedt cursus­sen aan voor wiskun­dedocen­ten:

• Vanaf 18 februa­ri 2016: Wiskun­dige denkac­tivitei­ten.
• Vanaf 16 februa­ri 2016: Logisch redene­ren en Vorm en ruimte.

Via deze link vindt u meer informa­tie en een in­schrijf­formu­lier.