nummer 723, 13 decem­ber 2015

Jammer dat er in de Wiskun­dE-brief zoveel aan­dacht besteed wordt aan de examen­stand van de grafi­sche rekenma­chine. Ik heb vlak voor het eerste school­examen de rekenma­chines (TI84) van mijn examen­groepen alle­maal in examen­stand gezet. Dat hebben de meeste leerlin­gen zo gelaten, bleek vorige week. Begrij­pelijk, want, en dit is mijn stel­ling: "Er is geen enkele niet-trivia­le opgave op eindexa­menni­veau waar apps op de rekenma­chine signifi­cant bijdra­gen aan de oplos­sing". De nadruk op contro­le van de grafi­sche rekenma­chine leidt ons af van de hoofd­zaak. We moeten het niet zoeken in een rigide verbod op apps maar inzet­ten op het verho­gen van algebra­ïsche vaardig­heden. Dat is niet moei­lijk. Het is een kwestie van het aanbie­den van de juiste opgaven op proef­werken en school­examens. En ook op het centra­le examen natuur­lijk; vorig jaar waren op het CE wiskun­de B vwo de 'opgaven' over Calcu­lus van een bedenke­lijk niveau. Voortge­zette inte­graalre­kening
Algebra­ïsche vaardig­heden trainen wij op het Kotten­park, Ensche­de al jaren door bij wiskun­de B (vwo) Voortge­zette Inte­graalre­kening te geven. Wie éénmaal met leerlin­gen de functie ... ... tussen 0 en 1 heeft geïnte­greerd, heeft hun algebra­ïsche vaardig­heden een stuk ver­groot, heeft elke app (zelfs Wolfram Mathema­tica) versla­gen en heeft vanwege de schoon­heid van het ant­woord een paar zielen gewon­nen voor een studie wiskun­de. Apekool
Een examen­stand is in Neder­land ver­plicht wegens de vermeen­de voorde­len wat betreft algebra­ïsch werken. Intus­sen verko­pen juist 'moderne' rekenma­chines, al dan niet in examen­stand, de argelo­ze leer­ling soms de grootst mogelij­ke wiskun­dige apekool. HP Prime beweert dat √(3) een breuk is en de TI-84 presen­teert √(39) via  Math   Frac  als een breuk. Wie moet nu precies tegen die 'vermale­dijde' grafi­sche rekenma­chine be­schermd worden? De leer­ling of het onder­wijs? Paul van de Veen

Kan een rekenma­chine een fout maken? Ach, ik heb in mijn collec­tie oude rekenma­chines nog een machine staan die zich daadwer­kelijk een beetje kan verreke­nen wanneer het meter­tje van de batte­rijen in het rood staat. Maar ik heb toch altijd de neiging om, als mijn TI84 grafi­sche rekenma­chine en ik van mening ver­schil­len, eerst aan mezelf te twijfe­len. Die twijfel is niet altijd terecht. Probeer op de TI84 bijvoor­beeld maar eens de wortel van 101 naar een breuk te conver­teren. Zonder enige schaam­te geeft de TI84 dan aan dat het ant­woord van de wortel van 101 gelijk is aan ⁸⁰⁸⁰¹/₈₀₄₀. Dat is begrij­pelijk maar fout. Begrij­pelijk omdat deze breuk een bijzon­der nauwkeu­rige benade­ring is van die wortel maar fout omdat 101 een priemge­tal is. De wortel van een priemge­tal is irratio­naal en kan dus per defini­tie geen breuk zijn. Je zoekt spij­kers op laag water
U heeft gelijk; ik ben hier enorm aan het muggen­ziften. Maar het is toch gewoon leuk om eens te kijken hoe je je grafi­sche rekenma­chine in de luren kunt leggen? En als je dat samen met leerlin­gen doet, kan dat zelfs heel leer­zaam zijn. Als was het maar om leerlin­gen te laten zien dat rekenma­chines ook maar dingen zijn die door mensen zijn gepro­gram­meerd. En dat die mensen bij dat program­meren keuzes moeten maken en fouten kunnen maken. Machts­verhef­fen
Je kunt de TI84 met een beetje fanta­sie tot nog veel meer onzin of incon­sisten­tie verlok­ken. Zo inter­pre­teert de machine de bereke­ning (−2)^0.889 keurig als (2e^πi)^0.889. De TI84 werkt heel netjes met de hoofd­waarde van het argu­ment en geeft het goede bijbeho­rende ant­woord; een complex ant­woord met argu­ment 0.889π. Je moet de TI84 dan wel op een com­plexe modus zetten want anders geeft de machine natuur­lijk de foutmel­ding  NONREAL ANSWERS . De bereke­ning (−2)^0.888 inter­pre­teert de TI84 echter ineens als (2e^125πi)^0.888 omdat het argu­ment 125π voor het grond­tal, bepaald niet de hoofd­waarde, hier toeval­lig een reeel ant­woord biedt. Dat is niet consis­tent. Fout en verwar­rend
Natuur­lijk snap ik wel wat de TI84 intern met de bereke­ning (−2)^0.888 doet. Het getal 0.888 wordt als breuk ⁸⁸⁸/₁₀₀₀ gezien en vervol­gens vereen­voudigd tot ¹¹¹/₁₂₅. Daarna neemt de TI84 de 125^e-machts wortel van (-2)¹¹¹. Maar in essen­tie is dat fout, al was het maar omdat een enkele machts­verhef­fing door de TI84 onge­vraagd in twee andere machts­verhef­fingen wordt ge­splitst. Het is ook verwar­rend; bijna alle eenvou­dige rekenma­chines geven op (−2)^0.888 gewoon een foutmel­ding. Ik werd nota bene door een havo 4 leer­ling, net nadat ik haar had verteld dat gebro­ken machten van negatie­ve getal­len in de wiskun­de niet zijn gedefi­nieerd, met dit voor­beeld gecon­fron­teerd. Het kostte me flink wat overre­dings­kracht om deze leer­ling ervan te overtui­gen dat niet ik maar de rekenma­chine er naast zat. Binomia­le proble­men op de TI84
Een ander, wel­licht wat ernsti­ger pro­bleem is het bereke­nen van cumula­tieve binomia­le verde­lingen met grote waarden voor n op de TI84. Ik kwam dat pro­bleem op het spoor toen ik de functie binom­cdf in mijn softwa­re (GeoEnZo) aan het testen was door de uitkom­sten met mijn TI84 te contro­leren. De TI84 kan bij grote waarden voor n uitkom­sten geven die er lelijk naast zitten, bijvoor­beeld: binom­cdf(999999,0.5,500000) = 0.484125202 (moet groter dan 0.5 zijn)
binom­cdf(999999,0.5,499998) = 0.515874798 (moet kleiner dan 0.5 zijn)
binom­cdf(800001,0.5,400000) = 0.5106730713 (moet precies 0.5 zijn) Het valt verder op dat de TI84 over derge­lijke bereke­ningen vrij lang doet. Dat is vreemd want er bestaan super­snelle algorit­men om die verde­lingen snel en accu­raat te benade­ren. We hebben hier volgens mij duide­lijk te maken met een program­matech­nische onbehol­penheid en zelfs een regel­rechte program­meer­fout in de grafi­sche rekenma­chine. Zoekt u mee?
Het is leuk en interes­sant om, alleen of met uw leerlin­gen, naar anomale gedra­gingen van de grafi­sche rekenma­chine te zoeken. Wel­licht bent u er ook een paar op het spoor. Schrijf er wat over. Wij houden ons aanbevo­len. Ton Groene­veld

"Het College is ervan over­tuigd dat verster­king van partici­patie uit de onder­wijs­prak­tijk in grote mate bepa­lend is voor het succes­vol uitvoe­ren van de hoofd­taak van het College: het waarbor­gen van het niveau en de kwali­teit van de centra­le examens in Neder­land." Dit staat in de "Reflec­tie van het CvTE op de betrok­kenheid van docen­ten in het examen­proces", geschre­ven op verzoek van de staats­secreta­ris en indi­rect op verzoek van de Tweede Kamer. In het stuk worden worden de volgen­de moge­lijkhe­den ter verster­king van de partici­patie voorge­steld:

1. Inbreng door partici­patie van docen­ten in de lande­lijke commis­sie­struc­tuur die zorgt voor de tot­standko­ming van produc­ten in het examen­proces.
2. Inbreng van vakvere­nigin­gen via de werving van docen­ten voor bovenbe­doelde commis­sies.
3. Reac­ties op werkver­sies van examen­program­ma's en concept­syllabi.
4. Het direct (buiten de vakorga­nisa­ties) benade­ren van docen­ten. De moge­lijkhe­den hiertoe worden verkend in samen­werking met de Onder­wijscoö­peratie.
5. Vergro­ting van de bekend­heid met de moge­lijk­heid tot deelna­me aan het examen­proces bij de de oplei­dingsin­stitu­ten.

Ver­schil­lende opvat­tingen
De notitie bena­drukt dat het lastig is om het ieder­een naar de zin te maken.

"Er zullen altijd docen­ten zijn die zich niet zullen herken­nen in de inhoud van de produc­ten die hun collega's hebben opge­steld. Het is inhe­rent aan dit systeem dat we dit niet altijd tot ieders tevre­denheid kunnen beslech­ten, maar het CvTE wil - waar moge­lijk- zo goed moge­lijk ruimte bieden aan de uitwis­seling van stand­punten en streeft naar breed draag­vlak."

Examen­klach­ten
Naar aanlei­ding van een motie van de Tweede Kamer bereidt het CvTE een onder­zoek voor naar de validi­teit van examens. Dit onder­zoek zal door een onafhan­kelijke partij in 2016 worden uitge­voerd in samen­werking met De Inspec­tie van het Onder­wijs. In de eerste onder­zoeksfa­se zal worden gekeken naar de wijze waarop het CvTE klach­ten over de centra­le examens afhan­delt en in de tweede fase worden één of meerde­re centra­le examens onder­zocht op hun inhouds­validi­teit. bron: Examen­monitor voortge­zet onder­wijs 2015.

Onlangs is het rooster voor de centra­le examens v.o. in 2017 bekend gemaakt. Ook in 2017 zijn de examens wiskun­de A en B weer tege­lijk gepland. Dat staat haaks op de toezeg­gingen die door het ministe­rie zijn gedaan om het makke­lijker te maken, wiskun­de A en wiskun­de B te combine­ren op havo/vwo. In Wiskun­dE-brief 676 bericht­ten we over een brief van staats­secreta­ris Dekker waarin hij aankon­digde aan het CvcTE te vragen de examens wiskun­de A en B niet meer op dezelf­de dag in te rooste­ren, moge­lijk met ingang van 2016. Dit om het gemakke­lijker te maken voor leerlin­gen om zowel in wiskun­de A als wiskun­de B eindexa­men te doen. Op dit moment is dat alleen moge­lijk door gebruik te maken van het tweede tijdvak. In de genoem­de brief, die al van voor­jaar 2014 is, werd het jaar 2016 genoemd als moge­lijk ingangs­jaar. Zo te zien heeft deze rooster­wijzi­ging echter weinig priori­teit meege­kregen. gk

Dit school­jaar toert de tentoon­stel­ling IMAGINA­RY door Vlaande­ren. IMAGINA­RY laat het grote publiek, in het bijzon­der ook leerlin­gen en leer­krach­ten, kennis­maken met wiskun­de in haar volle breedte, kracht en schoon­heid. De tentoon­stel­ling is een initia­tief van het Mathema­tisches For­schungs­insti­tut Oberwol­fach. IMAGINA­RY is nog tot eind april te gast bij onze zuider­buren. De tentoon­stel­ling omvat talrij­ke posters van topkwa­liteit, een hele reeks 3D-prints van wiskun­dige objec­ten en tal van softwa­revisua­lisa­ties en softwa­resimu­laties waarmee de bezoe­ker met behulp van grote touch screens interac­tief aan de slag kan. Je ziet betove­rende wiskun­de die je in verwon­dering zal achter­laten. Maar er wordt ook krachti­ge, toege­paste wiskun­de getoond. Waar te zien?

periode	plaats	locatie	ope­nings­tijden
4 t/m 22 januari 2016	Kort­rijk	KU Leuven Campus Kulak	ma-vr 8-19 u, za 8-15 u
1 t/m 19 februa­ri 2016	Antwer­pen	Un Antwer­pen Campus Middel­heim	ma-vr 8:30-18 u
29 febr t/m 18 maart 2016	Diepen­beek	Un Hasselt Campus Diepen­beek	op aan­vraag
11 t/m 29 april 2016	Brussel	VU Campus Etter­beek	op aan­vraag

Meer informa­tie vindt u via deze link.

De tijd gaat snel. Dit is alweer de laatste Wiskun­dE-brief van 2015. In wiskun­dige zin ligt er weer een bewogen jaar achter ons. En het ziet er niet naar uit dat het wiskun­deonder­wijs in 2016 plotse­ling als een kabbe­lend beekje aan ons voorbij zal stromen. Verande­ringen binnen het wiskun­de- en rekenon­derwijs, posi­tief of nega­tief, houden de zaak in ieder geval in bewe­ging. Waar bewe­ging is, is leven en waar leven is, is uitein­delijk altijd vooruit­gang. De kerst­tijd is bij uitstek een tijd voor positie­ve gedach­ten. Wij kijken dan ook met een positie­ve blik naar het nieuwe jaar 2016, in de verwach­ting dat we ook in dat jaar de Wiskun­dE-brief iedere week weer zullen kunnen vullen met interes­sante bijdra­gen. Wij wensen u hele fijne feestda­gen en een vrucht­baar begin van 2016 toe. Gerard Kool­stra en Ton Groene­veld

Gymnasi­um Bernro­de (Hees­wijk-Dinther) zoek per 1 maart 2016, of zoveel eerder als moge­lijk, een eerste­graads docent Wiskun­de (1 fte maar minder is be­spreek­baar). Meer informa­tie via deze link of via dhr. M. Roden­burg, rector, mro@bernro­de.nl.

---

Adver­tenties

Voor voor­waarden en tarie­ven: zie www.wiskun­debrief.nl.

APS - Vmbo-leerling van de 21ste eeuw, 15 februari 2016 APS en Sardes organi­seren samen met de Stich­ting Plat­forms VMBO en de VO-raad de nieuwe vmbo-confe­rentie. De confe­rentie bevat werkses­sies en presen­taties. Kortom, genoeg te halen en te delen. Dus: Hart voor het vmbo? Noteer de datum, schrijf u in en kom. U bent van harte welkom! www.aps.nl/aps/agenda/de-nieuwe-vmbo-confe­rentie-2016/.

Nieuw: workshopprogramma T3 Nederland Na een succes­vol symposi­um vragen wij nu uw aan­dacht voor ons work­shoppro­gramma zoals dat is aange­meld op www.regis­terle­raar.nl. Iedere work­shop levert dus een certifi­caat op. De eerst­volgen­de work­shops zijn: Statis­tiek Normale verde­ling 5 januari 2016, Isen­doorn College, Warns­veld. Wiskun­dige denkac­tivitei­ten Intro­ductie goniome­trische func­ties 15 februa­ri 2016, Sophia­num, Gulpen. Advi­seer een modebe­drijf Statis­tiek met grotere data­sets 9 maart 2016, Gymnasi­um Zorg­vliet, Den Haag Inspira­tieses­sie Werken met senso­ren De grafi­sche rekenma­chine, ingezet als middel om de leerlin­gen tot meer begrip te laten komen. 10 maart 2016, KSG De Breul, Zeist Klik op deze link voor meer informa­tie of om u aan te melden.

Zichtbaar klaar voor de nieuwe examens 2018/2019 Met de lance­ring van de nieuwe TI-84 Plus T zijn dit nu de CvTE-goedge­keurde machi­nes: TI-84 Plus T TI-84 Plus CE-T TI-Nspire™ CX*) Meer informa­tie: TI-stand op de Nationa­le Wiskun­dedagen en onze 'Road­show' of educati­on.ti.com/nl/neder­land/service/examen­stand. Gratis examen­work­shops geduren­de het hele jaar. Info: f-stieke­ma@ti.com. *Voor de TI-Nspire™ CX geldt: ver­plichte contro­le op uit­staan examen­stand bij aanvang examens.

Download nu de Casio Examenstand De examen­stand voor de Casio fx-CG20 en fx-9860GII is vanaf nu beschik­baar. Ga voor downloa­den en instal­leren naar www.casio-educa­tie.nl/examen­stand. Ontdek zelf de eenvoud van de Casio Examen­stand: Geen contro­le rekenma­chines vooraf­gaand aan het examen. Direct begin­nen, zonder gedoe. Eén contro­le is genoeg!

HP Prime zelf testen? Verande­ringen in de examen­eisen bete­kent verande­ring van (grafi­sche) rekenma­chine. Waarom dan niet meteen voor de beste machine kiezen? Als docent kunt u de nieuwe grafi­sche rekenma­chine van HP nu koste­loos testen. Neem contact op voor een work­shop op school en ontvang een HP Prime voor u en/of de sectie. Neem contact op via hp@moravia-europe.eu. Zeer snelle nieuwe proces­sor, veel sneller dan gangba­re machi­nes. Stan­daard gele­verd inclu­sief gratis emula­tor-softwa­re, ook voor uw leerlin­gen! Een touch­screen met kleur en hoge resolu­tie. Door het CvTE goedge­keurde examen­mode. Stan­daard voor­zien van krachti­ge applica­ties voor functie­onder­zoek, dynami­sche meetkun­de, statis­tiek, spread­sheet, plotten van impli­ciete func­ties en meer... Neder­landse onder­steu­ning door onze educa­tief consul­tant Pieter Scha­dron (p.scha­dron@hp-prime.nl). Neem ook eens een kijkje op www.hp-prime.nl voor veel meer informa­tie over de HP Prime rekenma­chine en Neder­lands lesmate­riaal.

---