nummer 673, 15 juni 2014

Afgelo­pen vrijdag is de Voort­gangs­rappor­tage invoe­ring referen­tieni­veaus taal en rekenen 2014 versche­nen. De bood­schap is tweele­dig. De invoe­ring van de reken­toets, ook als onder­deel van de slaag-zakrege­ling gaat gewoon door. Maar leerlin­gen mogen niet door de invoe­ring gedu­peerd worden. In de begelei­dende brief wordt uitvoe­rig inge­gaan op het rapport van de commis­sie Bosker. De aanbeve­lingen worden voor het groot­ste deel overge­nomen. Ze zijn als volgt con­creet uitge­werkt:

• Er komt een gecombi­neerde sylla­buscom­missie voor vo en mbo om onge­wenste ver­schil­len tussen die twee secto­ren te voorko­men.
• Terug­blade­ren wordt "waar­schijn­lijk" moge­lijk en daar­naast wordt er gekeken of het moge­lijk is om rekenop­gaven met tussen­stappen in de toets op te nemen en om meerde­re rekenop­gaven per context te maken.
• Er komen extra voor­beeld­toetsen terwijl de voor­beeld­toetsen van het mbo ook bij het vo onder de aan­dacht worden ge­bracht.
• De conse­quen­ties van ruimer inzage­recht worden in kaart ge­bracht.
• De discre­pantie tussen het vmbo wiskun­de-examen en de reken­toets 2F wordt nader geanaly­seerd.
• Voor het einde van 2014 worden de moge­lijkhe­den en conse­quen­ties van schrif­telijke reken­toetsen naast digita­le toetsen in het vo in kaart ge­bracht.
• Vanaf 2015-2016 komt er een extra herkan­sing. Ook herkan­sen op een hoger referen­tieni­veau wordt moge­lijk gemaakt.
• Een commis­sie van experts gaat nader bekij­ken in hoever­re een tijde­lijke aanpas­sing van de slaag-zakrege­ling of cesuur gewenst is.

Resulta­ten reken­toets maart
De tussen­rappor­tage reken­toets 2013-2014 van het CvE geeft inzicht in de resulta­ten van de reken­toets in maart van dit jaar. Vorig jaar (Wiskun­dE-brief 633 en Wiskun­dE-brief 645) publi­ceerden we al over­zichten waaruit bleek dat de resulaten voor ver­schil­lende deel groepen ontzet­tend uiteen lopen Vooral op havo/vwo zien we nog steeds hetzelf­de beeld:

percen­tage voldoen­de

oplei­ding	profiel	voldoen­de
havo	CM	7%
havo	EM	28%
havo	NG	32%
havo	NT	58%
vwo	CM	43%
vwo	EM	74%
vwo	NG	79%
vwo	NT	94%

Op vmbo zien we het bekende patroon: zorg scoort laag en tech­niek scoort wat beter. Maar ten opzich­te van 2013 is hier wat meer vooruit­gang te zien. Vooruit­gang is er uiter­aard ook als je leerlin­gen volgt die in maart 2013 hun eerste kans kregen, in juni vorig jaar een tweede kans en onlangs in maart voor de derde keer de reken­toets konden maken:

oplei­ding	voldoen­de maart 2013	voldoen­de t/m maart 2014
vmbo BB	23%	38%
vmbo KB	24%	39%
vmbo GT	32%	55%
havo	28%	45%
vwo	78%	88%

Het gemid­deld cijfer lag bij 2F na 3 mogelij­ke pogin­gen 0,8 punten hoger dan bij de eerste poging. Bij 3F was dit ver­schil 0,6 punten. Volg de commis­siever­gade­ring live
Op woens­dag 18 juni 2014 komt de vaste commis­sie voor Onder­wijs, Cultuur en Weten­schap van de Tweede Kamer opnieuw bijeen om over rekenen en de reken­toets te overleg­gen. Op de agenda staan de volgen­de zaken:

• Het advies van de commis­sie Bosker, inclu­sief de aanbie­dings­brief van de commis­sie.
• De start­rappor­tage van het intensi­verings­traject rekenen vo van het Steun­punt Taal en Rekenen vo.
• De start­rappor­tage van het intensi­verings­traject rekenen mbo van het Steun­punt Taal en Rekenen mbo.
• De kamer­brief van 5 novem­ber 2013 over het plan van aanpak verbete­ring reken­vaardig­heden.
• De voort­gangs­rappor­tage invoe­ring referen­tieni­veaus taal en rekenen.

De vergade­ring begint om 14:45 uur en is live te volgen via deze link.

Vorig jaar stond in de Volks­krant¹⁾ dat de tweede correc­tie een farce is. Dat herken­de ik niet uit mijn eigen erva­ring. Mijn collega's en ik maken altijd veel werk van de tweede correc­tie; eigen­lijk kijken we het opnieuw na alsof het onze eigen leerlin­gen zijn. Het eerste jaar dat ik dit deed, moest de eerste correc­tor er wel even aan wennen dat ik uitge­breide opmer­kingen maakte bij elke leer­ling, ook al was dat meestal in het voor­deel van de leerlin­gen van die te strenge docent. Ik had de examens inte­graal nageke­ken zoals dat de op­dracht was. Wist ik veel. Inmid­dels heb ik helaas slechte­re ervarin­gen met eerste correc­toren. Vorig jaar heb ik er bij ver­schil­lende leerlin­gen in totaal 13 punten afge­haald en er tegelij­kertijd bij andere leerlin­gen 25 punten bij gedaan. Waaron­der maar liefst 10 punten bij één enkele leer­ling! Het werk was niet alleen slordig nageke­ken maar de docent bleek ook zéér bevoor­oor­deeld te zijn. Want waar één leer­ling geen punten kreeg, kreeg een andere leer­ling wel 1 punt. Dat overi­gens terwijl er in de lande­lijke examen­vergade­ring afge­sproken was dat de fout in kwestie tot een score van 3 van de 4 punten moest leiden. En uitwer­kingen die goed of gedeel­telijk goed waren maar niet in het correc­tievoor­schrift voorkwa­men, werden in weerwil van regel 3.3 van het correc­tievoor­schrift door de docent geheel fout gere­kend. Gemid­deld geen ver­schil
Ook dit school­jaar heb ik bij de tweede correc­tie bij sommige leerlin­gen extra punten toege­kend en bij andere leerlin­gen punten in minde­ring ge­bracht. Dat gebeur­de met name bij opgave 9 van het vwo wiskun­de A examen, waarin met behulp van de afgelei­de moest worden berede­neerd dat een grafiek toene­mend dalend was. Eén leer­ling kreeg voor een getal­lenvoor­beeld 5 van de 6 punten terwijl een andere leer­ling, conform het correc­tievoor­schrift, slechts 3 punten kreeg. Overi­gens had deze docent verder goed zijn best gedaan om het een en ander goed te corrige­ren. Uitein­delijk gingen er bij deze docent exact even­veel punten af als dat er bij kwamen maar deson­danks was er één leer­ling die 5 punten minder kreeg en kregen twee andere leerlin­gen er elk 3 punten bij. Voor het gemid­delde resul­taat van de docent was er geen ver­schil maar voor de indivi­duele leer­ling zeker wel! Recht op tweede correc­tie
Zo druk als ik me soms kan maken over eerste correc­toren die hun werk niet goed doen, zo boos ben ik dit jaar op mijn eigen tweede correc­tor. Ik heb mijn best gedaan om het werk zeer zorgvul­dig na te kijken maar het blijft natuur­lijk mensen­werk. Mijn leerlin­gen hebben daarom recht op een tweede correc­tie. De tweede correc­tor heeft echter niets van zich laten horen, heeft niet gerea­geerd op mijn opmer­kingen bij het leerlin­genwerk. Hij heeft volgens een collega die uitein­delijk zijn school heeft gebeld, de envelop niet eens open gehad. "Geen tijd...". Maar tegelij­kertijd snap ik het ook wel een beetje. Ik heb voor één klas met 18 leerlin­gen 22 uur in mijn eigen eerste correc­tie gesto­ken. De tweede correc­tie kostte mij daarbij nog eens min­stens 15 uur. Als ik dan kijk naar het totaal aantal uren op mijn jaar­taak voor lessen aan examen­klassen, dan denk ik ook wel eens dat ik gek ben. Alle­maal gek
Volgens een onder­zoek van het CITO²⁾ zijn we eigen­lijk alle­maal zo gek. Docen­ten geschie­denis zijn daarbij nog het meest de pineut. Mis­schien is het tijd om nu einde­lijk een reële vergoe­ding voor de tweede correc­tie zicht­baar in de taakbe­lasting van de docen­ten op te nemen, precies zoals het Plat­form Vakin­houde­lijke Vereni­gingen Voortge­zet Onder­wijs al in juni 2013 bepleit­te³⁾. Zie ook Wiskun­dE-brief 640 en de reactie hierop in Wiskun­dE-brief 641. Lonneke Boels

1)	Lind­hout, S. (2013, 06 21). Tweede correc­tie op eindexa­mens is een farce. Volks­krant.
2)	Gelinck, C. (2013, juni 17). Brief leden 2e Kamer over 2e correc­tie.
3)	Kremers, H. K. (2013). De prak­tijk van de eerste en tweede correc­tie. Samen­vatting van onder­zoek naar het functio­neren van het CSE. Arnhem: CITO.

Het zal toch wel een keer bekend zijn dat er al ruim zes jaar een rekenma­chine bestaat die het exacte ant­woord van de wortel­bereke­ning links produ­ceert? En ook zijn er al geduren­de een aantal jaren toegela­ten grafi­sche rekenma­chines in omloop die dit kunnen. Twee Casiomo­dellen kunnen deze bereke­ning zonder meer uitvoe­ren. De TI-84 kan het ook maar dan met behulp van een klein program­ma. Omdat de op­dracht: bereken exact of bewijs niet hetzelf­de bete­kent als schrijf het ant­woord van je rekenma­chine over, lijkt het me logisch dat er in uitwer­kingen vaak tussen­stappen worden ver­langd. Daarom kun je de leerlin­gen beter trainen op wat ze moeten op­schrij­ven dan op het uit het hoofd uitvoe­ren van een reken­stap. Tijdens de reken­toets moeten leerlin­gen ook opgaven zonder rekenma­chine uitreke­nen maar dan hebben de leerlin­gen natuur­lijk niet de beschik­king over een rekenma­chine die het ant­woord kant en klaar produ­ceert. Wel of geen denk­stap
Nu heel serieus: ¹/_√3 bereke­nen veel leerlin­gen uit het hoofd en daar komt natuur­lijk gewoon ¹/₃√3 uit. Daar moeten in een correc­tiemo­del dan ook geen punten voor gegeven worden, alsof dit een echte denk­stap zou zijn. Het zelfde geldt voor √24=2√6. Het ant­woord kan in beide geval­len uit een grafi­sche rekenma­chine komen. Bij het Cen­traal Examen havo wiskun­de B 2014 staat daarom √24 als ant­woord in het correc­tiemo­del. Dáár krijg je de punten voor; 2√6 komt in het correc­tievoor­schrift niet voor omdat dat ant­woord uit een grafi­sche rekenma­chine kan komen. Duide­lijk­heid graag
Ik vind dat het duide­lijk moet worden welke bereke­ningen wel en welke niet van tussen­stappen moeten worden voor­zien. Dan kan de punten­verde­ling ook hierop worden gericht. Worden er geen tussen­stappen ver­langd, dan moeten er ook geen punten tegen­over staan. Of mis­schien alleen één puntje voor het eindant­woord. Hetzelf­de geldt voor diffe­rentië­ren. Bij het toepas­sen van de quo­tiëntre­gel moeten tussen­stappen worden vermeld want de afgelei­de kan ook uit recht­streeks uit een grafi­sche rekenma­chine komen. Daar is al eens, lang geleden, een schrij­ven van de CEVO (voorgan­ger van het CvE) over geweest waarin wordt vermeld dat het duide­lijk moet zijn dat de leer­ling een afgelei­de zelf heeft bere­kend. Ook over wortels moet het CvE nu duide­lijk­heid geven. Het moet duide­lijk worden waar de leer­ling wel tussen­stappen moet vermel­den en waar de leer­ling meteen het ant­woord mag noteren. Simon Biesheu­vel

"Bereken de maxima­le waarde van x waar­voor het ver­schil tussen f(x) en g(x) minder dan 0,01 be­draagt." Ieder­een die met het examen havo wiskun­de B bezig is geweest, zal wel weten dat op­dracht 13¹⁾ onmoge­lijk te beant­woorden was. Volgens het ant­woordmo­del moet een oplos­sing gevon­den worden van de verge­lijking f(x) − g(x) = 0,01. Maar voor zo'n oplos­sing geldt nu juist niet dat het ver­schil minder is dan 0,01 Zorge­lijk zijn de reac­ties die ik mocht ontvan­gen via de CvE "examen­lijn". De eerste reactie luidde name­lijk: "In de opgave wordt ge­vraagd naar de maxima­le waarde van x in het geval deze op twee decima­len wordt afge­rond". Maar dat is niet de vraag die in het examen stond. Vakdes­kundi­gen?
De tweede reactie ging niet over de inhoud maar over de manier waarop de moei­lijk­heids­graad van de losse opgaven en van het examen als totaal bepaald wordt. De derde en laatste reactie liet wat langer op zich wachten want er moesten vakdes­kundi­gen geraad­pleegd worden. Deze vakdes­kundi­gen van het CvE blijven bij het eerder ver­strekte ant­woord, te weten het ant­woord waarin de vraag veran­derd is. Zij menen dat er aan kandida­ten geen onmoge­lijke vraag wordt gesteld. Je kunt je afvra­gen op welk vakge­bied deze vakdes­kundi­gen deskun­dig zijn. Goede oefenop­gave?
Nadelig effect van deze afhande­ling is dat opgave 13 altijd van de examens­ite te plukken is en dat na verloop van tijd mis­schien wel gedacht wordt dat dit een goede oefenop­gave is. Dat vind ik zorge­lijk. Riet Bosman-Peet

1)	Het gaat om de func­ties gedefi­nieerd door f(x)=sin (x) en g(x)=x − 1/6x3. De volledi­ge opgave luidt: "Bereken de maxima­le waarde van x waar­voor het ver­schil tussen f(x) en g(x) minder dan 0,01 be­draagt. Geef je ant­woord in twee decima­len nauwkeu­rig."

Dit jaar doet Neder­land met een uitzon­derlijk ervaren team mee aan de Interna­tionale Wiskun­de Olympia­de. De verwach­tingen zijn daarom hoogge­spannen. Chef de mission Quin­tijn Puite zegt hier­over: "We maken met dit team serieus kans op een gouden medail­le. In de Neder­landse geschie­denis is dat pas vier keer eerder gebeurd dus dat zou zeer uitzon­derlijk zijn." Deze leerlin­gen hebben zich na twee selec­tietoet­sen uitein­delijk ge­plaatst voor het Neder­landse team:

• Tysger Boelens (18 jaar, Ter Apel, 6 vwo, RSG Ter Apel).
• Peter Gerlagh (17 jaar, Tilburg, 6 vwo, Theresi­a Lyceum Tilburg).
• Matthew Maat (14 jaar, Ensche­de, 4 vwo, Bonhoef­fer College Ensche­de).
• Michel­le Swee­ring (17 jaar, Krimpen aan den IJssel, 6 vwo, Erasmi­aans Gymnasi­um Rotter­dam).
• Bas Verse­veldt (17 jaar, Tilburg, 6 vwo, Theresi­a Lyceum Tilburg).
• Jeroen Winkel (17 jaar, Nijme­gen, 6 vwo, Stede­lijk Gymnasi­um Nijme­gen).

De aanmoe­digings­prijs is gewon­nen door Bob Zwet­sloot uit 5 vwo van het Teylin­gen College Leeuwen­horst in Noord­wijker­hout. Hij reist als jonge, veelbe­lovende leer­ling mee met het team om erva­ring op te doen. Veel erva­ring
Drie teamle­den hebben al eerder aan deze wed­strijd meege­daan en daar samen al vier medail­les binnen gehaald. Ook de andere drie hebben erva­ring op interna­tionale wed­strij­den. Het meest ervaren teamlid, Jeroen Winkel, behaal­de twee jaar geleden bij de Interna­tionale Wiskun­de Olympia­de een bronzen medail­le en vorig jaar zelfs een zilve­ren medail­le. Ook Peter Gerlagh en Michel­le Swee­ring hebben vorig jaar al een bronzen plak bemach­tigd terwijl de andere drie bij de Benelux Wiskun­de Olympia­de van dit jaar ook al hoge ogen gegooid hebben. Trai­nings­kamp
Het team ver­trekt al op 28 juni 2014 van Schip­hol naar hun trai­nings­kamp in Kaap­stad om in topvorm aan de wed­strijd te kunnen begin­nen. Van 6 tot 13 juli 2014 vindt vervol­gens de Olympia­de plaats. De Neder­landse leerlin­gen gaan daar de strijd aan met leef­tijdsge­noten uit meer dan honderd andere landen. Op elk van de twee wed­strijd­dagen krijgen de leerlin­gen drie opgaven van hoog wiskun­dig niveau voor hun kiezen waar ze vier en een half uur de tijd voor krijgen. Het Neder­landse team wordt bege­leid door Birgit van Dalen (Univer­siteit Leiden en Aloysi­us College Den Haag), Julian Lyczak (Univer­siteit Utrecht) en Quin­tijn Puite (Techni­sche Univer­siteit Eindho­ven en Hoge­school Utrecht).

In het najaar van 2013 heeft het bestuur van Plat­form Wiskun­de Neder­land een commis­sie inge­steld die ge­vraagd werd om een inventa­risatie uit te voeren van de stand van zaken van het wiskun­dig-didac­tisch onder­wijson­derzoek in Neder­land. Ook diende de commis­sie een inventa­risatie te plegen van de onder­zoekthe­ma's voor de toe­komst en de fondsen en midde­len die beschik­baar zijn voor het wiskun­dig-didac­tisch onder­wijson­derzoek. Daarbij werd de commis­sie ge­vraagd om een voor­stel te doen voor te onderne­men vervolg­stappen ter bevorde­ring van het wiskun­dig-didac­tisch onder­wijson­derzoek in Neder­land. Zorge­lijk
Onlangs is het eindrap­port, geti­teld "Tussen Wal en Schip", van deze commis­sie gepubli­ceerd. in het rapport wordt onder andere gecon­clu­deerd dat de stand van zaken van het wiskun­dig-didac­tisch onder­wijson­derzoek in Neder­land ronduit zorge­lijk is. De beschik­bare forma­tie op de ver­schil­lende univer­sitei­ten is te beperkt. Aanbeve­lingen
Het rapport een vijftal aanbeve­lingen. Kort samenge­vat:

• Bevor­der de instel­ling van leer­stoelen wiskun­dedidac­tiek aan univer­sitei­ten.
• Bevor­der de instel­ling van lectora­ten wiskun­dedidac­tiek aan hbo-leraren­oplei­dingen.
• Ken een actieve rol toe aan het PWN bij de indie­ning en de finan­ciering van onder­zoeks­voor­stellen op het terrein van de wiskun­dedidac­tiek.
• Bevor­der de politie­ke lobby, onder andere bij onder­wijs­woord­voer­ders van kamer­frac­ties, ten gunste van de zaak van het wiskun­dig-didac­tisch onder­wijson­derzoek.
• Laat het PWN een perma­nente commis­sie onder­wijson­derzoek instel­len.

U kunt het rapport via deze link raadple­gen.

Auteurs:	Dolf van den Hom­bergh en Leon van den Broek
Uitgeve­rij:	Epsilon
ISBN:	978-90-5041-141-7
Bladzij­den:	64
Prijs:	€ 10,00

Stabiel even­wicht kan specta­culair zijn. Om even­wicht te begrij­pen, moet je op het zwaarte­punt letten. Maar wat is dat eigen­lijk, een zwaarte­punt? En hoe vind je dat zwaarte­punt? In deze Zebra worden Archime­des en Stevin gevolgd in hun axioma­tische benade­ring van het zwaarte­punt. Natuur­kunde en wiskun­de zijn daarbij eng verwe­ven. De positie van het zwaarte­punt wordt meetkun­dig gecon­stru­eerd maar er zal ook aan het zwaarte­punt gere­kend worden. En er blijken toepas­singen te over te zijn.

Auteurs:	Lia Hemerik, Egbert van Nes en Theo-Jan van de Pol
Uitgeve­rij:	Epsilon
ISBN:	978-90-5041-142-4
Bladzij­den:	64
Prijs:	€ 10,00

Waarom is het zo moei­lijk om weer vrede te sluiten na het uitbre­ken van een oorlog? Het punt van omslag van vrede naar oorlog ligt op een heel ander punt dan de omslag van oorlog naar vrede. Dit soort situa­ties met zoge­naamde "hystere­se" treden ook in veel andere syste­men op. Bijvoor­beeld in ecosys­temen, in financi­ële markten en in klimaat­syste­men. Hoe deze hystere­se in eenvou­dige model­len op­treedt, is het onder­werp van studie in dit boekje. In deze Zebra wordt op een duide­lijke manier uitge­legd hoe je kantel­punten kan ontdek­ken in een systeem dat geleide­lijk veran­dert en hoe alterna­tieve even­wichten als gevolg van een lang­zaam verande­rende omge­vingsva­riabele kunnen optre­den.

Lyceum Ypen­burg zoekt voor komend school­jaar een docent wiskun­de voor circa 0,54 fte. Uw sollici­tatie­brief met motiva­tie en cv ontvan­gen wij graag uiter­lijk op 19 juni 2014 per mail op vacatu­res@lyceumy­penburg.nl onder vermel­ding van "Vacatu­re docent wiskun­de".

De Hoge­school van Amster­dam (HvA) is voor de leraren­oplei­ding Wiskun­de in het Cluster Exact en Beroeps­onder­wijs met ingang van het studie­jaar 2014-2015 op zoek naar een docent/leraren­oplei­der Wiskun­de voor het ontwik­kelen en verzor­gen van onder­wijs en het begelei­den van studen­ten. Ga voor meer informa­tie en om te sollici­teren naar www.hva.nl/vacatu­res.

Het uit­gangs­punt voor de ontwik­keling van Math­Plus is een digita­le leerom­geving die:

• U als docent meer inzicht en over­zicht geeft.
• Wiskun­de interes­santer maakt voor alle leerlin­gen.
• Beter in­speelt op niveau­ver­schil­len tussen leerlin­gen.

We komen graag langs voor een kennis­makings­gesprek bij u op school. Meer informa­tie of een af­spraak? Bezoek www.math­plus.nl.