WiskundE-brief nummer 606   02-09-2012

Bij ieder nieuw schooljaar horen ook weer nieuwe voornemens. Ook op de redactie van de wiskundE-brief hebben we een goed voornemen voor 2012-2013. En dat voornemen laat zich onder één noemer vangen: respect.

Ferme taal
In het afgelopen jaar zijn er in de wiskundE-brief artikelen geplaatst die fel van toon waren. Soms te fel, naar het gevoel van een aantal lezers en ook volgens ons. Let wel, ferme taal kunnen wij op de redactie zeer waarderen. Maar daar waar argumenten niet meer worden gewogen, trekken wij in het vervolg een streep.

Docenten zijn over het algemeen mensen met een stevige mening over hun vak en het onderwijs. Maar het zijn in bijna alle gevallen ook mensen die goed naar collega's kunnen luisteren, goed kunnen reflecteren en veel respect hebben voor opvattingen van collega's. Al die goede eigenschappen willen wij graag blijven herkennen in de wiskundE-brief.

Uitdaging
In het schooljaar 2012-2013 gaan we er daarom bij de ingediende artikelen heel goed op letten of de man of de bal wordt gespeeld. Wanneer er op basis van argumenten standpunten worden geponeerd of weerlegd, dan plaatsen wij een bijdrage natuurlijk. Maar zodra de argumenten ontbreken en mensen of instituten puur uit frustratie worden weggezet, grijpen wij in.

Wij hopen ook dit schooljaar weer op uw bijdragen. De wiskundE-brief is immers voor en door wiskundedocenten. Wellicht dat u in ons voornemen een uitdaging ziet om ook uw visie eens aan uw ruim 3200 meelezende collega's voor te leggen.

red

red.

Gelukkig is er een nakijkmodel beschikbaar. Het bekijken daarvan stelde me, ondanks de betrachte soepelheid in diverse gevallen, niet gerust. Mijn ongerustheid heeft te maken met drie dingen die enigszins aan elkaar zijn gerelateerd:

• De gewenste nauwkeurigheid van het antwoord is niet altijd duidelijk. Er wordt bijvoorbeeld soms gevraagd "hoeveel euro" of "hoeveel meter", waarmee een afronding wordt gesuggereerd die achteraf niet de bedoeling blijkt te zijn.
• Er wordt gewerkt met getallen die doorgaans het resultaat zijn van een afronding, zoals percentages, tijden, snelheden of afstanden terwijl deze in het antwoormodel worden behandeld als exacte gegevens.
• Er wordt de indruk gewekt dat het gaat over levensechte situaties terwijl er in feite vaak wordt gerekend met getallen die weing praktische betekenis hebben.

Een korte toelichting aan de hand van paar voorbeelden.

• In vraag 9 is sprake van een boete voor te hard rijden die berekend wordt met een gegeven vuistregel. Toepassing van de vuistregel levert de uitkomst 288,8 op. Gevraagd wordt "hoeveel euro" maar in plaats van een antwoord als €289 of €290 wordt €288,80 verwacht.
• Bij vraag 11 is gegeven dat er op een school 252 leerlingen kiezen voor hockey en dat dit 28% is. Vervolgens is gegeven dat 9% kiest voor handbal en wordt er gevraagd hoeveel leerlingen dat zijn. Het antwoord 9/28*252=81 ligt natuurlijk voor de hand maar is zeker niet het enige goede antwoord. Wanneer er bijvoorbeeld 890 leerlingen op die school zitten waarvan er 77 kiezen voor handbal, kloppen de percentages nog steeds.

  Leerlingen zullen in dit geval vaak het gewenste antwoord geven, omdat het zo mooi uitkomt. Maar we hebben hier wel duidelijk te maken met een context die behoorlijk pseudorealistisch is.

• Vraag 15 gaat over het aantal griepgevallen dat nodig is om in Gelderland van een griepepidemie te kunnen spreken. Het antwoord heeft in plaats van "gevallen" abusievelijk het label "inwoners" gekregen maar dat vind ik niet het ergste. Er wordt gegeven dat Gelderland exact 2.004.671 inwoners heeft. Daarbij wordt de regel gegeven dat men spreekt van een griepepidemie bij minstens 51 gevallen per 100.000 inwoners. 51 / 100000 * 2004671 = 1022,38221 en het antwoordmodel verwacht dat dit resultaat, vanwege "minstens 51" naar boven op 1023 gevallen wordt afgerond.

  Maar geldt die "minstens 51" nu voor of na afronding? Dat staat niet in de vraag en als het na afronding is, dan ligt de grens bij 50.5 / 100000 * 2004671 = 1012,358855 en dus 1013 griepgevallen, 10 lager dan het antwoordmodel aangeeft.

  Om de vraag goed te beantwoorden, moet je weten hoe die grens van 51 wordt gehanteerd. Wordt dat niet verteld, dan moeten naar mijn idee alle antwoorden tussen 1013 en 1023 worden goedgerekend.

• Bij vraag 40 is sprake van een bevolkingstoename van 1295 naar 1341 miljoen. Er wordt gevraagd naar het groeipercentage, op één decimaal nauwkeurig. Zo te zien gaat het om echte gegevens van China. De deling "nieuw/oud" geeft 1,0355. Dat komt overeen met 3,55%, afgerond dus 3,6%. Die decimaal is echter onzeker. Wanneer de bevolking bijvoorbeelt groeit van 1.295.400 naar 1.340.600 inwoners, dan is die groei na afronding 3,5% terwijl de gebruikte gegevens wel overeenkomen met de opgave.
• Bij vraag 55 is sprake van een landkaart met een schaal van 1 : 51.400.000. Gevraagd wordt wat de werkelijke afstand is als de gemeten afstand op de kaart 5,3 cm is. Maar bij deze schaal betekent een meetafwijking van een halve millimeter al een verschil van ruim 25 kilometer! Toch vraagt men om het antwoord op hele kilometers af te ronden en wordt alleen het schijnnauwkeurige antwoord 2724 (km) goed gerekend.
• Vraag 2 lijkt een heel praktische vraag. Hoeveel ben je kwijt aan parket voor twee kamers met gegeven afmetingen als je 5% extra koopt in verband met verlies tijdens de verwerking. Wanneer je 105% van de netto oppervlakte neemt, kom je uit op bijna 51 vierkante meter. Met de gegeven prijs van €44,95 per vierkante meter zou je dan uitkomen op een bedrag van ruim €2290. Het antwoordmodel rekent €2290 t/m €2300 goed.

  Maar dan nu het pseudorealistische element van deze vraag: parket wordt eigenlijk nooit per vierkante geleverd. Parket wordt meestal in pakken van een vast aantal planken geleverd. De oppervlakte per pak variëert per parketsoort en bedraagt doorgaans ongeveer 2 tot 4 vierkante meter. Die 51 vierkante meter zou dus gemakkelijk wel eens naar 52 of meer vierkante meter moeten worden afgerond. En dan schiet de prijs ineens ver boven het door het antwoordmodel opgelegde plafond van €2300.

Fundamenteel of functioneel?
De toevoeging F in de referentieniveau’s betekende oorspronkelijk "Fundamenteel niveau", in tegenstelling tot S voor "Streefniveau". In de toelichtingen wordt deze F de laatste tijd echter uitdrukkelijk uitgelegd als "Functioneel", dus gericht op praktisch rekenen. En hoe je daar verder ook tegenover staat; als je iets doet, vind ik dat je het goed moet doen. Anders schep je, juist voor de leerling die wat beter nadenkt, onduidelijkheden.

Ook in onze "normale” examens komen dergelijke onduidelijkheden voor. Maar dáár kunnen docenten in onderling overleg tenminste iets aan doen. Bij de correctie van de rekentoets, die geheel geautomatiseerd wordt nagekeken, is de docent uitgeschakeld. Daarom moeten de vragen in de rekentoets glashelder zijn.

Waardevolle dimensie
Nog belangrijker is dat de rekentoetsen antwoordgeoriënteerd zijn. Het verschil tussen een totaal verkeerde aanpak en een uitwerking die goede elementen bevat, valt daarmee weg. Daarmee valt een zeer waardevolle dimensie weg uit de manier waarop wij tot nu toe gewend waren, het werk van onze leerlingen te toetsen.

Gerard Koolstra

Het team schrijft daarmee geschiedenis. Van de 42 keer dat Nederland heeft meegedaan, werd er slechts twee keer eerder, in 1977 en in 1983, een gouden medaille gewonnen. Een gouden medaille betekent bij dit soort wedstrijden geen eerste plaats op een bepaald onderdeel maar een plek bij de beste 8% à 10% in de eindrangschikking.

Beste van West-Europa
Het team, na een zorgvuldige selectie samengesteld uit toppresteerders bij de Nederlandse Wiskunde Olympiade, won in Argentinië verder drie bronzen medailles en een eervolle vermelding. Nederland kwam met dat resultaat op nummer 22 van de ranglijst van 100 deelnemende landen. Nederland liet met de onderstaande resultaten bijna alle andere West-Europese landen achter zich. Alleen het team van Engeland haalde evenveel punten. De landenranglijst werd dit jaar aangvoerd door Zuid Korea, gevolgd door China, de VS en Rusland.

Momenteel hebben zich minder dan 25 collega's aangemeld om met ons mee te denken over de inhoud van een wiskundeprogramma voor havoleerlingen in het profiel C&M. Dat is nog niet voldoende en vandaar deze herhaalde oproep.

Ga voor het concept examenprogramma naar www.slo.nl/wiskundec. U vindt daar ook het aanmeldingsformulier voor de veldraadpleging. Wanneer u niet in de gelegenheid bent om de veldraadpleging bij te wonen, kunt u via dit formulier uw commentaar op het programma aan ons sturen. Van die mogelijkheid kunt u uiteraard ook gebruik maken wanneer u wèl bij de veldraadpleging aanwezig kunt zijn.

De veldraadpleging wordt op maandag 10 september 2012 gehouden in het Regardz vergadercentrum De Eenhoorn in Amersfoort. De raadpleging is van 17:30 tot 20:30 uur en vanaf 17:00 uur staan er soep en broodjes voor u klaar.

Jos Tolboom
Leerplanontwikkelaar wiskunde, SLO, afdeling tweede fase

Ik zoek studenten die:

• Creatief zijn; iets anders dan anders willen en kunnen.
• Willen leren om leermateriaal te ontwikkelen op grond van leerdoelstellingen.
• Afspraken kunnen nakomen.
• Liefst wat ervaring hebben met de nieuwe media.
• In de randstad wonen, liefst in Amsterdam en omgeving.

Het werk zal hun in totaal ongeveer 40 à 80 uur kosten, te verspreiden over de weken. In september beginnen we. Reiskosten worden vergoed.

Meer informatie bij Hans Wisbrun: wisc@planet.nl of bel 020 – 331 55 42.

Voor dit onderzoek is een vragenlijst ontwikkeld om het huidige gebruik te inventariseren. De gegevens die deze enquete oplevert, worden gebruikt bij het schrijven van een handreiking voor docenten po, vo en mbo. Deze handreiking wordt medio november 2012 gepubliceerd.

De enquête is bereikbaar via deze link. We stellen het op prijs als u deze enquête wilt invullen. Dank voor uw deelname.

Vincent Jonker, Frans van Galen,Mieke Abels en Monica Wijers.
Freudenthal Instituut

De vraag 'Overleeft de otter in Nederland?' staat centraal tijdens de nascholingsbijeenkomst voor wiskundedocenten van donderdag 11 oktober 2012, georganiseerd door Wageningen University. De bijeenkomst is van 14:45 tot 20:00 uur en kost inclusief avondmaaltijd € 100,=.

Meer informatie vindt u onder deze link.

Op 24 mei 2000 presenteerde het Amerikaanse Clay Mathematics Institute een lijst met de zeven grootste onderzoeksvragen van de moderne wiskunde: de millenniumproblemen. Voor de oplossingen reserveerde het instituut een bedrag van zeven miljoen dollar, één miljoen voor eenieder die als eerste een millenniumprobleem weet op te lossen.

In 2003 wist de Rus Grigori Perelman het zogeheten Poincaré-vermoeden te bewijzen, één van de grootste doorbraken in de wiskunde ooit. De overige zes millenniumproblemen wachten nog altijd op een oplossing. Dit boek geeft de lezer op een toegankelijke manier een kijkje in de complexe, maar zeer fascinerende wereld van het hedendaagse wiskundeonderzoek.

In 1832 stierf Évariste Galois in een duel. Hij was pas 20! Hij had geen vertrouwen in de afloop van dat duel. Daarom schreef hij de avond voor het duel schreef hij nog snel een samenvatting van zijn mathematisch werk.

Op zijn vijftiende ontdekte Galois de wiskunde en daarmee zijn roeping. Galois wordt tegenwoordig beschouwd als de grondlegger van de groepentheorie. Maar zoals dat bij zo vele briljante wetenschappers het geval is, werd het belang van zijn ontdekking pas jaren later onderkend.

Iedereen met een scherpe geest kan op ontdekkingsreis in Het Labyrint van Occam, waar logica en wiskunde de essentie zijn van de werkelijkheid. Het Labyrint is een doolhof van breinbrekers waarin je met slimme denksprongen elk dwaalspoor moet zien te vermijden.

William van Occam, een veertiende-eeuwse Engelse monnik, introduceerde het ‘scheermes van Occam’, een vuistregel die nog niets aan actualiteit heeft ingeboet: als je allerlei aannames kunt doen om verschijnselen te verklaren, snij dan alles weg wat niet strikt noodzakelijk is en je houdt het ware over. Een advies dat in dit boek perfect van pas komt.

Behalve wonderlijke varianten van klassiekers als de sudoku, het magische vierkant en het kruiswoordraadsel, ontwierp Arnout Jaspers echte breinbrekers zoals het openbreintentamen, de getalpaargenetica en de atoomkerntrisectie.

De APS-studiemiddag is bedoeld voor docenten die direct aan de slag willen in een voor-examenklas. Klik op deze link voor details.

Uitdagende opdrachten met docentenhandleiding en CD met leerlingenmateriaal in Word.

Opdrachten:

• Toetsen vakinhoudelijke kennis, algemene en vakinhoudelijke vaardigheden.
• Leerlingen werken zelfstandig: individueel of in groepjes.
• Studielast 6 - 10 lesuren, inkorten mogelijk en suggesties voor uitbreiding.
• Te gebruiken voor het schoolexamen.

Informatie: Mariëtte Lieverse (026-3521482 of mariette.lieverse@cito.nl).
Te bestellen via de Cito webwinkel voortgezet onderwijs.